第五章(电容元件及电感元件)

第二篇动态电路的时域分析电路分析基础-李瀚荪第二篇动态电路的时域分析在第一篇（第一章~第四章）中，以电阻电路为例介绍了电路分析的基本定律、定理和分析方法。电阻电路各元件（电阻、独立源和受控源）的伏安关系（VCR）均为代数关系，通常将这类元件称为静态元件。而把由静态元件组成的电路称为静态电路，描述静态电路的是一组代数方程。电阻电路的特点：当激励作用到电路的瞬间，电路中会产生即时响应，并且如果激励是常量响应也是常量，t时刻的响应仅与t时刻的激励有关，无记忆性！第二篇动态电路的时域分析实际电路中，不可避免的存在另一类元件:

如电感、电容，这些元件的的电流或电压关系涉及到对时间的微分或积分，其VCR为以电流或电压为变量的微分方程，故称其为动态元件。（动态仅指其过渡过程）把至少含有一个动态元件的电路称为动态电路。在线性非时变的条件下，其描述方程是线性常微分方程。若电路中只包含一个动态元件，可以用一阶微分方程描述，此时电路常称为一阶电路。一般而言，若电路中包含有n个独立的动态元件，可以用n阶微分方程描述,此电路称为n阶电路。第二篇动态电路的时域分析第五章动态元件第二篇包含第五章~第七章共三章，讨论动态电路的时域分析方法，即研究如何求解动态电路中各支路的电路变量。任何一个集总电路都必须服从两类约束。对动态电路来说，还需包含动态元件的VCR。第六章一阶电路

第七章二阶电路

第五章

动态元件

（1）掌握电容元件和电感元件的定义及其VCR（2）掌握线性时不变电容和电感的主要电学特性基本要求：（3）理解电容和电感的对偶特性

§5-1电容元件

一、电容元件电容元件是实际电容器的理想化模型。它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用，是一种储能元件。其参数为电容C：注：任何两个彼此绝缘又相互靠近的导体就可构成一个电容器。1、电容元件定义一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可以用q-u平面上（或u-q平面）的一条曲线（库-伏特性曲线）来确定，则此二端元件称为电容元件。+-u(t)i(t)C(t)q(t)u(V)q(C)0关联参考方向库-伏特性曲线0u/Vq/C斜率为C2、电容器的分类按时间：非时变与时变按u-q关系：线性与非线性如果u-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电容元件称之为线性时不变电容元件。

亦即：q(t)=Cu(t)其中C为一个与q、u及t无关的正值常量，是表征电容元件储存电荷能力的物理量，称为电容，单位为法拉。+-u(t)i(t)Cq(t)CRC3、电容器的实际模型

实际电容器与电容元件存有不同，除了具有电容元件的储能性质外，还有一些漏电现象，因此，电容器的模型，还应包括漏电阻元件。CESR二、电容元件的VCR（1）故得：关联参考方向下，对线性非时变电容，得：电容元件VCR的微分形式

q(t)=Cu(t)1、上式从电荷变化的角度描述了电容的VCR。由上式可知：在某一时刻电容的电流取决于该时刻电容电压的变化率，所以电容元件称为动态元件。

说明2、如电容电压不变（直流电压），则电流为零，相当于开路，此为电容的隔直流效应（隔直通交特性）。3、如电容电压变化，则电流不为零，电压变化越快，电流就越大。4、由于i(t)为有限值，也为有限值，所以电容两端的电压不能跃变——连续性。

说明也可以把电容的电压u(t)表示为电流i的函数。

得：电容元件VCR的积分形式1、上式从电荷积累的角度描述了电容的VCR。表明：在某一时刻t电容电压的数值u(t)取决于从-∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关—记忆性。

说明二、电容元件的VCR（2）2、考察电路往往只需了解在某一任意选定的初始时刻t0以后电容电压的情况，则上式可改写为：u（t0）累计了t=t0以前所有时刻电流i的作用，称为电容的初始电压。注意：1、当u(t0)和C确定后，u(t)才可以被唯一确定。

2、只有当u(t0)=0时，u(t)与i(t)才是线性函数关系。

说明3、电容的等效电路设u(t0)=U0，则t≥t0时电容电压可写为：一个初始电压为U0的电容，可等效为一个初始电压为0的电容与电压源U0相串联的电路。+-abi(t)cu(t)i(t)abuc(t)+++++++-------+-+-线性化

