第八章 晶体结构几何理论

第8章 晶体结构的几何理论第8章

晶体结构的几何理论School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论主要教学内容十四种空间格子*晶胞*空间格子中点的坐标、行列及面网符号*晶体内部结构的对称要素*空间群#等效点系#School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论8.1 十四种布拉维空间格子School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论

空间格子是表示晶体结构中质点重复规律的立体几何图形。

空间格子要素

结点、行列、面网、单位平行六面体。

单位平行六面体是空间格子的最小组成单位。

无数个平行并置的单位平行六面体构成空间格子。School

of

MaterialsScience

and

Engineering空间格子及要素第8章⑴

单位平行六面体的划分School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论•

划分原则①

所选取的单位平行六面体应能够反应格子构造中结点分布的固有对称性。②

在满足①的前提下，棱与棱之间的直角最多。③

在满足①②的前提下，体积最小。36535672四方(4mm)平面点阵斜方(mm2)平面点阵第8章⑴

单位平行六面体的划分School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论14214二维平面点阵中平行四边形的划分YX晶体结构的几何理论第8章⑴

单位平行六面体的划分School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论第8章⑴

单位平行六面体的划分School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章⑴

单位平行六面体的划分School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论在三维空间做同样分析，可以从空间格子中划分

出一个最小的重复单位—单位平行六面体，它由

六个两两平行且相等的平面组成。这样划分出来的单位平行六面体，其对称性与相应空间格子相同。无数个平行并置的单位平行六面体就构成整个空

间格子。晶体结构的几何理论沿Y轴第8章⑴

单位平行六面体的划分School

of

MaterialsScience

and

Engineering单位平行六面体YZ沿Z轴X沿X轴第8章 晶体结构的几何理论⑵单位平行六面体参数cβaSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringbαγα：c

∧

bβ：c

∧

aγ：a

∧

b单位平行六面体的棱长a，b，c和棱的交角α、

β、γ称为单位平行六面体参数。第8章 晶体结构的几何理论①

等轴晶系a=b=cα=β=γ=90°⑶

各晶系单位平行六面体的形状cabαSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringγβ立方格子第8章 晶体结构的几何理论②

四方晶系cabβ αSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringγ四方格子a=b≠c；α=β=γ=90°⑶

各晶系单位平行六面体的形状第8章 晶体结构的几何理论③

斜方晶系a≠b≠cα=β=γ=90°cabβ αSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringγ斜方格子⑶

各晶系单位平行六面体的形状第8章 晶体结构的几何理论④

单斜晶系

a≠b≠cα=γ=90°β

≠

90°cabαSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringγβ单斜格子⑶

各晶系单位平行六面体的形状第8章 晶体结构的几何理论⑤

三斜晶系a≠b≠cα≠β≠γ≠90°γcβaSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringbα三斜格子⑶

各晶系单位平行六面体的形状第8章 晶体结构的几何理论⑥

六方晶系a=b≠c，α=β=90°；γ=120°γSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringcabβ

α六方格子⑶

各晶系单位平行六面体的形状第8章 晶体结构的几何理论⑦

三方晶系a=b=c；α=β=γ≠90°

≠

60°

≠109°28′16″cγSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringabαβ菱面体格子⑶

