第四章 财务估价基础概念

第四章财务估价的基础概念本章主要讲述货币时间价值、风险衡量指标、风险与报酬等内容。本章重要知识点

1.货币时间价值的计算

2.单项资产的风险和报酬

3.投资组合的风险和报酬

4.系统风险和非系统风险

5.资本资产定价模型

第一节货币时间价值

货币时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称为资金时间价值。

一、终值和现值的概念

1.终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，俗称“本利和”，通常记作S或F。

2.现值，是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值，俗称“本金”，通常记作“P”。

二、利息的两种计算方法：单利、复利

单利：只对本金计算利息。

复利：不仅要对本金计算利息,而且对前期的利息也要计算利息。

三、单利的终值与现值

1.单利终值：S=P+P×i×n=P×（1+i×n）

2.单利现值

现值的计算与终值的计算是互逆的，由终值计算现值的过程称为“折现”。单利现值的计算公式为：P=S/（1+n×i）

四、复利终值与复利现值

1.复利终值

复利终值公式:

F=P×（1+i）n

其中，（1+i）n称为复利终值系数，用符号（F/P，i，n）表示。

2.复利现值

P=F×（1+i）-n

其中（1+i）-n称为复利现值系数，用符号（P/F，i，n）表示。

3.系数间的关系

复利现值系数（P/F,i,n）与复利终值系数（F/P,i,n）互为倒数

五、普通年金的终值与现值

1.有关年金的相关概念

（1）年金的含义

年金，是指一定时期内等额、定期的系列收支。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。

（2）年金的种类

2.普通年金的计算

（1）普通年金终值计算：式中：被称为年金终值系数，用符号（F/A，i，n）表示。

某企业需在5年后还清10000元债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10%，则每年需要存入多少元？

解：根据公式

S=得：=1638（元）

普通年金的终值点是最后一期的期末时刻。这一点在后面的递延年金和预付年金的计算中要应用到。

（2）普通年金现值的计算

其中，被称为年金现值系数，记（P/A，i，n）

普通年金现值的现值点，为第一期期初时刻。

练习：钱小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10万元，然后分6年每年年末支付3万元。钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱，好让她与现在2000元/平方米的市场价格进行比较。（假定银行利率为6%）

解：P=3×（P/A，6%，6）=3×4.9173=14.7519（万元）

钱小姐付给A开发商的资金现值为：10+14.7519=24.7519（万元）

如果直接按每平方米2000元购买，钱小姐只需要付出20万元，可见分期付款对她不合算。【例】为实施某项计划，需要取得外商贷款1000万美元，经双方协商，贷款利率为8%，按复利计息，贷款分5年于每年年末等额偿还。外商告知，他们已经算好，每年年末应归还本金200万美元，支付利息80万美元。要求，核算外商的计算是否正确。

【解】借款现值=1000（万美元）

还款现值=280×（P/A，8%，5）=280×3.9927=1118（万美元）>1000万美元

由于还款现值大于贷款现值，所以外商计算错误。

（3）年偿债基金和年资本回收额的计算

①偿债基金的计算

偿债基金，是为使年金终值达到既定金额的年金数额。从计算的角度来看，就是在普通年金终值中解出A，这个A就是偿债基金。计算公式如下：

式中，称为“偿债基金系数”，记作（A/s,i，n）。

这里注意偿债基金系数和年金终值系数是互为倒数的关系。

②资本回收额的计算

资本回收额，是指在约定年限内等额收回初始投入资本或清偿所欠的债务。从计算的角度看，就是在普通年金现值公式中解出A，这个A，就是资本回收额。计算公式如下：

上式中，称为资本回收系数，记作（A/P,i，n）。

资本回收系数与年金现值系数是互为倒数的关系。

【总结】系数间的关系

复利现值系数与复利终值系数互为倒数

年金终值系数与偿债基金系数互为倒数

年金现值系数与投资回收系数互为倒数

六、预付年金终值与现值

预付年金，是指每期期初等额收付的年金，又称为先付年金。有关计算包括两个方面：

1.预付年金终值的计算

具体有两种方法：

方法一：S＝A[（S/A，i，n＋1）－1]

预付年金终值系数，等于普通年金终值系数期数加1，系数减1.

