第四章-插值法及曲线拟合

1第四章插值与曲线拟合§1引言§2拉格朗日插值多项式§3牛顿插值多项式§4分段低次插值§5

最小二乘拟合2§1引言1.

1插值问题的提法在生产和科研中出现的函数是多种多样的。常遇到这种情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态、甚至直接求出其3它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数P(x)作为的近似。

插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。4定义设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点上分别取值，在一个性质优良、便于计算的函数类φ

中，求一简单函数p(x)，使

而在其它点上，作为f(x)的近似。称区间为插值区间，点为插值节点，称（1.1）为f(x)的插值条件，称函数类φ

为插值函数类，称p(x)为函数在(1.1)5节点处的插值函数。求插值函数p(x)的方法称为插值法。插值函数类φ的取法不同，所求得的插值函数p(x)逼近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n的代数多项式6

(1.2)使其中为实数。满足插值条件(1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x)

在节点处的n次插值值多项式。

n次插值多项式的几何意义：过曲线y=f(x)上的n+1个点作一条n次代数曲线，作为曲线y=f(x)的近似，如图2-1。

(1.3)78

1.2插值多项式存在唯一性由插值条件（1.3）知，插值多项式的系数满足线性方程组

（1.4）由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙（Vandermonde）行列式，且9

因是区间上的不同点，上式右端乘积中的每一个因子，于是，方程组（1.4）的解存在且唯一。故有下面的结论：定理1

若节点互不相同，则满足插值条件（1.3）的n次插值多项式（1.2）存在且唯一。

10§2拉格朗日插值多项式在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种简便的求法。

2.1插值基函数先考虑一下简单的插值问题：对节点中任一点

,作一n次多项式

,使它在该点上取值为1,而在其余点

上取值为零,即

（2.1）（2.1）表明n个点

都是n次多项式的零点，故可设11其中

为待定系数，由条件

可得故

(2.2)对应于每一节点，都能求出一个满足插值条件（2.1）的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插插多项式

。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。12

2.2拉格朗日插值多项式利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值多项式

（2.3）事实上，由于每个插值基函数

都是n次多项式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时，根据条件（2.1）容易验证多项式（2.3）在节点

处的值为

，因此，它就是待求的n次插值多项式。形如(2.3)的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记为

（2.4)13

作为的特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式即这是一个线性函数，用线性函数

近似代替函数，在几何上就是通过曲线

上两点

作一直线

近似代替曲线(见图2-2)，故两点插值又名线性插值。

若令n=2，由（2.4）又可得常用的三点插值公式

（2.5）

（2.6）（2.7）))(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL----+----+----=14这是一个二次函数，用二次函数近似代替函数，在几何上就是通过曲线上的三点，作一抛物线近似地代替曲线（图2-3），故三点插值(二次插值)。例1

已知分别用线性插值和抛物插值求的值。x0y图2-215解

因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有

y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得故用线性插值求得的近似值为图2-3yx016仿上，用抛物插值公式（2.7）所求得的近似值为将所得结果与的精确值10.7238…相比较，可以看出抛物插值的精确度较好。为了便于上机计算，我们常将拉格朗日插值多项式（2.4）改写成公式（2.8）的对称形式可用二重循环来完成值的计算，先通过内循环，即先固定k，令j从0到，累乘求得

（2.8）17

然后再通过外循环，即令k从0到n，累加得出插值结果。

2.3插值余项在插值区间[a,b]上用插值多项式近似代替，除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在有误差的。若记则

就是用近似代替时所产生的截断误差，称为插值多项式的余项。

18

的n次插值多项式，则对于任何，有其中且依赖于。

（2.9）关于误差有如下定理2中的估计式。定理2

设在区间上有直到n+1阶导数，为区间上n+1个互异的节点，为满足条件:19例2

在例1中分别用线性插值和抛物插值计算了的近似值，试估计它们的截断误差。解

用线性插值求的近似值，其截断误差由插值余项公式（2.9）知

现在x0=100，x1=121，x=115，故20

当用抛物插值求

的近似值时，其截断误差为

将代入，即得

§3牛顿插值多项式由线性代数可知，任何一个不高于n次的多项式，都可表示成函数的线性组合，即可将满足插值条件的n次多项式写成形式其中为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿﹙Newton﹚插值多项式，我们把它记成Νn﹙x﹚,即

