小波动控制图

小波动控制图第一页，共五十页，2022年，8月28日CUSUM控制图概述CUSUM控制图的设计思想就是对数据的信息加以积累。CUSUM控制图分别可用于计量性数据（正态分布），缺陷数（泊松分布），不合格品率（二项分布）。利用样本数据的累积和建立控制图最早由佩吉提出，理论基础是序贯分析原理中的序贯概率比检验，这是一种基本的序贯检验法。该控制图通过对信息的累积，将过程的小偏移累加起来，达到放大的效果，提高检测过程小偏移的灵敏度。

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对于不同的累积和控制图，有一个基本的共同点即：首先提出原假设和备择假设，其次对假设进行检验并做出结论。本章所讲的累积和控制图指传统意义上的累积和控制图。构造累积和控制图，最关键的就是对所选质量特性的描述，所以它与休哈特控制图的基本构建程序及应用范围有一定区别。在实际应用中，用累积的统计值构建的控制图其敏感性和检出效果要明显强于凭单个样本值构建的控制图，原因在于该图是通过对样本均值、样本波动、极差等质量特性值的累积和建立的。它也可以对属性值进行累积。第三页，共五十页，2022年，8月28日7.1传统的CUMSUM主要讲述在样本数据服从正态分布的前提下，基于过程均值的单侧检验和双侧检验的CUMSUM的构造步骤与方法。（1）序贯概率比检验

序贯概率比检验是每次只从需检测的一批产品中抽检一个样本的产品，然后根据过去抽检的各样本的测试结果，比较在两种不同假时出现上述序贯测试结果的概率，以这两种概率的比值（统计上称为对的似然比）作为判断的依据。如果概率比远大于1，说明成立的可能性大；如果概率比远小于1，说明成立的可能性大。如果两种假设下的概率相差不大，则继续抽检下一个样本，再重复上述过程，直到能明确做出接受假设为止。第四页，共五十页，2022年，8月28日命题1：若（为远大于1的数），则接受；若（为远小于1的数），则接受；若，继续抽检下一个样本。A.wald对此有详细的论述，并证明在使用时可近似取

当为真时接受的概率近似等于，其中为第一类错误概率；当为真时接受的概率近似等于，其中为第二类错误概率。

第五页，共五十页，2022年，8月28日（2）单侧检验和双侧检验的CUMSUM建立在假设检验的理论基础之上，分别作出原假设和备择假设，对连续的似然比率进行检验步骤如下：原假设：H0：μ=μ0

备择假设：H1：μ=μ1(μ1>μ0),

当β/(1-α)<序贯概率比〈1-β/α（7.1）时，不能作出接受或拒绝H0和H1的判断。第六页，共五十页，2022年，8月28日公式7.1可用来对呈上升趋势的均值构造一个单侧检验控制图。假如我们有一组按时间顺序测得的独立样本数据即：X1X2…Xt，且服从正态分布组且样本方差已知为，均值未知，序贯概率比用如下公式计算：

(7.2)第七页，共五十页，2022年，8月28日现对其进行检验，则：△1=μ1－μ0

（7.3）St是对两个均值平均数的偏差的累积和，如图7.1所示。上下控制限分别根据方程7.2确定。按抽样程序，在抽到第6个样本点时，停止抽样并接受H0：µ=µ0，因为样本差的累积和超出了下控制线。同样在第18个样本点，接受：H1：µ=µ1

因为此时样本点超出上控制线。

第八页，共五十页，2022年，8月28日-20-100-30样本数，t+1010020累积和控制图上控制线图7.1连续抽样的累积和控制图St第九页，共五十页，2022年，8月28日

在单侧检验控制图中，可接受上限常常定为控制图上控制限，而下控制限由于无实际意义，一般不预研究，所以图7.1中虽然第六个点已超出下控制限也就无须采取补救措施，而第18个样本点则相反。总之，单边控制图主要研究均值向下偏移的趋势。若需要同时对大于和小于μO的两种情况加以研究时，我们可以借助一对单侧检验控制图，分别对向上和向下的变动进行研究。目标均值分别记为μ1>μO和μ2<μO，对应的发生第二类错误的风险概率分别为β1和β2，发生第一类错误的风险概率为2α，第十页，共五十页，2022年，8月28日将公式（7·2）与（7·3）合并，则得出累积和上下控制线为：