各晶系单位平行六面体的形状第8章 晶体结构的几何理论三方菱面体格子

α=90°时，可划分成立方原始格子。

α=109°28′16″时，可划分成立方体心格子。

α=60°时，可划分成立方面心格子。School

of

MaterialsScience

and

Engineering90°109°28′16″60°⑶

各晶系单位平行六面体的形状第8章 晶体结构的几何理论⑷

单位平行六面体中的结点分布原始格子PC心格子底心格子体心格子I面心格子FA心格子School

of

MaterialsScience

and

EngineeringB心格子第8章⑷

十四种布拉维空间格子School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论•

综合考虑单位平行六面体的形状和结点分布，空

间格子共有14种。称为14种布拉维空间格子。第8章 晶体构的几何理论结原始格子（P）

底心格子（C）

体心格子（I） 面心格子（F）三斜 C=P I=P F=P单斜 I=C F=C斜方nSchoolof

MaterialsScience

and

Engineerig第8章 晶体结构的几何理论Schoolof

MaterialsScience

and

Engineering四方三方六方等轴C=PF=I与本晶系对称不符不符合六方对称与本晶系对称不符I=R与本晶系对称不符F=R与本晶系对称不符第8章⑷

十四种布拉维空间格子School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论•

单位平行六面体有七种形状和四种结点分布方

式，空间格子仅有14种，为什么？有些格子类型与所在晶系的对称不符。有些格子类型与空间格子的条件不符。有些格子类型可以被改划为其它格子。第8章 晶体结构的几何理论三斜面心→三斜原始格子空间格子转化School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论三斜I＝三斜P三斜C＝三斜P空间格子转化School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论单斜底心→单斜原始单斜体心→单斜底心School

of

MaterialsScience

and

Engineering空间格子转化第8章 晶体结构的几何理论单斜B心格子转变为单斜原始格子空间格子转化School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论ence

and

Engineering单斜面心格子转变为单斜底心格子单斜体心格子转变为单斜底心格子School

of

MaterialsSci第8章 晶体结构的几何理论四方底心→四方原始格子空间格子转化School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论四方面心格子转变为体心格子空间格子转化School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论三方体心转变为三方原始格子空间格子转化School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论菱面体面心格子重组为原始格子空间格子转化School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论8.2 晶胞School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论晶体结构中，与单位平行六面体对应的基本单位称

为晶胞。质点结点（相当点）School

of

MaterialsScience

and

Engineering8.2 晶胞立方面心格子NaCl晶胞质点第8章 晶体结构的几何理论

原胞

是晶格的最小重复单元，在二维时为平行四边形，在三维时为平行六面体。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论晶胞参数：a、b、c和α、β、γ。晶胞是能反映晶体结构特征(对称性和质点分布)的最小构造单位。无数晶胞在三维空间平行并置，就构成整个晶体结构。School

of

MaterialsScience

and

Engineering8.2 晶胞第8章 晶体结构的几何理论ab•

在一个晶胞中，对称要素和质点反映了整个晶体结构中对称要素和质点的种类及分布规律。•

对一个晶胞进行分析，就可以知道整个晶体结构中对称要素和质点分布规律。School

of

MaterialsScience

and

Engineering8.2 晶胞第8章单位晶胞中分子数(Z)的计算School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论NaCl的单位晶胞如图所示：晶胞中NaCl的分子数：Na：

8

×

(1/8)

+6

×（1/2）=4Cl：12

×

(1/4)

+1=

4Z=4第8章 晶体结构的几何理论空间格子中点的坐标、行列及面网符号*晶体内部结构的对称要素*School

of

MaterialsScience

and

Engineering主要教学内容第8章 晶体结构的几何理论8.3 空间格子中点的坐标、行列及面网符号School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论①

空间格子中坐标系的建立•

坐标轴

单位平行六面体三条棱的方向。•

坐标原点

单位平行六面体的角顶。•

坐标轴度量单位单位平行六面体的棱长a、b、c

。bacXYZ8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论0,0,01/2,1/2,01,0,0,0,1,0,②

空间格子中点的坐标

用x,

y,

z

(u,

v,

w)表示空间格子中任意一点在

三个坐标轴上的坐标。一般采用分数坐标，

用单位平行六面体的棱

长a、b、c作为坐标轴

度量单位时的坐标系数。X此时，将一个轴单位的

长度定为1。School

of

MaterialsScience

and

Engineering0,0,10,0,1/2YZabc8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号第8章 晶体结构的几何理论XYZ8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号③

行列（晶向）符号(Crystal

directions)School

of

MaterialsScience

and

Engineering表示行列方向的符号，[x

y

z]

若行列经过坐标原点，

把该行列上距原点最近的

结点坐标x,

y,

z放在“[

]”内，[x

y

z]即为该行列的行列符号。[111]第8章 晶体结构的几何理论[001][100][010][011][110][101][

201]8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号④

面网符号

面网符号与晶面符号在形式上基本相同，用

(h

k

l)表示面网与各结晶轴的关系。不同的是，

晶面符号表示的是晶体外形上某一晶面的方位，

而面网符号代表一组互相平行且面网间距相等的一组面网。晶面符号中晶面指数是最简单的整数，

没有公约数，但面网符号可以有公约数。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论(111)School

of

MaterialsScience

and

Engineering(110)(210)(020)(010)8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号④