方法二：预付年金终值＝普通年金终值×（1＋i）。

【例9】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱？解：F=A×（F/A，i，6）×（1+i）

=3000×（F/A，5%，6）×（1+5%）=3000×6.8019×1.05

或=3000×[（F/A,5%,7）-1]

=3000×（8.1420-1）

=21426（元）

2.预付年金现值的计算

具体有两种方法。

方法一：P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]

预付年金现值系数，等于普通年金现值系数加1，期数减1.

方法二：预付年金现值＝普通年金现值×（1＋i）

即付年金终值系数与普通年金终值系数的关系：期数＋1，系数－1

即付年金现值系数与普通年金现值系数的关系：期数－1，系数＋1

【例10】李博士某日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：

（1）每个月来公司指导工作一天；（2）每年聘金10万元；

（3）提供公司所在A市住房一套，价值80万元；（4）在公司至少工作5年。

李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但他不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，住房也没有人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付20万元房贴。

收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价契税和手续费，他可以获得76万元，而若接受房贴，则每年年初可获得20万元。假设每年存款利率2%，则李博士应该如何选择？解：解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到20万元的房贴与现在售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此对李博士来说是一个先付年金。其现值计算如下：

P=20×（P/A，2%，5）×（1+2%）

或=20×[（P/A，2%，4）+1]=96.154（万元）

从这一点来说，李博士应该接受房贴。

（七）递延年金

递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。图示如下：

M——递延期n——连续支付期

1.递延年金终值计算

计算递延年金终值和计算普通年金终值类似。

S＝A×（S/A，i，n）

【注意】递延年金终值与递延期无关。

2.递延年金现值的计算

【方法1】两次折现

把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，这时求出来的现值是第一个等额收付前一期期末的数值，距离递延年金的现值点还有m期，再向前按照复利现值公式折现m期即可。

计算公式如下：

P＝A（P/A，i，n）×（P/S，i，m）

【方法2】年金现值系数之差

把递延期每期期末都当作有等额的收付A，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减掉即可。

计算公式如下：

P＝A（P/A，i，m＋n）－A（P/A，i，m）＝A[（P/A，i，m＋n）－（P/A，i，m）]

【例·计算题】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：

（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；

（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；

（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。

假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？

『正确答案』

方案（1）

P0＝20＋20×（P/A，10%，9）＝20＋20×5.759＝135.18（万元）

方案（2）（注意递延期为4年）

P＝25×（P/A，10%，10）×（P/S，10%，4）＝104.92（万元）

方案（3）（注意递延期为3年）

P＝24×[（P/A，10%，13）－（P/A，10%，3）]＝24×（7.103－2.487）＝110.78

该公司应该选择第二方案。（八）永续年金

永续年金，是指无限期等额收付的年金。

永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。

永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值：P＝A/i

【例11】某人持有某公司的优先股，每年每股股利为2元，若此人长期持有，在利率为10%的情况下，要求对该股票投资进行估价。解：股票的价值P=A／i=2/10%=20（元）九、折现率、期间的推算

在资金时间价值的计算公式中，都有四个变量，已知其中的三个值，就可以推算出第四个的值。前面讨论的是终值S、现值P以及年金A的计算。这里讨论的是已知终值或现值、年金、期间，求折现率；或者已知终值或现值、年金、折现率，求期间。

对于这一类问题，只要代入有关公式求解折现率或期间即可。与前面不同的是，在求解过程中，通常需要应用一种特殊的方法――内插法。

数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。

数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。

上述公式易得。A、B、P三点共线，则

(b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。内插法在财务管理中应用很广泛，如在货币时间价值的计算中，求利率i，求年限n;在债券估价中，求债券的到期收益率；在项目投资决策指标中，求内含报酬率。【例·计算题】现在向银行存入20000元，问年利率i为多少时，才能保证在以后9年中每年年末可以取出4000元。

【答案】根据普通年金现值公式

20000＝4000×（P/A，i，9）

（P/A，i，9）＝5

查表并用内插法求解。查表找出期数为9，年金现值系数最接近5的一大一小两个系数。

【提示】内插法非常重要，一定掌握。

（十）名义年利率、期间利率和有效年利率

1.含义

名义年利率名义利率是指银行等金融机构提供的利率，也叫报价利率。在提供报价利率时，还必须同时提供每年都复利次数（或计息期的天数），否则意义是不完整的。期间利率（周期利率）期间利率是指借款人每期支付的利率，它可以是年利率，也可以是六个月、每季度、每月或每日等。

