第五讲 MATLAB符号计算功能

MATLAB第五讲MATLAB的符号计算功能一、符号表达式和符号矩阵的创建1、符号变量的赋值2、符号常量3、符号矩阵的创建4、符号方程的创建5、将数字矩阵转化为符号矩阵6、符号表达式的升幂7、符号表达式的合并8、变量代换二、符号函数的微积分1、求导数2、求积分3、求泰勒级数taylortool(f)三、求符号方程的精确解和近似解1、求解单个符号方程2、对代数方程组求解四、符号矩阵的基本运算1、加、减、乘2、求逆运算3、求符号矩阵的除法4、求矩阵的特征值和特征向量5、求符号矩阵的行列式6、求符号矩阵的约当矩阵7、求符号矩阵的奇异值五、符号函数画图六、求符号函数的零点七、求微分方程的解一、入门Symbolic工具包MATLAB有一个符号计算工具包叫作SymbolicMathToolbox其中有60多个专用函数。包括微积分、线性代数、方程求解、多项式的简约与展开、特殊数学函数等。sym的指令在C:\MATLAB6p1\toolbox\symbolic，如果在搜索路境中没有设定则要添加。符号表达式和符号矩阵的创建符号表达式是数字、函数、变量的MATLAB字符串，或字符串数组。符号运算是指使用已知的规则和给定的符号恆等式求解符号方程。生成符号表达式用引号或sym函数例>>M=[a,b;c,d]???Undefinedfunctionorvariable'a'.>>M=sym(‘[a,b;c,d]’)>>M=sym('[a,b;c,d]')M=[a,b][c,d]1、符号变量的赋值

>>f1='sin(x)^2’；f2='exp(-x^2/2)’；f3='1/(1+x^2)’；f1=sin(x)^2f2=exp(-x^2/2)f3=1/(1+x^2)符号常量没有变量的符号表达式叫作符号常量>>a2='3'a2=3>>a2+1ans=52a2是一个符号常量，它是用ASCII码来存储的，‘3’的ASCII码是51因此a2+1得到的是52而不是4（1）sym命令>>M1=sym('[sin(x),cos(x);-cos(x),sin(x)]')M1=[sin(x),cos(x)][-cos(x),sin(x)]（2）直接输入法>>M2=['[1+x+x^2,sin(x)]';'[cos(x),x^2]']M2=[1+x+x^2,sin(x)][cos(x),x^2]2、符号矩阵的创建3、符号方程的创建>>EQF='a*x^2+b*x+c=0'EQF=a*x^2+b*x+c=0>>M=[2/3,sqrt(3)/3,0.333;2.5,1/0.7,log(3)]M=0.66670.57740.33302.50001.42861.0986>>fuhaoM=sym(M)fuhaoM=[2/3,sqrt(1/3),333/1000][5/2,10/7,4947709893870346*2^(-52)]4、将数字矩阵转化为符号矩阵5、isstr()用来检测变量是否符号变量例>>a2='3'a2=3>>isstr(a2)ans=1>>a3=3a3=3>>isstr(a3)ans=0

用引号定义的a2是符号变量用普通的赋值定义的变量不是符号变量6、符号表达式的升幂

>>f='2*x^2+3*x-5';>>sympow(f,'3')ans=(2*x^2+3*x-5)^37、符号表达式的合并>>f1='sin(x)';>>f2='sin(2*x)';>>f3=symop(f1,'/',f2,'+',3)f3=sin(x)/sin(2*x)+38、变量代换>>f1='1/(1+x^2)';>>f2='sin(x)';>>subs(f1,'s','x')ans=1/(1+(s)^2)>>subs(f2,'alpha','x')ans=sin((alpha))例1计算符号函数的导数>>f=‘sin(x)^2’%定义函数的符号表达式f=sin(x)^2>>diff(f)ans=2*sin(x)*cos(x)>>diff(f,2)ans=2*cos(x)^2-2*sin(x)^2二、符号函数的微积分1、求导diff(f)>>f=‘sin(x)^2’；>>int(f,'x')ans=-1/2*sin(x)*cos(x)+1/2*x>>int('1/(1+x^2)')ans=atan(x)2、符号函数求积分inf(f)例>>f='sin(x)^2';