面网符号第8章 晶体结构的几何理论

面网符号•

面网符号中存在以下关系：dnhnknl＝1/ndhkl

；

d030＝1/3d010例1：金刚石（diamond）CuKα＝1.5046nm，a＝3.536Å，Fd3m，测得d440＝0.63Å，则d220＝1.26Å，d110＝2.52Å，例2：合成锐钛矿（TiO2）测得d008＝1.1871Å，则d004＝2.3742Å；d303＝1.1714Å，则d101＝3.5142Å。School

of

MaterialsScience

and

Engineering8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号第8章 晶体结构的几何理论

面网符号•

当点阵参数a,

b,

c,α,

β,

γ已知时，dhkl值可以用下列公式算出：dhkl＝V

[h2b2c2sin2α+k2a2c2sin2β+l2a2b2sin2γ+2hkabc2(cosαcosβ-osγ)+2kla2bc(cosβcosγ-cosα)+2hlab2c(cosαcosγ-cosβ)]-1/2其中V＝abc(1-cos2α-cos2β-cos2γ+2cosαcosβcosγ)1/2School

of

MaterialsScience

and

Engineering8.3空间格子中点的坐标、行列及面网符号第8章 晶体结构的几何理论8.4 晶体内部结构的对称要素School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章8.4

晶体内部结构的对称要素School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论

晶体结构中对称要素包括两部分宏观对称要素对称轴、对称面、旋转反伸轴、对称中心微观对称要素平移轴、螺旋轴、滑移面。

区别：微观对称要素包含平移操作。晶体结构的几何理论第8章⑴平移轴

(translation

axis)概念晶体结构中一直线方向，沿此直线平移一定距离以后，每一个质点都与相同质点重合，整个结构亦自相重合。•

对称操作：平移•

平移轴移距使相同质点重复的最小平移距离。School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论

晶体结构的空间格子中，任何一个行列都

是一个平移轴；移距等于行列上的结点间距。ba移距=(a+b)/2移距=a空间格子中的(001)面网移距=b第8章⑴平移轴

(translation

axis)School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论平移群•

由于空间格子中有无限多个不同方向的行列，因

此也就有无限多种平移轴，所以一般不用平移轴

描述晶体的微观对称。为了使平移轴有一个明确

的概念，通常采用平移群来表征。•

能够反映晶体结构特征的三个代表性平移轴组合称为平移群，共有14种，即14种空间格子。

14种布拉维格子又称为14种平移群。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论概念是晶体结构中的一假想直线，绕此直线旋转一定角度(α)并沿此直线平

移一定距离(t)之后，每一个质点都

与相同质点重合，整个结构亦自相

重合。对称操作：绕轴旋转+沿轴平移⑵

螺旋轴(Screw

Axes

)21绕轴旋转180°沿轴平移T/2School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论nsn：轴次，n=1，2，3，4，6

(n=360°/α)s：小于n的自然数

按照n和s的不同，螺旋轴共有11种：21；(Two-fold

Screw

Axes

)

31、32；

41、42、43；

61、62、63、64、65。

晶体中不可能出现5次和高于6次的螺旋轴。School

of

MaterialsScience

and

Engineering螺旋轴的国际符号第8章 晶体结构的几何理论概念：使结构复原的最小平

移距离。右旋操作t

=

(s/n)·T左旋操作t

=

[(n–s)/n]·TT：螺旋轴方向的结点间距。32T1/3T2/3T

螺旋轴的移距(

t

)School

of

MaterialsScience

and

Engineering右旋32右旋和左旋的移距左旋第8章 晶体结构的几何理论

螺旋轴的类型

0<s<n/2：右旋螺旋轴－

31,41,61,62

n/2<s<n

：左旋螺旋轴－32

,43,64,65

s=n/2：中性螺旋轴－21,

42,

63

螺旋轴的国际符号ns是以右旋的移距为准。

移距相同时，左旋螺旋轴和右旋螺旋轴旋向相反。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论

螺旋轴的作图符号2131、3241、42、4361、62、63、64、65

当移距为零时，螺旋轴就变为简单的对称轴，所

以对称轴可以看成是移距为零的螺旋轴。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论1/2

螺旋轴及投影图示221½代表平移的距离为T/2。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论1/32/31/32/331323School

of

MaterialsScience

and

Engineering

螺旋轴及投影图示第8章 晶体结构的几何理论41431/41/23/41/41/23/44

螺旋轴及投影图示School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论421/2

42在旋转和平移时有两个点在同时动作。

质点绕42旋转360°沿螺旋轴方向平移两个结点间距。

42为双轨螺旋轴。1/242School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论61651/61/32/35/61/21/61/31/22/35/66