（3.1)21

22

因此，牛顿插值多项式是插值多项式的另一种表示形式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个计算机工作必须重新开始”﹙见例1﹚的缺点，而且可以节省乘﹑除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其它方面有着密切的关系.3.1向前差分与牛顿插值公式设函数ƒ﹙x﹚在等距节点处的函数值为已知，其中h是正常数，称为步长，称两个相邻点和处函数值之差为函数ƒ﹙x﹚在点处以h为步长的一阶向前差分﹙简称一阶差分﹚，记作，即于是，函数ƒ﹙x﹚在各节点处的一阶差分依次为

又称一阶差分的差分为二阶差分。23一般地，定义函数ƒ﹙x﹚在点处的m阶差分为

为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分，如表2-1所示。表2-124

在等距节点情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式﹙3.1﹚

的系数，并将所得公式加以简化。事实上，由插值条件

立即可得

再由插值条件可得由插值条件可得

一般地，由插值条件可得

25

于是，满足插值条件的插值多项式为

令,并注意到，则可简化为

这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式，简称前插公式。它适用于计算表头附近的函数值。由插值余项公式﹙2.9﹚，可得前插公式的余项为：﹙3﹒2﹚26

（3.3)例4

从给定的正弦函数表﹙表2-2左边两列﹚出发计算,并估计截断误差。表2—20.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.479430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.0019927解

因为0.12介于0.1与0.2之间，故取，此时。为求,构造差分表2—2。表中长方形框中各数依次为在处的函数值和各阶差分。若用线性插值求sin﹙0.12﹚的近似值，则由前插公式﹙3.2﹚立即可得用二次插值得用三次插值得：28

因很接近，且由差分表2—2可以看出，三阶差分接近于常数（即接近于零），故取作为的近似值，此时由余项公式（3.3）可知其截断误差

3.2向后差分与牛顿向后插值公式在等距节点下，除了向前差分外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分别如下：在点处以h为步长的一阶向后差分和m阶向后差分分别为29

在点处以为步长的一阶中心差分和m阶中心差分分别为其中

各阶向后差分与中心差分的计算，可通过构造向后差分表与中心差分表来完成﴾参见表2－２﴿。利用向后差分，可简化牛顿插值多项式（３.1），导出与牛顿前插公式﴾3.2﴿类似的公式，即，若将节点的排列次序看作，那么﴾３.1)可写成

30根据插值条件,可得到一个用向后差分表示的插值多项式其中t<0，插枝多项式(3.4)称为牛顿向后插值公式，简称后插公式。它适用于计算表尾附近的函数值。由插值余项公式（２.9），可写出后插公式的余项(3.4)31(3.5)例５已知函数表同例４，计算，并估算截断误差。解因为０.58位于表尾附近，故用后插公式（3.4）计算sin(0.58)的近似值。一般地为了计算函数在处的各阶向后差分，应构造向后差分表。但由向前差分与向后差分的定义可以看出，对同一函数表来说，构造出来的向后差分表与向前差分表在数据上完全相同。因此，表２-２用“——”线标出的各数依次给出了在处的函数值和向后差分值。因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算，且，于是由后插公式（3.4）得32

因为在整个计算中，只用到四个点上的函数值，故由余项公式（３.5）知其截断误差333.3差商与牛顿基本插值多项式当插值节点非等距分布时，就不能引入差分来简化牛顿插值多项式，此时可用差商这个新概念来解决。设函数在一串互异的点上的值依次为

。我们称函数值之差与自变量之差的比值为函数关于点的一阶差商，记作例如

34称一阶差商的差商为函数关于点的二阶差商（简称二阶差商），记作，例如一般地，可通过函数的m-1阶差商定义的m阶差商如下：35

差商计算也可采用表格形式（称为差商表），如表2—3所示，表2—3

一阶差商二阶差商三阶差商36差商具有下列重要性质（证明略）：（1）

函数的m阶差商可由函数值的线性组合表示，且（2）差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不影响差商的值。例如（３）当在包含节点的某个区间上存在时，在之间必有一点使37（４）在等距节点情况下，可同时引入阶差分与差商，且有下面关系：引入差商的概念后，可利用差商表示牛顿插值多项式（３.1）的系数。事实上，从插值条件出发，可以象确定前插公式中的系数那样，逐步地确定（３.1）中的系数故满足插值条件的n次插值多项式为38

