第二章系统状态空间描述

第二章线性系统的状态空间描述系统分析及控制2009-081CAUC--空中交通管理学院§2-1状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。（如果用最少的n个变量x1(t)，x2(t)，……，xn(t)就能完全描述系统的状态，那么这n个变量就是一组状态变量。）3、状态向量：设一个系统有n个状态变量，即x1(t)，x2(t)，……，xn(t)，用这n个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。记为2009-082CAUC--空中交通管理学院§2-1状态空间的基本概念4、引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。图2-1动力学系统结构示意图2009-083CAUC--空中交通管理学院§2-1状态空间的基本概念5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。例：设单输入线性定常系统(LTI-LinearTimeInvariant)的状态变量为x1(t)，x2(t)，……，xn(t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：2009-084CAUC--空中交通管理学院§2-1状态空间的基本概念上式可写成向量—矩阵形式：系统矩阵，表示系内部状态的联系。或输入矩阵或控制矩阵，表示输入对状态的作用。2009-085CAUC--空中交通管理学院§2-1状态空间的基本概念6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。例：单输出线性定常系统其向量—矩阵形式为：2009-086CAUC--空中交通管理学院§2-1状态空间的基本概念7、状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程。它是对系统的一种完全的描述。例：SISO系统状态空间表达式：注意：由于A、B、C、D矩阵完整地表征了系统的动态特性，所以有时把一个确定的系统简称为系统。系统矩阵A：表示系统内部各状态变量之间的关联情况。输入矩阵（或控制矩阵）B：表示输入对每个状态变量的作用情况。输出矩阵C：表示输出与每个状态变量之间的组成关系。前馈矩阵D：表示输入对输出的直接传递关系。一般控制系统中，通常情况D=0。MIMO系统状态空间表达式：2009-087CAUC--空中交通管理学院§2-1状态空间的基本概念8、状态空间分析法：在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法，称为状态空间分析法或状态变量法。状态空间表达式的结构图如下：图2－2系统动态方程的方块图结构2009-088CAUC--空中交通管理学院§2-2线性系统状态空间表达式的建立线性系统状态空间表达式的一般形式：连续系统：用线性微分方程来描述离散系统：用差分方程来描述2009-089CAUC--空中交通管理学院§2-2线性系统状态空间表达式的建立一、状态空间表达式的模拟结构图在状态空间分析中，采用模拟计算机的模拟结构图来表示各状态变量之间的信息传递关系，这对于建立系统的状态空间表达式很有帮助。状态空间表达式的模拟结构图有三种基本符号：（1）积分器（3）比例器（2）加法器2009-0810CAUC--空中交通管理学院§2-2线性系统状态空间表达式的建立（1）积分器（3）比例器（2）加法器2009-0811CAUC--空中交通管理学院【例2.2.1】已知系统动态方程如下，试画出系统结构图。§2-2线性系统状态空间表达式的建立解：写成向量—矩阵形式，，其中：2009-0812CAUC--空中交通管理学院§2-2线性系统状态空间表达式的建立系统结构图（或状态变量图）如下：系统结构图（用基本单元来模拟动态方程）2009-0813CAUC--空中交通管理学院二、状态空间表达式的的建立，，四种方法:§2-2线性系统状态空间表达式的建立2009-0814CAUC--空中交通管理学院1、由控制系统的结构图求系统动态方程系统结构图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。要将系统结构图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统结构图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法器组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi

/dt。第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从结构图写出系统的输出方程。§2-2.1由控制系统的结构图求系统动态方程2009-0815CAUC--空中交通管理学院【例2.2.2】某控制系统的结构图如图2－3（a）所示，试求出其动态方程。，，（a）解:该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示图2-3控制系统结构图§2-2.1由控制系统的结构图求系统动态方程2009-0816CAUC--空中交通管理学院（b）（a）图2-3（a）所示结构图经等效变换后如图2-3（b）所示

(b)§2-2.1由控制系统的结构图求系统动态方程2009-0817CAUC--空中交通管理学院取y为系统输出，输出方程为：写成矢量形式，我们得到系统动态方程：（b）

我们取每个积分器的输出端信号为状态变量和，积分器的输入端即和。从图可得系统状态方程§2-2.1由控制系统的结构图求系统动态方程2009-0818CAUC--空中交通管理学院【例2.2.3】求如图所示系统的动态方程。（b）第一次等效变换（a）系统方块图（c）由标准积分器组成的等效方块图§2-2.1由控制系统的结构图求系统动态方程2009-0819CAUC--空中交通管理学院解：图(a)第一个环节可以分解为，即分解为两个通道，如图(b)左侧点划线所框部分。第三个环节为一个二阶振荡环节，它可以等效变换为如图(b)右侧双点划线所框部分。进一步，我们可以得到图(c)所示的由标准积分器组成的等效结构图。依次取各个积分器的输出端信号为系统状态变量，由图(c)可得系统状态方程：§2-2.1由控制系统的结构图求系统动态方程2009-0820CAUC--空中交通管理学院由图可知，系统输出写成矢量形式，得到系统动态方程：§2-2.1由控制系统的结构图求系统动态方程2009-0821CAUC--空中交通管理学院2、根据物理定律建立实际系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。【例2.2.4】RLC电路如图所示.系统的控制输入量为u(t)，系统输出为。建立系统的动态方程。u(t)uc(t)iLRC解：该RLC电路有两个独立的储能元件L和C，设回路电流为，根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：§2-2.2根据物理定律建立实际系统动态方程2009-0822CAUC--空中交通管理学院