螺旋轴及投影图示School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论

螺旋轴及投影图示62School

of

MaterialsScience

and

Engineering

62在旋转和平移时有两个点在同时动作。

质点绕62旋转360°沿螺旋轴方向平移两

个结点间距。

62为双轨螺旋轴。第8章 晶体结构的几何理论

螺旋轴及投影图示64School

of

MaterialsScience

and

Engineering

64在旋转和平移时有两个点在同时

动作。

质点绕64旋转360°沿螺旋轴方向平移两个结点间距。

64为双轨螺旋轴。第8章 晶体结构的几何理论63School

of

MaterialsScience

and

Engineering6363

63在旋转和平移时有三个点在同时动作。

质点绕63旋转360°沿螺旋轴方向平移三个结点间距。

63为三轨螺旋轴。第8章 晶体结构的几何理论ab（001）面上的质点分布YxNaCl晶体结构中的螺旋轴42School

of

MaterialsScience

and

Engineering21第8章 晶体结构的几何理论ba41和43螺旋轴43T/4414143cSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering金刚石晶体结构中的螺旋轴第8章 晶体结构的几何理论

晶体结构中的假想平面，当对此平面反映，并沿此平面滑移一定距离之后，每一个质点皆与相同质点重合。整个结构亦自相重合。

操作：对此平面反映+沿此平面滑移⑶

滑移面-像移面(glide-reflections)1/21/21/21/2bcnYSchool

of

MaterialsScience

and

EngineeringX½代表滑移的

距离为T/2。第8章 晶体结构的几何理论

滑移面的种类School

of

MaterialsScience

and

Engineering滑移面滑移方向滑移距离axa/2byb/2czc/2nx+yx+zy+z(a+b)/2;(a+c)/2;(b+c)/2dx+yx+zy+z(a+b)/4;(a+c)/4;(b+c)/4第8章 晶体结构的几何理论

滑移面的图示符号b1/2School

of

MaterialsScience

and

Engineering1/2ca,b,c在图面内滑移离开图面滑移nd第8章 晶体结构的几何理论b1/21/2cn1/2d1/43/41/2∥(100)面网的滑移面bb/2cnb+c/2dXYZc/2b+c/4School

of

MaterialsScience

and

Engineeringa1/2第8章∥(010)面网的滑移面晶体结构的几何理论X1/2c1/2nYZacnda/2c/2(a+c)/2(a+c)/41/43/41/2dSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论∥(001)面网的滑移面XYZaSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringbn(a+b)/2d(a+b)/4a/2b/2第8章 晶体结构的几何理论aterialsScience

and

Engineering滑移面(glide

plane)School

of

M

a、b、c、n、d第8章

NaCl晶体结构中的滑移面晶体结构的几何理论xabY（001）面网上的质点分布abNaCl结构mSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论轴向滑移面aaccbSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论School

of

MaterialsScience

and

Engineering金刚石型滑移面对角线滑移面dcabnabc第8章8.4

晶体内部结构的对称要素School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论晶体结构中的所有对称要素:•

平移群--14种•

螺旋轴--11种•

滑移面--5种第8章 晶体结构的几何理论空间群概念国际符号和圣弗里斯符号等效点系概念表示方法与晶体结构中质点的关系School

of

MaterialsScience

and

Engineering主要教学内容第8章 晶体结构的几何理论8.5 空间群School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论abYSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体内部结构中的对称

要素，是在三维空间按格

子构造规律排列，每种对

称要素都有无穷多个。

而且互相平行。x⑴

空间群的概念

晶体内部结构中全部对称要素的组合，称为空间群。8.5

空间群(space

group)第8章 晶体结构的几何理论abab

有些对称要素相交，交

点（线）也在三维空间按

格子构造规律（平行）排

列，也有无穷多。

空间群共有230种。

晶体结构中的空间群相

当于宏观晶体的点群。YSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringx8.5

空间群(space

group)第8章 晶体结构的几何理论ab•

晶胞是晶体结构的最小重复单元，能够反映出晶体

结构中对称要素和质点的种类及分布规律。•

对一个晶胞进行分析，就可以知道整个晶体结构中对称要素和质点分布规律。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论外部