（3.6）（3.6）称为牛顿基本插值多项式，常用来计算非等距节点上的函数值。例６试用牛顿基本插值多项式按例１要求重新计算的近似值。解先构造差商表。由上表可以看出牛顿基本插值多项式(3.6)中各系数依次为一阶商差二阶商差10012111100.0434780.047619-0.0000941441239

故用线性插值所得的近似值为用抛物插值所求得的近似值为

所得结果与例1相一致。比较例1和例6的计算过程可以看出，与拉格朗日插值多项式相比较，牛顿插值多项式的优点是明显的。由插值多项式的存在唯一性定理知，满足同一组插值条件的拉格朗日插值多项式（2.4）与牛顿基本插值多项式（3.6）是同一多项式。因此，余项公式（2.9）也适用于牛顿插值。但是在实际计算中，有时也用差商表示的余项公式40

（3.7）来估计截断误差（证明略）。注意：上式中的n+1阶商差与的值有关，故不能准确地计算出的精确值，只能对它作一种估计。例，当四阶差商变化不大时，可用近似代替。

分段线性插值Runge现象给定函数取等距插值节点建立10次插值多项式43

-101xy

1y=1/(1+25x2)y=L5(x)图2-5y=L10(x)分段线性插值

分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近f(x)。

设f(x)在n+1个节点上的函数值为,在每个小区间(k=0,1,…，n）上作线性插值，得在几何上就是用折线替代曲线,如右图所示若用插值基函数表示,则在a,b上

其中显然，是分段线性连续函数，且

称S(x)为f(x)的分段线性插值函数。由线性插值的余项估计式知,f(x)在每个子段上有误差估计式其中例5.19已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示

304560901求f(x)在区间30,90上的分段连续线性插值函数S(x)

解将插值区间30,90分成连续的三个小区间

30,45,45,60,60,90则S(x)在区间30,45上的线性插值为

S(x)在区间45,60上的线性插值为

S(x)在区间60,90上的线性插值为将各小区间的线性插值函数连接在一起，得

三次Hermite插值问题:已知函数f(x)在两个节点x0,x1上的函数值分别为y0,y1

及一阶导数值分别为m0,m1构造一个插值函数H3(x)，使满足条件

1°H3(x)是次数3的多项式

2°H3(x0)=y0,H3(x1)=y1,H'3(x0)=m0

H'3(x1)=m1

称这类插值问题为三次Hermite插值问题.首先求做三次多项式h0(x),h1(x),h0(x),h1(x),使其满足

h0(x0)=1,h0(x1)=0,h'0(x0)=0,h'0(x1)=0h1(x0)=0,h1(x1)=1,h'1(x0)=0,h'1(x1)=0

h0(x0)=0,h0(x1)=0,h'0(x0)=1,h'0(x1)=0

h1(x0)=0,h1(x1)=0,h'1(x0)=0,h'1(x1)=1设

由h0(x0)=1，得a=1,再由h'0(x0)=0，得，于是同理有设

由h'0(x0)=1，得a=1,于是同理有显然H3(x)=y0h0(x)+y1h1(x)+m0h0(x)+m1h1(x)其中三次Hermite插值多项式的余项定理3

设H3(x)

是以x0,x1为插值节点的三次Hermite插值多项式，若f(x)C3[a,b]，f(4)(x)在(a,b)上存在，其中

[a,b]是包含(x0,x1)的任一区间，则对任意给定的x[a,b]

，总存在一点(a,b)（依赖于x）使

曲线拟合的最小二乘法

如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数,不要求函数完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图5-7所示。图5-7曲线拟合示意图

换句话说:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是曲线拟合。

与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢？一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原理。

两种逼近概念:

插值:在节点处函数值相同.

拟合:在数据点处误差平方和最小函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节处函数值相同,即而曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点,也就是说拟合函数在xi处的偏差(亦称残差）

不都严格地等于零。但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势,要求按某种度量标准最小。若记向量,即要求向量某种范数最小,如的1-范数或∞-范数即或

最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求的2-范数即为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。

（1）直线拟合设已知数据点,分布大致为一条直线。作拟合直线,该直线不是通过所有的数据点,而是使偏差平方和为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为根据最小二乘原理，应取和使有极小值，故和应满足下列条件：即得如下正规方程组

(5.45)例设有某实验数据如下：12341.361.371.952.2814.09416.84418.47520.963

用最小二乘法求以上数据的拟合函数解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的

拟合直线为记x1=1.36,x2=1.37,x3=1.95x4=2.28,y1=14.094,y2=16