（1）我们可以取流过电感L的电流和电容C两端电压作为系统的两个状态变量，分别记作和整理有写成向量矩阵形式为：§2-2.2根据物理定律建立实际系统动态方程2009-0823CAUC--空中交通管理学院整理有写成向量矩阵形式为：（2）设状态变量

§2-2.2根据物理定律建立实际系统动态方程2009-0824CAUC--空中交通管理学院（3）设状态变量

整理有：写成向量矩阵形式为：注意：选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式，并且各状态空间表达式之间存在着某种线性关系。§2-2.2根据物理定律建立实际系统动态方程2009-0825CAUC--空中交通管理学院

3、由系统的微分方程建立状态空间表达式从描述系统输入输出动态关系的高阶微分方程或传递函数出发建立与之等效的状态空间表达式的问题，称为“实现问题”。关于实现问题的详细内容，我们将在后面的章节中讨论。注意：实现是非唯一的。（1）输入量中不含导数项SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为：§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0826CAUC--空中交通管理学院第一步：选择状态变量（选择n个状态变量）,令：

第二步：化高阶微分方程为的一阶微分方程组。

§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0827CAUC--空中交通管理学院第三步：将方程组表示为向量—矩阵形式：其中：

注意：矩阵A为友矩阵。友矩阵的特点：主对角线上方元素为1，最后一行的元素可以任意取，而其余的元素均为零。系统结构图§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0828CAUC--空中交通管理学院【例2.2.5】已知，试列写动态方程。状态方程：输出方程：状态空间表达式为：其中：解：选状态变量§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0829CAUC--空中交通管理学院【例2.2.6】已知系统结构图如下，试求闭环状态空间表达式。解：故微分方程为：选状态变量:状态方程：输出方程：§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0830CAUC--空中交通管理学院其中：§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0831CAUC--空中交通管理学院（2）输入量中含导数项SISO线性定常连续系统的一般形式：取状态空间表达式为：其中：§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0832CAUC--空中交通管理学院这里可用待定系数法确定，即：注意：这种方法不实用。可先将微分方程画为传递函数，然后再由传递函数建立状态空间表达式。§2-2.3由系统的微分方程建立状态空间表达式2009-0833CAUC--空中交通管理学院4、由传递函数建立状态空间表达式SISO系统传递函数为：应用综合除法有：SISO系统结构图上式中的就是中的，即§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0834CAUC--空中交通管理学院（1）串联分解的情况其中：将分解为两部分串联，为中间变量，应满足：选取状态变量：§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0835CAUC--空中交通管理学院输出方程为：向量—矩阵形式的状态空间表达式为：其中：

上述状态空间表达式称为可控标准型。§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0836CAUC--空中交通管理学院当时，不变，唯变化。2009-0837CAUC--空中交通管理学院另外，还可以选另一组状态变量。设经整理有如下状态方程：输出方程为：2009-0838CAUC--空中交通管理学院向量—矩阵为

上述状态空间表达式称为可观测标准型。2009-0839CAUC--空中交通管理学院串联分解对偶的状态变量图（可观测标准型）可观测标准型和可控标准型动态方程的各矩阵存在如下关系：

§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0840CAUC--空中交通管理学院【例2.2.7】已知系统传递函数为解：采用传递函数串联分解法：整理有：

整理有：令：试求状态空间表达式。§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0841CAUC--空中交通管理学院状态空间表达式为:式中：，，，可控标准型状态变量图§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0842CAUC--空中交通管理学院根据对偶原理，也可写出可观测标准型：式中：，，

可观测标准型状态变量图§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0843CAUC--空中交通管理学院【例2.2.8】已知系统传递函数为试求状态空间表达式。（1）可控标准型状态空间表达式为：其中：（2）可观测标准型状态空间表达式为：其中：解：§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0844CAUC--空中交通管理学院只含单实极点的情况可分解为式中为n阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。式中：

设那么传递函数可展成：取状态变量：整理后有：，即状态方程为：§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0845CAUC--空中交通管理学院只含单实极点的情况可分解为式中为n阶系统的单实极点，则可化为对角标准型。设那么传递函数可展成：2009-0846CAUC--空中交通管理学院又有：

即输出方程为：向量—矩阵形式为：§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0847CAUC--空中交通管理学院对角形动态方程的状态变量图为：由于uiyi等价于对角形动态方程的状态变量图§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0848CAUC--空中交通管理学院【例2.2.9】已知系统传递函数为解：

