第五章 线性系统频率分析法(一)

第五章频率分析法

以控制系统的频率特性作为数学模型主要以波德图

(Bode)来作为分析工具分析控制系统的动态性能与稳态性能

2/3/20231重庆邮电大学自动化学院频率特性法是分析线性系统的工程实用方法。频率响应—系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性—系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系。在频率响应法中，在一定的范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应频率响应法和根轨迹法是互为补充的两种方法

频率响应法的优点之一，是可以利用对物理系统测量得到的数据，而不必推导出系统的数学模型

2/3/20232重庆邮电大学自动化学院频率特性的概念设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲线如下:40不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。2/3/20233重庆邮电大学自动化学院§5.1频率特性

一、基本概念

系统传递函数令：s=jω，得到另一个复变函数(正弦传递函数)，即频率特性实部、虚部表示

P(ω)、Q(ω)分别为频率ω的函数幅值、幅角表示

A(ω)、φ(ω)分别为频率ω的函数2/3/20234重庆邮电大学自动化学院线性系统的稳态正弦响应引例5－1RC电路如图所示2/3/20235重庆邮电大学自动化学院写成幅值与幅角表达式幅频特性相频特性两条特性曲线如图。

2/3/20236重庆邮电大学自动化学院二、频率特性的定义 已知线性定常系统，输入信号为r(t)，其付氏变换存在为R(j)。系统的输出信号为c(t)，其付氏变换为C(j)，

定义线性定常系统的频率特性为输出信号的付氏变换C(j)与输入信号的付氏变换R(j)之比，表为

2/3/20237重庆邮电大学自动化学院关于频率特性的讨论（1）付氏变换的存在条件满足狄里赫莱条件即绝对值积分存在，这限制了付氏变换在许多场合下的应用。 因此，许多常用的时域函数没有付氏变换，如阶跃函数等。2/3/20238重庆邮电大学自动化学院（2）频率特性与微分方程的关系微分方程为类似拉氏变换，方程两边作付氏变换输出与输入的付氏变换的比值所以频率特性G(j)是在频率域中来表示线性定常系统的数学模型。2/3/20239重庆邮电大学自动化学院（3）付氏变换与拉氏变换的关系阶跃函数，增加衰减因子e-t，>0，满足狄里赫莱条件，其付氏变换存在

付氏变换是拉氏变换在s=j时的特例。2/3/202310重庆邮电大学自动化学院三、频率特性的数学表示及作图

1、极坐标图极坐标图又称幅相图、奈奎斯特（Nyquist）图复变函数G(j)表为实部、虚部

或表为模、相位角复平面曲线如图所示。

曲线实轴对称不便于徒手作图

2/3/202311重庆邮电大学自动化学院2、对数坐标图 又称为波德（Bode）图由于分别作两张图 A()——幅频特性，是频率的函数 ()——相频特性，是频率的函数如一阶RC网络。

徒手描点不方便，

展示不清晰，分别将A()、()作对数变换即成为波德（Bode）图。2/3/202312重庆邮电大学自动化学院对数幅频特性L()将两坐标轴分别取对数作为新的坐标轴如图所示。

纵轴： 横轴：2/3/202313重庆邮电大学自动化学院对数相频特性()

纵轴：()不取对数 纵轴：

2/3/202314重庆邮电大学自动化学院一阶RC网络的频率特性与对数频率特性的比较波德图优点：（1）波德图展宽频带：可视频带(粗),表示频带(精)

（2）基本环节都可以由渐近线画出

2/3/202315重庆邮电大学自动化学院（3）叠加作图作图方便。例如对数幅频特性对数相频特性2/3/202316重庆邮电大学自动化学院§5.2典型环节的频率特性一、比例环节频率特性 波德图幅值为 幅频特性幅角为 相频特性极坐标图2/3/202317重庆邮电大学自动化学院二、积分环节频率特性 幅值为 幅角为

极坐标图波德图幅频特性相频特性2/3/202318重庆邮电大学自动化学院三、微分环节

频率特性 幅值为 幅角为 极坐标图波德图幅频特性相频特性2/3/202319重庆邮电大学自动化学院四、一阶惯性环节频率特性 极坐标图实部与虚部表达式模角表达式幅值为 幅角为由于 2/3/202320重庆邮电大学自动化学院可以证明，轨迹为一圆。2/3/202321重庆邮电大学自动化学院波德图对数幅频特性

可用渐近线作图交点为对数相频特性

两边反对称。2/3/202322重庆邮电大学自动化学院渐近线作图的折线误差

处应有最大误差，代入模表达式误差特性如图误差修正如图。2/3/202323重庆邮电大学自动化学院五、一阶微分环节

频率特性极坐标图幅频特性相频特性波德图对数幅频特性对数相频特性可依一阶惯性环节反对称画出。2/3/202324重庆邮电大学自动化学院六、二阶振荡环节传递函数令 为时间常数，代入上式频率特性为