>>taylortool(f)3、求泰勒级数taylortool(f)在框中可以交互作用，给出所需的阶数，立即返回表达式和图形。几个常用命令Solve(‘方程’）%求精确解vpa(S,n)%求n位有效数字的近似解numeric(S)%将不含自由自变量的近似解转化为数值解digits(n)%设定近似解的有效位数

subs(S,Dsym,Fsym)%将数值Fsym带入自变量Dsym三、求符号方程的精确解和近似解>>R1=solve('x^2-x-1=0')R1=[1/2*5^(1/2)+1/2][1/2-1/2*5^(1/2)]>>RV=vpa(R1)RV=[1.6180339887498948482045868343657][-.61803398874989484820458683436570]>>RV4=vpa(R1,4)RV4=[1.618][-.6180]例对符号方程求解>>RV30=vpa(R1,16)RV30=[1.618033988749895][-.6180339887498950]>>numeric(R1)ans=1.6180-0.61801、求解单个符号方程>>solve(‘a*x^2+b*x+c=0’)%默认对缺省变量x求解ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

>>solve(‘a*x^2+b*x+c’,‘b’)%对b求解ans=-(a*x^2+c)/x2、对代数方程组求解>>equ1='d+(n+p)/2=q';>>equ2='p=n+d+q-10';>>equ3='q+d=p+n/4';>>equ4='q+p=n+8*d-1';>>[r1,r2,r3,r3]=solve(equ1,equ2,equ3,equ4,'p,n,d,q')r1=3r2=8r3=15r3=151、 加、减、乘symadd(A,B)%符号加symsub(A,B）%符号减symmul(A,B)%符号乘四、符号矩阵的基本运算例>>formatcompact>>A=sym('[a11,a12;a21,a22]')>>B=sym('[b11,b12;b21,b22]')>>C=symadd(A,B)C=[a11+b11,a12+b12][a21+b21,a22+b22]>>D=symsub(A,B)D=[a11-b11,a12-b12][a21-b21,a22-b22]>>E=symmul(A,B)

E=[a11*b11+a12*b21,a11*b12+a12*b22][a21*b11+a22*b21,a21*b12+a22*b22]例求二阶符号矩阵的逆>>M=sym('[a,b;c,d]')M=[a,b][c,d]>>inv(M)ans=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)][-c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]2、求逆运算3、求符号矩阵的除法>>symdiv(A,B)ans=[-1/(-b11*b22+b12*b21)*(b22*a11-b21*a12),(-b11*a12+a11*b12)/(-b11*b22+b12*b21)][-1/(-b11*b22+b12*b21)*(-b21*a22+b22*a21),(-b11*a22+a21*b12)/(-b11*b22+b12*b21)]4、求矩阵的特征值和特征向量>>[V,a]=eigensys(A)V=[-(1/2*a22-1/2*a11-1/2*(a22^2-2*a11*a22+a11^2+4*a12*a21)^(1/2))/a21,-(1/2*a22-1/2*a11+1/2*(a22^2-2*a11*a22+a11^2+4*a12*a21)^(1/2))/a21][1,1]a=[1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2),0][0,1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]5、求符号矩阵的行列式例>>A=sym(‘[a11,a12;a21,a22]’)%定义符号矩阵A=[a11,a12][a21,a22]>>detA=determ(A)detA=a11*a22-a12*a21>>f=sym('[1/2,1/4;1/4,1/2]')f=[1/2,1/4][1/4,1/2]>>[V,J]=jordan(f)V=[1/2,1/2][-1/2,1/2]J=[1/4,0][0,3/4]6、求符号矩阵的约当矩阵inv(V)AV7、求符号矩阵的奇异值>>M=sym(magic(3))%构造3阶魔方阵M=[8,1,6][3,5,7][4,9,2]>>singvals(M)%求奇异值ans=[15][2*3^(1/2)][4*3^(1/2)]fplot('function',[a,b])%画出函数f(x)在[a,b]上的图形例画出函数在[0，8]上的图形>>f='2*exp(-x)*sin(x)';%定义函数>>fplot(f,[0,8])五、符号函数画图fzero(fun,[a,b],[],options)在求零点之前先要确定一个根的隔离区间，也就是说，[a,b]区间内有且仅有函数的一个零点，这里采用的是对分法求零点。fzero(fun,x0)%用牛顿法求零点。例求函数的零点>>fx='x^3-x+1';>>a=fzero(fx,-1)六、求符号函数的零点七、求微分方程的解>>dsolve(‘Dy=1+y^2’)