结构中1 12：3：4：6：m：461 12、213、31、324、41、42、436、

61、62、63、64、65m、a、b、c、n、d4614种空间格子（平移群）组合成230种空间群组合成32种点群晶体宏

观和微观

结构中的

对称要素

及其组合School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论点群：4

(L4)空间格子类型内部对称要素原始格子P体心格子I4 41

42

43空间群P4，P41，P42，P43

I4，I41×8.5

空间群(space

group)School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章空间群和点群的区别与联系晶体结构的几何理论

点群：mm2

空间格子类型：P、C、I、F

对称面/滑移面：m、a、b、c、n、d

对称轴/滑移面：

2、21；

空间群(22种)Pmm2,

Pmc21,

Pcc2,

Pma2,

Pca21

,

Pnc2Pmn21

,

Pba2,

Pna21,

Pnn2;Cmm2,

Cmc21,

Ccc2;Amm2,

Abm2,

Ama2,

Aba2;Imm2,

Iba2,

Ima2Fmm2,

Fdd2School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论•

每一种点群都对应着若干种空间群；•

空间群的数目远超过点群数目，共有230种。School

of

MaterialsScience

and

Engineering8.5

空间群(space

group)第8章 晶体结构的几何理论

空间群的国际符号由两个部分组成：

前一部分大写英文字母为格子类型，用P，C，I，F表示。

后一部分与所属对称型(点群)的国际符号基本相同，只是某

个或某些方位被替换为微观对称要素。

优点：可直接看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。

缺点：同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成

不同的国际符号。

空间群的国际符号P

42/mbc四方原始格子属于4/mmm点群I

ma2斜方体心格子属于mm2点群School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论1 2 3Pnma

(#62)格子类型School

of

MaterialsScience

and

Engineering

空间群的国际符号晶系三个位所表示的方向(依次列出)123123等轴ca+b+ca+b[001][111][110]四方caa+b[001][100][110]斜方abc[100][010][001]单斜b[010]三斜任意方向任意方向三六方ca2a+b[001][100][210]第8章 晶体结构的几何理论各方向代表性对称要素的选择原则和顺序School

of

MaterialsScience

and

Engineering•

晶系及空间格子类型的确定：根据有无高次轴及高次轴的方向和数目，无高次轴时根据2次轴及面对称要素的数目确定晶系；根据晶胞参数特点和质点分布规律确定空间格子类型。•

对于面对称要素，先选对称面m，无对称面时，则依次选用d、n滑移面或a、b、c滑移面，若两者都有时尽量选前

者。•

对于轴对称要素，如果某一方向存在不同轴次的轴对称要素时，选最高轴次；如果最高轴次有不同类型，则按对称

轴、螺旋轴、旋转反伸轴的顺序选其一。第8章 晶体结构的几何理论• 空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其

对称型(点群)的圣佛利斯符号的右上角加上序号

即可。如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、

C42、C43、

C44、

C45、

C46。

优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。

缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。School

of

MaterialsScience

and

Engineering空间群的圣佛利斯符号第8章 晶体结构的几何理论空间群的国际符号和圣佛利斯符号•

所以，在表示空间群时，鉴于两种符号各自的特点，一般采用两种符号并用。例如：•

金红石：D4h

——P42/mnm14它的点群是什么？格子类型是什么？在什么方向有什么对称要素？•

金刚石：Oh7——Fd3m•

闪锌矿：Td2——F43mSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论空间群的国际符号举例cbaaSchool

of

MaterialsScience

and

Engineeringbc金红石第8章 晶体结构的几何理论空间群的国际符号举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论YxNaCl的对称要素在(001)面上的投影空间群的投影图示使用作图符号，把晶体结构中一个晶胞范围内的质点和对称要素分别投影到(001)面上。NaCl晶胞School

of

MaterialsScience

and

Engineering230种空间群的投影图具体见《晶体学国际表A1卷》International

Tables

for

Crystallography第8章 晶体结构的几何理论8.6 等效点系School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论8.6