期间利率＝名义利率/每年复利次数有效年利率有效年利率，是指按给定的期间利率每年复利m次时，能够产生相同结果的年利率，也称等价年利率。

3.有效年利率的推算

式中，r——名义利率

m——每年复利次数

i——有效年利率

2.名义利率下终值和现值的计算

将名义利率（r）调整为期间利率（r/m），将年数（n）调整为期数（m×n）。

【例·计算题】某企业于年初存入10万元，在年利率10%、每半年复利计息一次的情况下，到第l0年末，该企业能得到的本利和是多少?

『正确答案』F＝P×（1＋r/m）m×n＝10×（1＋10%÷2）20＝26.53（万元）【例·计算题】本金10万元，投资8年，年利率6%，每半年复利1次，则8年末本利和是多少？

『正确答案』半年利率＝3%

复利次数＝8×2＝16

【延伸思考】上例中的有效年利率为多少？

【总结】这里的基本公式有两个：

根据这两个公式，可以进行利率的相互推算。比如已知期间利率可以推算有效年利率：

【例·计算题】一项500万元的借款，借款期5年，年利率为8%，若每半年复利一次，年实际利率会高出名义利率（）。

i＝（1＋r/m）m-1＝（1＋8%/2）2-1＝8.16%

年实际利率会高出名义利率0.16%【例·单选题】某人退休时有现金10万元，拟选择一项回报比较稳定的投资，希望每个季度能收入2000元补贴生活。那么，该项投资的实际报酬率应为（）。

A.2%

B.8%

C.8.24%

D.10.04%

『正确答案』C

『答案解析』这是关于实际报酬率与名义报酬率的换算问题。根据题意，希望每个季度能收入2000元，1年的复利次数为4次，周期报酬率（季）＝2000/100000＝2%，实际报酬率为：i＝（1＋2%）4－1＝8.24%。【例·单选题】A债券每半年付息一次、报价利率为8%，B债券每季度付息一次，如果想让B债券在经济上与A债券等效，B债券的报价利率应为（）。

A.8%B.7.92%C.8.16%D.6.78%

『正确答案』B

『答案解析』两种债券在经济上等效意味着有效年利率相等，因为A债券每半年付息一次，所以，A债券的年有效年利率＝（1＋4%）2－1＝8.16%，设B债券的报价利率为r，则（1＋r/4）4－1＝8.16%，解得：r＝7.92%。另外，本题也可以根据“半年的有效年利率”计算，即：A债券的半年有效年利率＝8%/2＝4%，B债券的季度有效年利率＝r/4，半年的有效年利率＝（1＋r/4）2－1＝4%，解得：r＝7.92%。（十一）连续复利

如果每年复利次数m趋近于无穷，则这种情况下的复利称为“连续复利”。

1.连续复利情况下的实际年利率

2.连续复利情况下的复利终值和现值计算

假设期数为t，则：

连续复利终值：

连续复利现值：

【例·计算题】某项贷款本金1000元，利率为10%，若按连续复利计息，则第3年末的终值为多少？

『正确答案』S＝1000×e10%×3＝1000×1.3499＝1349.9（元）。单项资产的风险和报酬

风险衡量两类方法：图示法——概率分布图；统计指标——方差、标准差、变化系数（一条主线，两种方法）

1.总体方差做一般了解即可。

2.期望值和方差是计算基础。分两种情况：

（1）根据概率计算；在已知概率的情况下，期望值和方差均按照加权平均方法计算。（2）根据历史数据计算。在有历史数据的情况下，期望值为简单平均；标准差为修正简单平均。