其中：

动态方程为：试求状态空间表达式。§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0849CAUC--空中交通管理学院（3）含重实极点的情况中含重实极点时，不仅可以化为可控、可观测标准型，当还可以化为约当形动态方程。例如：§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0850CAUC--空中交通管理学院§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0851CAUC--空中交通管理学院【例2.2.10】已知系统传递函数为，试求约当型状态空间表达式。其中：

动态方程为：，即解：§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0852CAUC--空中交通管理学院2【例2.2.11】已知系统传递函数为，试求约当型状态空间表达式。其中：解：§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0853CAUC--空中交通管理学院

动态方程为：，特别注意：状态空间表达式可按如下公式导出传递函数

§2-2.4由传递函数建立状态空间表达式2009-0854CAUC--空中交通管理学院§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型一、状态空间表达式的线性变换系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性;实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。2009-0855CAUC--空中交通管理学院1、非奇异线性变换我们总可以找到某个非奇异矩阵P，将原状态向量作线性变换，得到另一个新的状态向量,令变换前系统动态方程为：变换后系统动态方程为：式中：

对于状态向量§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0856CAUC--空中交通管理学院特别提示：有些教材中，做如下线性变换：变换前系统动态方程为：变换后系统动态方程为：式中：与上面线性变换相比，两者只是形式不同。为在讲授过程中方便讲解，我们将一直采用这种线性变换。§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0857CAUC--空中交通管理学院2、非奇异线性变换的不变特性线性定常系统经非奇异变换后，其特征多项式、特征方程、传递函数不变。§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0858CAUC--空中交通管理学院二、系统特征值和特征向量（预备知识）定义：设A是一个nxn的矩阵，若在向量空间中存在一非零向量v，使

则称为的特征值，任何满足的非零向量称为的对应于特征值的特征向量。1、特征值的计算【例2.3.1】求下列矩阵的特征值。

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0859CAUC--空中交通管理学院解出特征值解：§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0860CAUC--空中交通管理学院2、特征向量的计算【例2.3.2】求下列矩阵的特征向量解：（1）A的特征值在上例中已求出

的特征向量（2）计算对应于特征值，有设，即有§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0861CAUC--空中交通管理学院

令:，则的特征向量（3）同理可算出的特征向量计算整理后有：解出：§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0862CAUC--空中交通管理学院三、动态方程的几种标准型1、动态方程的对角标准型对于线性系统若A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换矩阵P使原状态空间表达式变换为对角标准型。式中：其中，是矩阵A的特征值。§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0863CAUC--空中交通管理学院变换矩阵P由A的特征向量构造，即分别为对应于特征值的特征向量。【例2.3.3】试将下列动态方程变换为对角标准型。解：（1）A的特征值和特征向量已在前面两例中算出：

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0864CAUC--空中交通管理学院（2）用构造变换矩阵P，并求。

（3）计算§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0865CAUC--空中交通管理学院于是变换后的动态方程为：※注意：如果原状态空间表达式中的A阵为友矩阵，且有n个互异实数特征值，那么使A变换为对角形矩阵的变换阵P是一个范德蒙（Vandermonde）矩阵：

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0866CAUC--空中交通管理学院【例2.3.4】试将下列动态方程变换为对角标准型。

解：系统特征多项式为，解出特征值为由于A为友矩阵，并且有互异实特征值，故而变换矩阵可直接写为如下形式：

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0867CAUC--空中交通管理学院于是变换后的动态方程为：【例2.3.5】试将下列动态方程变换为对角标准型。

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0868CAUC--空中交通管理学院解：采用另一种方法：（1）系统特征多项式为，解出特征值为（2）可由，进而求出。令：

并带入，有§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0869CAUC--空中交通管理学院解出，则（3）计算

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0870CAUC--空中交通管理学院2、动态方程的约当标准型如果A阵具有重实特征根，又可分为两种情况：①A阵虽有重特征值，但矩阵A仍然有n个独立的特征向量。这种情况同特征值互异时一样，仍可以把A划分为对角标准型。②另一种情况是矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向量的个数也低于n。对于这种情况，A阵虽不能变换为对角标准型，但可以变换为约当标准型。§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0871CAUC--空中交通管理学院（1）约当块和约当阵形如、的矩阵，称为约当块。由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。如

§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0872CAUC--空中交通管理学院（2）设A阵具有m重实特征值，且只有一个独立实特征向量与之对应，则只能使A化为约当阵J。变换矩阵式中是的广义实特征向量，满足：，…，是互异特征值对应的实特征向量。§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0873CAUC--空中交通管理学院【例2.3.6】试将下列动态方程变换为约当标准型。

解：（1）系统特征多项式为解出特征值为（2）对应于特征值的特征向量，有，即解出：§2-3线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型2009-0874CAUC--空中交通管理学院由于，故对应特征值的独立特征向量只有一个(因为)，另一个为广义特征向量，设为，根据