说明4、电容电压增量由于i是有限量(i有界)，所以Δt→0时，Δu→0这再次说明了电容电压是连续量。即电容两端电压不可突变。

说明16三、电容的储能正值表示电容吸收功率，而负值表示释放功率，即将吸收的功率退还给电源或电路的其他部分。这与电阻功率总是正值是不同的，电阻总是消耗功率，而电容元件是不消耗功率的。

1、电容的瞬时功率关联方向时电容吸收的功率为：p=i(t)u(t)，有时为正，有时为负。++++++------abi(t)u(t0)=U0cu(t)由于：p=dwC/dt，因而电容的能量wC应为功率对时间t的积分。ò-t∞p(ξ)dξwC(t)=2、电容的能量从时刻t1到t2电容元件吸收的能量为：()ò-=t2t1p(ξ)t1-t2dξwCò-=t2t1u(ξ)i(ξ)dξò-=t2t1Cu(ξ)dξ=du(ξ)dξò-u(t2)u(t1)CuduCu221=u(t2)u(t1)C21=[u(t2)2-u(t1)2]电容元件在任何时刻t的储能为：1、电容储能不能为负,电容是无源器件。3、在t1到t2期间供给电容的能量只与时刻t1和t2的电压值u(t1)和u(t2)有关。A、与过程无关；B不能突变；C、与电流无关；D、u为电容的状态变量。电容储能公式2、在u一定时，C越大则W越大，所以C代表了电容器储存电场能的能力。

说明电容元件充电时，|u（t2）|＞|u（t1）|，w（t2）＞w（t1），故在此时间内元件吸收能量；电容元件放电时，|u（t2）|＜|u（t1）|，w（t2）＜w（t1），故在此时间内元件释放能量。电容在充电时吸收并储存的能量一定在放电完毕时全部释放，它不消耗能量，是不耗能元件。同时，电容元件也无法释放出多于它吸收并储存的能量，所以它又是一种无源元件。3、电容的充放电试求：(1)u(0)；

(2)u(t)、t≥0；

(3)u(1)和u(－0.5)；

(4)作出t≥0时该电容的等效电路。已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示，电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。

（1）根据已知条件，t≤0时仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。

例题解+-u(t)i(t)Cq(t)（2）5-8(续)t≥0时，不能忽略初始电压u(0)，它反映了t≤0电流对t≥

0时u（t）的影响。t≥

0时（3）

例题（4）5-9(续)t≥

0时的等效电路i1(t)—i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。

例题1、定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁通

与流过它的电流i之间的关系是由-i平面（或i-平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件(inductor)。这条曲线称韦安特性曲线。线性非时变电感元件特性方程第二节

电感元件线性电感元件的磁通链Ψ与电流i的比值为常量，称为感应系数，简称电感，单位为亨H。电感元件是实际电感器的理想化模型。它只具有产生磁通、从而存储磁场能量的作用。

储能元件2.电感元件的VCR（线性时不变电感）动态特性：t时刻的电感电压u取决于该时刻电感电流i随时间t的变化率，称为动态元件。电感VCR的微分形式通直流特性：电感元件对直流电流短路。记忆特性：t时刻的电流值取决于从–∞到t时刻的全部电压值，具有“记忆”电压的性质，是一种记忆元件。电感电流的连续性：u有界，则当∆t→0时，就有∆i→0。即只要电感电压是有界函数，电感电流就是连续函数，不会跳变。电感电流增量：电感VCR的积分形式i(t0)

称为初始电流3、电感元件的等效电路具有初始电流的电感可以等效成无初始电流的电感与电流源的并联。

i(t0)

称为初始电流线性化4、电感元件的能量1）瞬时功率电流和电压取一致参考方向时：当pL>0时，电感吸收功率；当pL<0时，电感发出功率。（3）当pL=0时，wL为常数，电感元件储能保持不变，与外电路间无能量交换（1）当pL>0时，wL增加，外电路供给电感能量；

电感的储能过程：（2）当pL<0时，wL减少，电感中的磁场能返回给外电路；电感的能量wL应为功率对时间t的积分。ò-t∞p(ξ)dξwC(t)=从时刻t1到t2电感元件吸收的能量为：()ò-=t2t1p(ξ)t1-t2dξwLò-=t2t1u(ξ)i(ξ)dξò-=t2t1Li(ξ)dξ=di(ξ)dξò-i(t2)i(t1)LidiLi221=i(t2)i(t1)L21=

i(t2)2-