【例·计算题】某企业准备投资开发新产品，现有甲乙两个方案可供选择，经预测，甲乙两个方案的预期投资收益率如下表所示：

要求：

（1）计算甲乙两个方案的预期收益率的期望值；

（2）计算甲乙两个方案预期收益率的标准差；

（3）计算甲乙两个方案预期收益率的变化系数。

（1）预期收益率的期望值分别为：

甲方案收益率的期望值＝32×0.4＋17%×0.4＋（-3%）×0.2＝19%

乙方案收益率的期望值＝40%×0.4＋15%×0.4＋（-15%）×0.2＝19%

（2）预期收益率的标准差分别为：

（3）预期收益率的变化系数分别为：

甲方案变化系数＝12.88%/19%＝0.68

乙方案变化系数＝20.35%/19%＝1.07【例·计算题】样本方差和样本标准差的计算

已知某公司过去5年的报酬率的历史数据，计算报酬率的预期值、方差、标准差和变化系数。

投资组合的风险和报酬

投资组合理论认为，若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其风险不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低风险。

一、证券组合的预期报酬率

投资组合的收益率等于组合中各单项资产收益率的加权平均值。

若投资组合由两项资产组成，则该组合的期望报酬率为：结论：影响组合收益率的因素：

（1）个别资产投资比重；

（2）个别资产的预期收益率。

二、两项资产组合的风险计量

—项目i和j间的相关系数。通常用投资组合期望报酬率的方差和标准差来衡量。注意：组合投资期望报酬率的方差，并不是其所包含的各单项投资期望报酬率方差的加权平均。若投资组合为两个资产项目组合，那么，该投资组合的方差和标准差计算公式为:在投资组合风险分析中，通常利用协方差和相关系数两个指标来测算组合中任何两个投资项目收益率之间的变动关系。投资组合的方差是各种资产收益方差的加权平均数，加上各种资产收益的协方差。①协方差——协方差——是测度两个随机变量相互关系的一种统计指标。

财务管理中用于测量投资组合中两个具体投资项目报酬率之间的相互关联程度。计算公式：——两个资产项目的协方差；——为在第i种投资状态下第一项资产的投资报酬率；——为投资于第一项资产的期望投资报酬率；——为在第i种投资状态下第二项资产的投资报酬率；——为投资于第二项资产的期望投资报酬率；

概率预期收益率分布（%）ABCD0.10.20.40.20.110.010.010.010.010.06.08.010.012.014.014.012.010.08.06.02.06.09.015.020.0预期收益率标准差10.00.010.02.210.02.210.05.0表4-2四种证券预期收益率概率分布同理：若协方差为正数，两者正相关，表明组合中两个投资项目的收益率倾向于同一方向变动；若协方差为负数，两者负相关，表明组合中两个投资项目的收益率倾向于相反方向变动

；若协方差为零，两者不相关，表明组合中两个投资项目的收益率之间没有任何互动关系。协方差只能通过其符号来测度两个资产项目收益率之间协同变化的方向,不能反映其关联程度。投资组合中要尽可能选择项目之间的负相关的投资项目组合，至少不应选择项目之间正相关的投资项目组合。

协方差值的意义：下一步将协方差标准化，协方差除以两个投资方案投资收益率的标准差之积，得出一个与协方差具有相同性质但却没有量化的数。我们将这个数称为这两个投资项目的相关系数，它介于—1和+1之间。相关系数的计算公式为：即为标准化后的协方差，反映两项资产收益率的相关程度，即两项资产收益率之间相对运动的状态。相关系数可以在不同的资产之间进行比较。②相关系数—如投资组合由两个资产组成，其计算公式为:

计算公式为：根据上表资料，证券B和C的相关系数为：◆相关系数与协方差之间的关系：

——相关系数的正负符号表达与协方差相同。即相关系数为正值时，表示两种资产收益率呈同方向变化，负值则意味着反方向变化。相关系数的意义：——相关系数ρ取值范围在+1与-1之间。A、当0＜ρ≤1时，表明投资组合中各单个资产预期报酬的变化方向相同。称之为正相关。若ρ=1时，则表明投资组合中各单个资产预期报酬的变动是等比例地同增同减。称之为完全正相关。由完全正相关资产构成的投资组合不会产生任何分散风险的效应。

相关系数的意义：

若0＜ρ＜1时，则表明投资组合中各单个资产预期报酬的变动是不等比例的同增同减。称为非完全正相关。由非完全正相关资产构成的投资组合，由于其各单个资产的预期报酬之间具有一定的互补性，因而能够产生一定的风险分散效应。由此可见，各单个资产预期报酬之间的正相关程度越小，