2/3/202325重庆邮电大学自动化学院极坐标图幅频特性 相频特性极限点有 由于 幅角单调减幅值先增后减， 有极值由谐振频率谐振峰值阻尼比不同时，极坐标图如图所示。2/3/202326重庆邮电大学自动化学院波德图对数幅频特性渐近线作图粗实线所示，交点为阻尼比不同时>0.707 无谐振峰值=0.707 临界谐振<0.707 有谐振峰值3条特性如图所示。2/3/202327重庆邮电大学自动化学院二阶振荡环节波德图对数相频特性由于三个特征角度阻尼比不同时，在邻域角度变化率不同如图。2/3/202328重庆邮电大学自动化学院二阶振荡环节波德图2/3/202329重庆邮电大学自动化学院七、二阶微分环节传递函数频率特性极坐标图波德图参照二阶振荡环节，横轴对称画出。

2/3/202330重庆邮电大学自动化学院八、延迟环节传递函数频率特性幅值 恒为1幅角极坐标图 波德图

2/3/202331重庆邮电大学自动化学院§5.3控制系统开环频率特性作图一、开环对数频率特性作图结构图开环传递函数开环频率特性分解基本环节则开环对数幅频特性开环对数相频特性2/3/202332重庆邮电大学自动化学院（1）典型环节叠加作图例5－2系统开环传递函数为作开环系统波德图。

解写出基本环节1、2、3、4、5、2/3/202333重庆邮电大学自动化学院对数幅频特性在图上作叠加合成

2/3/202334重庆邮电大学自动化学院对数幅频特性作出各基本环节的对数相频特性如图，叠加，得到叠加时，粗略地做环节特征点叠加即可，2/3/202335重庆邮电大学自动化学院（2）转折渐进作图由于步骤一： 确定低频段斜率和低频段高度，作出低频段曲线至第一转折频率，在低频段有在低频段作出Lo低和0低。2/3/202336重庆邮电大学自动化学院步骤二：由于全部为一阶因子或者二阶因子，均在转折频率处发生向上或者向下转折，斜率分别为20dB/dec，

40dB/dec等。从低频段到高频段逐步前进，以渐进方式作出折线特性，

2/3/202337重庆邮电大学自动化学院例5－3已知单位反馈系统的开环传递函数为作对数开环频率特性。

解低频段为为=1.58处过0dB线的积分特性。作斜率为-20dB/dec，过=1.58的斜线如图所示。转折特性为2/3/202338重庆邮电大学自动化学院作转折渐进表（幅频特性）：转折渐进，作出折线图。对数相频特性低频段特性 0低=-90高频段特性 0高=-180每一个转折频率处，有：一阶因子45特征点，二阶因子90特征点，可作出

()。渐进顺序(1+50s)-1(1+10s)(1+s)(1+0.2s+0.52s2)-1转折频率0.020.112转折斜率-20dB/+20dB/+20dB/-40dB/2/3/202339重庆邮电大学自动化学院L()与()阶的渐进作图。2/3/202340重庆邮电大学自动化学院二、开环极坐标图作图

由于：因此极坐标图需要描点作图。但是，系统分析，特别是稳定性分析，可以徒手作极坐标草图。开环频率特性为其中，2/3/202341重庆邮电大学自动化学院极坐标图的起点由于 所以模 角所以不同时，极坐标图的起点如图所示。

2/3/202342重庆邮电大学自动化学院极坐标图的终点由于模 角所以，极坐标图的终点如图所示。

2/3/202343重庆邮电大学自动化学院坐标轴穿越点与单位圆穿越点

坐标轴穿越点处，为角度 的整数倍角。单位圆穿越点处，模为单位1。2/3/202344重庆邮电大学自动化学院例5－4已知开环传递函数为试作其极坐标草图。

解由于=1， 起点位于负虚轴无穷远处。由于n-m=2， 曲线以相位角-180趋于原点。幅角为增加时，()单调减，趋势作图如图所示。该题简单，可由解析法作图。2/3/202345重庆邮电大学自动化学院解析法作图近似草图 解析法作图2/3/202346重庆邮电大学自动化学院例5－5开环传递函数为试作出极坐标图的草图。

解由于=2，曲线起于负虚轴。由于n-m=3，曲线以-270终于原点。相角由-180先减后增，作草图。确定穿越点： 穿过负实轴如图。增益K可以决定A()的大小，即穿过负实轴时模的大小如图。

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