(7.4)(7.5)第十一页，共五十页，2022年，8月28日公式（7·4）和（7·5）是样本数t的线性函数。结果见图7.2（a）。一般情况下无论Δ1和Δ2取何值，CUMSUM都可用于对过程进行双边检验。图7·2（α）显示了向上和向下两种变动。

一般的连续抽样的累积和控制图模型7·2（b），图中有三个判断区域来接受相应的假设：Ho：μ=μO，H１：μ=μO+Δ1，H2：μ=μO+Δ2，如阴影部分表示。当样本累积和落到任何三个区域之一时，就停止抽样。在控制图中，仅仅向外扩张的上下控制线用于检测对均值的偏离。注意：在所有情况下的累积和是偏离过程均值的累积。第十二页，共五十页，2022年，8月28日接受H1接受H2继续抽样继续抽样接受H0LCLUCL样本数样本数（a）双侧检验的累积和控制图（b）连续取样区间图7.2双侧检验的累积和控制图的不同序贯概率比的可接受区间接受H1接受H2继续抽样继续抽样接受H0LCLUCL样本数样本数（a）双侧检验的累积和控制图（b）连续取样区间第十三页，共五十页，2022年，8月28日（3）CUMSUM的V型摸板当均值向上和向下波动的幅度相同时（如：Δ1=Δ2=Δ），常常用一个V型摸板对称的两臂做为上下控制限来分析累积和图。仅仅观测一下近期数据而非全部就可以从累积和的变动中对非随机模式做出判断。由图7·2（a）得出图7·3。转动V型摸板，使其下控制限平行于X轴，中心o作为最近数据的始点。横轴代表时间，以此判断何时的数据落到两臂上。当一个或数个点被任一臂覆盖时，表明过程均值已发生波动。当一个或数个点落被下臂覆盖时，则表明过程均值向上波动，被上臂覆盖，表明过程均值向下波动。第十四页，共五十页，2022年，8月28日图7.3累积和控制图的V型模板t-7tt-3样本数累积和dф可能发生偏移的时间第十五页，共五十页，2022年，8月28日图7·3描述了一个典型的CUMSUM的具体运用，图中清晰地显示了第t时刻样本点的具体位置。在3—7期间，均值明显向上移动，所以累积控制图的优势就是借助该图能够对过程均值发生变动的时间做出较准确的判断。由β1=β2=β分别计算出：前置距离d，即：模板的顶点V到基点0的水平距离，角度Φ：即模板两边线UV与LV之间夹角的一半。为均值可允许的偏移量，则

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其中A称为刻度因子，表示纵轴上一个刻度单位相当于横轴上A个刻度单位，通常取至2间的值。第十七页，共五十页，2022年，8月28日

用V型模板判断过程是否发生异常时，把透明的模板放在累积和图上，使它的基点O与图上刚描上的点重合，模板与累积和图的水平轴平行。如果以前所描的点都在V型模板的两条斜线内，则过程没有发生异常；

1）如果有一点碰到或被V型模板下臂覆盖，则判断过程平均水平异常增大；

2）如果有一点碰到或被V型模板上臂覆盖，则判断过程平均水平异常减小。碰到或被V型模板覆盖的点则可能是过程发生变化的起点。第十八页，共五十页，2022年，8月28日（4）样本均值的传统CUMSUM前述的CUMSUM是个体计量值控制图，而对于样本规模为n，均值分别为（…）的独立样本，构造CUMSUM的步骤为：计算上下控制限：（7.7）（7.8）第十九页，共五十页，2022年，8月28日其中۵1=µ1–µ0，۵2=µ2–µ0，Cusum统计量为：

