内容教程说明

§4.1§4.2§4.3§4.4§4.5§4.6§4.1rgrrg rgrrg F(r)F(gr)F(r X XY rX

gXX

X

1则：X X XFX(r)F(rXFXF 1 XXXXF(r)不

(r)

(rgX 物体F(r)的一个对称变§4.2DACB§4.2第二类变换（非本征运动之垂直的转动的迭加（反射转动）§4.1§4.2§4.3§4.4§4.5§4.6§4.3集合Gg1,g2g31

gigjgk

(乘法表

gi(gjgk)(gigj)gk3、单位元素：egi giegi4、倒易元素：gg

g1 G构成一群，giG一般情况下，群元素没有交换律：gig

gjgi交换群：如果所有的群元素间的乘法全都对易(即AB=BA,,….)，则称为阿贝尔群(Abelian群)或交换群。交换群的一个特例是循环群（群的所有元素可由例如：群

,ˆ2,ˆ

抽象群：N阶循环群gn1g gn1

g1：生成gN例说 (1)结合性：数的加法具有结合封闭性：整数的加和仍为恒等元素：逆元素：相反数（1与-1，2与-2，…..）2)、数组：G={+1,-1,i,-i} 说明(1)结合性：满(2)封闭性说明(1)结合性：满(2)封闭性：满(3)恒等元素：同理(4)逆元素 (i)-1=-i,(-1)-1=-

构成二阶构成一阶 2x2y2 ((群表)。群的全部重要性质都包含在它的乘法表 证明（反证法假定群的元素D

AB=D (A-1A)1 ，(A-1A)即 B=A- C=A-

,ˆ2,ˆ

VVNV VH

C3V群的乘法表e, 32 2x,

2y, 2uG g

g

g g 乘法表 3232 32 2222u2e2222u32u2u2232

32232222u32222ue22u232u22 32e32 23

§4.31、阶h：群中元素的个

2、子群：群G部分元素的集合H满足群公理的要求，则H构成G的一个子群。子群指数：pnG nH 平凡子群：（1）群G本身（2）由单位元构成的一阶群。 例： 群（6阶

,ˆ2,,',"C3群（3阶

ˆ

3,ˆ 3Cs群（2阶）

ˆV'ˆV"

,ˆ2,ˆ

V VH

§4.3Gg1,g2,g3, Hh1,h2,h3,gi

gigjhihjG例：N ei2n/N2,4,,2

ei2/N,ei4/N,,ei2NN NN N N抽象群：N阶循环群gn1g gn1

g1：生成gN§4.3gigi gik

gisg

hihj则群H同态于群G：G同态群H部分体现了G群的性质。在中建立的规律对G中的某些性质适

HG群G={1,-1,i,-i 群H={1,-G元素{11对应H{1、iiH的{-1乘积对应乘由数由数 1 §4.3共轭：若g

g

gig1，则

i

jkkkk中的ig 分别变回旧坐标系和变入新坐标系kk因此，两个共轭元素实际上是同一性质在gk坐标变换共轭关系的可传递性：若群的元素共轭关系的可传递性：若群的元素A与共轭，B与共轭，则A与C共轭。证明证明：B=X- ，C=Y-1B则 =(XY)-1A(XY)=Z-（证毕自成一类（不与其他元素共轭）

PB=BP,… B-1PB=P …即:元 P不与其他元素共轭

交换群（互换群）GC0C1CN§4.3不属于子群H的元素gi和子群的元素hj右陪集：Hgih1gih2gih3gi,,hMgi左陪集：giHgih1gih2gih3,gihM若gihjgihl，则hj hlgihj和gihlgihj

hk

hh

与giH g2hj则g1

g2hh1g

g2H，反之亦然。 推论五：群G可按子群HGHg1HgpHHg1Hgp从子群H向群G的扩展过程，可以看成群元素的增加过程。当已有子群H存在时，群元素不能单个单个地是子H群阶的整数倍。★32u32 2

Ge,3,322x,2y,2ue,2x3e,2x3232,2Ge,2x3,2u32,23,322x,2y,2u

对称对称操作 对称元素:与一定的对称操作相联系的几何元素(对称轴、对 每个C关联n个不重复对称操作 ˆ1ˆ2ˆ 2.根据与主轴的关系，可分为h,vd垂直于主轴；v,包含主轴d：平分相邻C21h3v包含一个BFO 2.2.(x,y,

y,z)HHHHHHHHHHHHHHH ˆ 2.n次象转轴 n次象转动

ˆ

ˆn1212ˆˆˆ ˆ2ˆ23ˆ ˆ2ˆˆnˆ1ˆ2n 共个不重复的对称时存在和h对称元nˆnˆ,注意到Sˆ2 ˆ2ˆ1,因此S n S

ˆ2n1

ˆ

2. 分

,ˆ2,ˆ

V

H 式乙烷

V

ˆ,ˆ2,ˆ

C2,C2',C2"3V,V',V3

ˆ2ˆ2ˆ2S3(C3

ˆ3

,ˆ53.3.§4.3间断的均匀空间—（r，R）空Rr2RRr2§4.3均匀间断空间必然有平子群T Tnamblc

共有32种，记为K——有限群晶体学点群只有1,2,3,4,BBAAB移单BAAB(12cos)nABn12cosn 03223N16432N1 N 2N 2N 2NN3

N1 N N可能的组合：N22 332 432D.Shechtman,I.Blech,D.Gratias,J.W.Cahn,"Metalicphasewithwithlong-rangeorientationalorderandnotranslationalsymmetry“,Phys.Rev.Lett.,53(1984)1951-1953 G准确表示：G

32 2x, 2y, 1

3

D

,

2222 2222

,

,

,

, 1

1

1

1

1

11

1

1

D

, 1

1

,1 1

,,1

, ,1

1,1按代数乘法，构成2阶群。,i,i按复数乘法，构成4阶群。所有整数按代数加法，构成无限群。所有整数按代数乘法构成无限群?

ˆ2 RR转轴相互垂直的的两个C2转动。转动与（5）C2转动与反映面包含（1）若存在Cn转轴和一个垂直于该轴的