等效点系(equivalent point)School

of

MaterialsScience

and

Engineering⑴

等效点系的概念由空间群中对称要素联系起来的一组几何点的总

和称为等效点系。即空间格子中借对称要素联系

起来的一组几何点。第8章 晶体结构的几何理论点群中对称要素联系的一组晶面同一种单形的晶面必能对称重复单形中晶面位置晶体内部结构对称要素组合空间群空间群中对称要素联系的一组几何点同一套等效点系中的点必能对称重复等效点系中等效点位置一种单形一套等效点系晶面符号等效点坐标晶体外形对称要素组合School

of

MaterialsScience

and

Engineering点群一种点群对应最多7种单形一种空间群对应若干套等效点系8.6

等效点系(equivalent point)第8章 晶体结构的几何理论魏考夫（Wyckoff

）符号

一种空间群对应若干套等效点系，在一个晶胞范围内，用a

,b

,c

,d

,e

,f

,g

……

对原始点位置不同的等效点系进行编号，称为等效点系的魏考

夫符号。•

点位置上的对称性•

重复点数：在一个晶胞范围内等效点的数目•

等效点的坐标School

of

MaterialsScience

and

Engineering⑵

等效点系的表示方法第8章 晶体结构的几何理论YX⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

EngineeringPmm2在(001)面上的投影蓝色区域为1个晶胞的范围第8章 晶体结构的几何理论⑶

等效点系的表示方法举例位置①Wyckoff

符号：a

点位置：mm2

重复点数：1

等效点的坐标：0，0，zSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论位置②Wyckoff

符号：b

点位置：mm2

重复点数：1

等效点的坐标：0，1/2，z⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论位置③Wyckoff

符号：c

点位置：mm2

重复点数：1

等效点的坐标：1/2，

0，z⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论位置④Wyckoff

符号：d

点位置：mm2

重复点数：1

等效点的坐标：1/2，

1/2，z⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论位置⑤Wyckoff

符号：e

点位置：m

重复点数：2

等效点的坐标：x，0，z；-x，0，z⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论位置⑥Wyckoff

符号：f

点位置：m

重复点数：2

等效点的坐标：

x，1/2，z；-x，1/2，z⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论位置⑦Wyckoff

符号：g

点位置：m

重复点数：2

等效点的坐标：0，y，z；0，-y，z⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论位置⑧Wyckoff

符号：h

点位置：m

重复点数：2

等效点的坐标：1/2，y，z；1/2，-y，z⑶

等效点系的表示方法举例School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论⑶

等效点系的表示方法举例位置⑨Wyckoff

符号：i

点位置：一般位置

重复点数：4

等效点的坐标：x，y，z；x，-y，z；-x，y，z;

-x，-y，z；School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论Pmm2的9个不同原始点位置iefga bdchSchool

of

MaterialsScience

and

Engineering

特殊等效点系：等效点在某个或某些对称要素之上。

一般等效点系：等效点全部在对称要素之外。⑶

等效点系的表示方法举例第8章 晶体结构的几何理论•

三者不能混为一谈，相当点一定是同种质点和等

效点，但同种质点不一定是同一套空间格子（其

上结点为相当点，具体的晶体结构可以看成是由

多套空间格子组成）上的相当点；等效点是由一

原始点经空间群中所有对称要素操作所推导出来

的规则点系，它一定是同种质点，但不一定是相

当点，和晶体的对称性有关。School

of

MaterialsScience

and

Engineering同种质点、相当点和等效点之间的区别与联系：第8章 晶体结构的几何理论⑷等效点系与晶体结构

在晶体结构中，质点分布在等效点的位置上。

不同的质点，不能占据同一套等效位置。

同一种质点，占据一套或几套等效位置。School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论晶体结构分析的主要内容School