V型模板的前置距离d和角ø的计算公式如下：第二十页，共五十页，2022年，8月28日（4）样本极差的传统CUMSUM

利用样本累积和统计值对过程变动进行控制类似于对连续的似然比率进行检验。实际应用中，用样本极差考查I、П类错误概率分别为和时，标准差σX从σ0到σ1发生的位移。由此得出V型模板两个系数的计算公式：(7.9)第二十一页，共五十页，2022年，8月28日样本累积统计量为：，其中：Ri为第i个样本极差。为原假设。ω为由样本规模决定的常数。第二十二页，共五十页，2022年，8月28日样本规模，nω30.23340.18850.16060.14270.12880.11890.110100.103表7.1决定样本极差Cusum的常数第二十三页，共五十页，2022年，8月28日7·3阐释CUMSUM

由于构成CUMSUM的样本数据之间相互依赖，所以要研究处于控制限线数据间的非随机因素引起的波动就存在一定的难度，也就无法利用分析休哈特均值控制图的原则和方法分析CUSUM。原因在于图中样本点是对历史数据的累积，有些点就会远离中心线，再根据具体落点位置解释图形也就失去了意义。

如果一系列点随机地排列在与中心线平行的某一位置，那么出现这种情况的原因很可能是中心线定位有问题。

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一般地，当图中出现几个样本点连续呈上升或下降趋势时则表明过程有可能产生了波动；另一种发生波动的信号是图中连续的样本点成线性趋势向下倾斜。图7·5（b）出了一天中每个样本点与平均9个样本均值之差的累积，图中显示，从第72天起，每天至少出现三次上偏和一次下偏趋势。而图（a）（休哈特图）则无法显示该信息。由此可以看出，在检测过程中的微小波动方面，CUMSUM的检出功效明显高于休哈特控制图。第二十五页，共五十页，2022年，8月28日102007.5

(a)X单值图30每天变化数样本数，天204006080UCLX=21.00=9.50LCLX=0.00返回第二十六页，共五十页，2022年，8月28日4002080-207.5

(b)累积和图（m=9）204006060累积和：样本数，天801234第二十七页，共五十页，2022年，8月28日有些时候，由于计算累积和方法的差别，CUSUM也会提供错误信号。例如参数值m、目标均值的选择等都可能造成控制图错发信号。图7·5（c）(d)是利用不同的参照值对同一批数据构造出的CUSUM，但对过程波动显示出的统计信号却明显不同。

第二十八页，共五十页，2022年，8月28日-10-30-2010-407.5

(c)累积和图（m=10）2000累积和：样本数，天406080-50第二十九页，共五十页，2022年，8月28日20-20060-407.5

(d)累积和图（m=9.5）204006040累积和：样本数，天80第三十页，共五十页，2022年，8月28日7.4类似于休哈特图的Cusum传统的Cusum很大程度上依赖于对目标过程参数和移动检测区间(n)的准确估计。事实上，这有时很难做到，这种情况下，最好不要随意地选取参数值来构造Cusum，可以利用累积和作为样本点，按照休哈特控制图的原理来作图。这些图无备择假设。我们先讨论基于个体变量值之上的过程均值控制图。随后我们将讨论样本均值的Shewhart-likeCusumControlCharts。第三十一页，共五十页，2022年，8月28日（1）Cusum能被有效地应用于个体测量数据它通过求和或求均值来对过去的样本数据进行总结。记t个个体观测值为X1X2….Xt，则它们的和为：

St=∑（Xi–m）=St–1+(Xt–m)，这里m是任意参数值，通常为过程均值。St是样本偏差的累积量。如果过程处于良好控制之下并且过程均值等于m，则CusumsSi将围绕m波动，不显示任何倾向。当过程向上或向下偏离m时，Si就会显示上移或下移的趋势，如果偏移是持续的，这种趋势就是线形的。因此，在检测这些图时，要特别注意这些趋势。第三十二页，共五十页，2022年，8月28日

