工程流体力学预备知识

工程流体力学预备知识第一页，共三十六页，2022年，8月28日0.1标量、矢量和场标量(scalarquantity)：只具有大小而没有方向的物理量，我们把它称之为标量。矢量（Vector）：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述它，还需要用方向来描述它。例如说，我们只知道一个人从学校门口走了1公里，就无法确定他到了什么地方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们就能确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向的物理量，我们把它称之为矢量。矢量与标量的根本区别是有没有方向。第二页，共三十六页，2022年，8月28日矢量具有平移不变性(translationinvariant)：把矢量在空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性质称为矢量平移的不变性。

矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量的模记为：或者。在直角坐标(rectangularcoordinates)中，一个矢量可以用它在直角坐标系中的三个投影分量(component)来表示：第三页，共三十六页，2022年，8月28日矢量的标积(scalarproduct)也称为矢量的点乘，定义为矢量的矢积(vectorproduct)也称为矢量的叉乘，定义为矢量的标积与矢积

其中i为由a和b根据右手螺旋定则判定的单位矢量。第四页，共三十六页，2022年，8月28日场(field):在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场，空间充满流体的压力场等。如果这个量是标量我们称该场为标量场；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。时变标量场和矢量场可分别表示为：第五页，共三十六页，2022年，8月28日方向导数定义图

0.2标量场的方向导数和梯度设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M，MM0=ρ，如图所示。若当M趋于M0时(即ρ趋于零时)，

的极限存在，则称此极限为函数φ(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为

标量场的方向导数第六页，共三十六页，2022年，8月28日若函数φ=φ(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cosα、cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为第七页，共三十六页，2022年，8月28日标量场的梯度标量场φ(x,y,z)在l方向上的方向导数为：在直角坐标系中，令

：第八页，共三十六页，2022年，8月28日其中矢量l°是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点M0处的常矢量。则方向导数为由上式可见，当l与G的方向一致时，即cos(G,l°)=1时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为第九页，共三十六页，2022年，8月28日在标量场φ(M)中的一点M处，其方向为函数φ(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标量场φ(M)在M点处的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐标系中，梯度的表达式为用汉密尔顿微分算子表示为第十页，共三十六页，2022年，8月28日标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。梯度的性质标量场的梯度是矢量，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。第十一页，共三十六页，2022年，8月28日设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立：第十二页，共三十六页，2022年，8月28日例0-1设标量函数r(x,y,z)是动点M(x,y,z)的矢量的模，即，试证明：。证：因为第十三页，共三十六页，2022年，8月28日所以证毕。第十四页，共三十六页，2022年，8月28日0.3矢量场的散度矢量场与矢量线：

在确定空间区域上的每一点有确定矢量与对应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。为了同时描述矢量场的方向和数值，除了直接用矢量的数值和方向来表示矢量场的大小以外，用矢量线来形象的描述矢量场分布。所谓矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线能够描述矢量场在空间的方向，但不能够直观描述矢量场的大小。第十五页，共三十六页，2022年，8月28日根据定义，得矢量线方程：第十六页，共三十六页，2022年，8月28日矢量场的通量：

为了克服矢量线不能定量描述矢量场的大小的问题，引入通量的概念。在场区域的某点选取微元面积，穿过该微元面积的矢量线的总数（即该矢量与微元面积的点乘），称为矢量场对于面积微元的通量。可见通量是对矢量线大小或者多少的某种描述。第十七页，共三十六页，2022年，8月28日矢量场F(x,y,z)对于曲面s的通量为曲面s上所有微小面积元通量的叠加：第十八页，共三十六页，2022年，8月28日如果曲面s是闭合的，并规定曲面法向由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：第十九页，共三十六页，2022年，8月28日表示通过闭合曲面有净的矢量线流出表示有净的矢量线流入表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系第二十页，共三十六页，2022年，8月28日为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。因此散度是矢量通过包含该点的任意闭合微小曲面的通量与曲面微元体积之比的极限。第二十一页，共三十六页，2022年，8月28日Gauss定理：直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场散度的积分：上式称为矢量场的Gauss定理。第二十二页，共三十六页，2022年，8月28日0.4正交曲线坐标系正交曲线坐标

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。该三条正交曲线组成确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系，三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量。第二十三页，共三十六页，2022年，8月28日正交曲线坐标变换

三维空间中同一位置可以用不同的正交曲线坐标系描述。因此不同坐标系之间存在相互变换的关系，且这种变换关系只能是一一对应的。第二十四页，共三十六页，2022年，8月28日在任何正交曲线坐标系中，存在一组与坐标轴相对应的单位矢量。如直角坐标系中的，圆柱坐标系中的等。正交曲线坐标系某个坐标方向上的单位矢量，它是该坐标变量为常数所对应曲面的单位法矢量。第二十五页，共三十六页，2022年，8月28日曲面的法向矢量第二十六页，共三十六页，2022年，8月28日坐标系中的弧长

在直角坐标系中，空间任意点的坐标变量的微小变化，变化前后的弧长是：

在正交曲线坐标系中，坐标变量的相邻两点的微小变化弧长为：第二十七页，共三十六页，2022年，8月28日其中，称为拉梅(Lame)系数。第二十八页，共三十六页，2022年，8月28日散度的有关公式在任意正交曲线坐标系中，矢量场的散度表达式为：第二十九页，共三十六页，2022年，8月28日0.5矢量场的旋度环量与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。第三十页，共三十六页，2022年，8月28日环量的概念：矢量场对于闭合曲线L的环量定义为该矢量对闭合曲线L的线积分，记为：（1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。（2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。第三十一页，共三十六页，2022年，8月28日第三十二页，共三十六页，2022年，8月28日SirC.Hinshelwood:“Fluiddynamicistsweredividedintohydraulicengineerswhoobservedwhatcouldnotbeexplained,andmathematicianswhoexplainedthingsthatcouldnotbeobserved.”-—QuotedbyM.J.LighthillinNature178(1956),p434.第三十三页，共三十六页，2022年，8月28日G.Birkhoff:“SydneyGoldstainhasobserved