of

MaterialsScience

and

Engineering

晶体结构分析是分析一个晶胞中质点的分布规律和对称特征，一般包括以下内容：

晶系

晶胞参数

质点在晶胞中的位置和分布规律

空间群的国际符号

晶胞中的分子数

晶胞中等效点系的数目和重复点数

原子或离子的坐标

原子或离子的配位数以及配位多面体的形状第8章 晶体结构的几何理论

晶系：等轴晶系

晶胞参数：a=0.5628nm

质点在晶胞中的位置和分布规律Cl-占据晶胞的角顶和每一个面的中心，Na+

占据晶胞每一条棱的中点。

空间群：Fm3m

分子数：Z=4NaCl的晶体结构School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论

等效点系的数目和重复点数

Cl-

占据1套等效位置，

重复点数：4

Na+

占据1套等效位置，重复点数：4School

of

MaterialsScience

and

EngineeringNaCl的晶体结构第8章 晶体结构的几何理论

Cl-坐标：0,0,0;1/2,1/2,0;1/2,

0,

1/2;0,1/2,1/2.School

of

MaterialsScience

and

Engineering

Na+坐标：1/2,

1/2,

1/2;0,0,1/2;0,

1/2,

0;1/2,

0,

0NaCl的晶体结构第8章 晶体结构的几何理论CsCl的晶体结构晶系：等轴晶系晶胞参数：a=0.5628nm质点在晶胞中的位置和分布规律Cl-位于晶胞的角顶；Cs+

位于晶胞中心。空间群：Pm3m分子数：Z=1School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论

等效点系的数目和重复点数

Cl-

占据1套等效位置，重复点数：1Cl-

坐标：0,

0,

0

Cs+占据1套等效位置，重复点数：1Cs+

坐标：1/2,

1/2,

1/2School

of

MaterialsScience

and

EngineeringCsCl的晶体结构第8章补充一：等效点系的重要性School

of

MaterialsScience

and

Engineering晶体结构的几何理论•

当一晶体的宏观对称、物理性质及化学成分等已

知，且已确定了其晶胞参数、空间群而需解析晶

体结构（即确定该晶体中各种质点的占位情况）

或为了某种目的需深入讨论晶体结构中质点的占

位情况时，就必须应用等效点系的理论和知识。

等效点系的理论，从几何方面解决了晶体结构中

质点在空间分布的规律性问题。举例：方解石第8章补充一：等效点系的重要性晶体结构的几何理论

方解石--CaCO3space

group

=R3c

Z

=6，在单胞内含有30个原子

Ca占据6a位置0,

0,0；

C占据6b位置0,

0,¼

O占据18e位置x,0,¼

（x

=0.275）

其他27个原子的位置??

空间群的对称性和等效点系使得原本复杂的晶体结构描述起来如此简单!!School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论补充二.晶体结构描述、查询及绘图School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论主要教学内容

晶体结构描述*

晶体结构查询*

晶体结构绘图*School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论1.晶体结构描述School

of

MaterialsScience

and

Engineering1）晶体的对称性：

空间群：晶体结构内部全部对称要素的组合。空间格子类型＋内部对称要素(宏观+微观) 如: Fm3m230个种空间群

，see《晶体学国际表》International

TablesforCrystallography2)

晶胞参数或晶格常数晶胞：反映晶体结构特征的最小结构单元如:NaCl a=b=c,α=β=γ=90°;

a＝5.6400Å3)单胞分子数“Z”和理论化学式：“Z”是单晶胞内所含分子数，理论化学式为最简化的化学式，如：NaCl,

MgAl2O4

实际化学式：按化学成分分析结果计算出的化学式，如Mg0.99Al2.01O4第8章 晶体结构的几何理论4)

原子坐标(分数坐标）：按等效点系描述126School

of

MaterialsScience

and

Engineering等效点系：晶体结构中的一个原始点经过全部对称要素的作用，所推导出来的一系列点的集合。1.晶体结构描述如：NaCl：Na：4a0,0,

0Cl：4b½,

½,

½第8章 晶体结构的几何理论如在空间群Fm3m中：4a: 0,

0,

0127School

of

MaterialsScience

and

Engineering1.晶体结构描述第8章 晶体结构的几何理论4b: 1/2

,

1/2,1/21.晶体结构描述128School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论8c: 1/4,1/4,

1/4129School

of

MaterialsScience

and

Engineering1.晶体结构描述第8章 晶体结构的几何理论24d:0,

1/4,1/41.晶体结构描述130School

of

MaterialsScience

and

Engineering第8章 晶体结构的几何理论192l:131School

of

MaterialsScience

and

Engineeringx,

y,z1.晶体结构描述第8章 晶体结构的几何理论

a,b,c……

为每个空间群中等效点系由简单到复杂的编号，称Wyckoff符号。

前面的数字代表单位晶胞中质点的重复点数。

因此对NaC