没有偏移的倾向，事实上累积统计量的均值始终围绕一条水平直线随机波动一般认为过程稳定。因为是累积量，它对细微波动很敏感。传统的Cusum遵循统计假设的思想，给出一个接受值和拒绝值以及相应的错误概率。下面所讲的是一种转换方法。设个体观测值服从均值为µx方差为σX正态分布，记个体观测值为Xi,i=1,2…t,实行标准化得：

Zi=（Xi–µx）/σX，此时，累积统计量为：它服从正态分布，将它描绘在中心线为0，控制线为±3的控制图上即可。第三十三页，共五十页，2022年，8月28日（2）CusumChart的制作步骤

1、收集至少k=25个个体观测值，记：X1X2….Xk。

2、计算它们的均值和方差的估计值。

3、实行标准化求Zi。

4、对每t个样本数据求和，t=1,2,3,…k。

sumt=∑Zi。

5、对上述值进行标准化。

6、绘制标准的Cusum图。这里：

centerlineline=0UCL=3LCL=–37、解释控制图。第三十四页，共五十页，2022年，8月28日案例实践下面用磨砂着色的例子中的(31—57)数据来说明标准化的csusum图的步骤。已知：

=13.777Sx=0.1270其控制图如7.6所示。从图7.6中可看出，所有的累积量都在中心线之上，且呈向下倾斜的趋势。这可能归于如下原因：

1、样本的均值下降致使累积和下降，反之亦然。

2、过程均值持续不明显的波动使累积和呈现出向上或向下的非线性趋势。第三十五页，共五十页，2022年，8月28日2-204-4样本7.6

31-57批磨砂数据的标准化累积和控制图每批重量的标准化的累积和UCL＝3.0LCL＝－3.0CL＝0.01020300第三十六页，共五十页，2022年，8月28日

3、参数估计值存在误差。

4、受前期波动的影响。

5、由上述两个或两个以上原因共同作用的结果。图7.6在中，27个数据下移趋势十分明显，表明有特殊的因素在起作用。为进一步说明，现舍弃前五个数据，重新作一新的控制图。剩余22个样本的均值和标准差发生了变化。新样本的标准化控制图如7.7所示。图7.7显示，新的数据点围绕估计均值随机波动，最后一段

基本上贴近或与中心线重合，这是因为以为中心线，同时以它作为参数造成的。第三十七页，共五十页，2022年，8月28日2-204-47.7调整后的36-57批磨砂数据的累积和图标准化的累积和UCL＝3.0LCL＝－3.0CL＝0.01020300第三十八页，共五十页，2022年，8月28日

现假设由于特殊原因，表7.2中样本点从13—17逐级增加0.5个单位重量，重新作一个控制图见图7.8。显然，这些假设的偏移在图中通过非随机的波动倾向表现出来。这表明：1、cusum图能迅速地反映均值的波动；2、cusum图能确定波动开始产生的点的位置。

第三十九页，共五十页，2022年，8月28日2-1013-2-37.8设定幅度后36-57批磨砂数据的累积和图标准化的累积和UCL＝3.0LCL＝－3.001020CL＝0.0均值的下降幅度为0.5均值的上升幅度为0.5第四十页，共五十页，2022年，8月28日

因为对cusum图的解释主要基于数据的可能倾向上，同真实水平关系不大，将控制线去掉，它仍然能反映明显的变动趋势。这使得此类控制图适用于各种不同的数据，包括业务和管理记录数据。第四十一页，共五十页，2022年，8月28日（3）类似与休哈特图的均值累积和控制图

在拥有按时间序列测得的样本均值数据的情况下，可以制作累积量的休哈特控制图。如果已知反因反映质量特性的变量X的总体均值µx和方差σX，以及样本均值同µx之间偏差累积和为St,且,St的均值为0，方差为，以为控制线的Csusum控制图类似图7.9。将累积统计量标准化得：

这个统计量近似服从标准正态分布，其控制图的示意图如7.10所示第四十二页，共五十页，2022年，8月28日10-200-10020102030St图7.9样本均值的累积合控制图UCLLCL第四十三页，共五十页，2022年，8月28日+2-10