高二物理竞赛Bloch定理课件

§1、

Bloch定理一、周期场模型考虑一理想完整晶体，

所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，

每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的周期场中运动，这样的模型称为周期场模型。二、

Bloch定理（1928年）在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为

2

U

r

y

r

Ey

r

对于k’＝k±Gn

：

l

eik

aa

eik

aa

e

iGn

aa

eik

aa

la

a＝1,

2,

3

波矢量k和k’＝

k±Gn所描述的电子在晶体中的运动状态相同。与讨论晶格振动的情况相似，通常将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积，

即简约区或第一布里渊区中。a'如果两个波矢量k和k’相差一个倒格矢Gn

，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。al

eik

aa对于k：1

231

2

3v简约波矢：k限制在简约区中取值；v广延波矢：k在整个k空间中取值。

每一个量子态k在k空间中所占的体积:

1

1

1

1

2

31

2

3在k空间中，波矢k的分布密度：r

k

N

N

N

Nk

b

b

bN

N

N

Nb

b

b

ba

bV

Nva

h1

h2

h3 v

8p

3在简约区中，波矢k的取值总数为r

k

b

N

晶体的原胞数2.

Bloch函数的性质Bloch函数:

y

k

r

eik

ruk

r

v行进波因子

eik

r

表明电子可以在整个晶体中运动的，称为共有化电子，

它的运动具有类似行进平面波的形式。v

周期函数

uk

r

的作用则是对这个波的振幅进行

调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，

是两者的组合。l

如果晶体中电子的运动完全自由，

uk

r

A

const.l若电子完全被束缚在某个原子周围，eik

r

C

const.由于晶体中的电子既不是完全自由的，

也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有eik

r

uk

r

的形式。周期函数

uk

r

反映了电子与晶格相互作用的yk

r

eik

r

uk

r

yk

r

Aeik

ry

r

Cu

r

晶体中电子：自由电子：

孤立原子：A

const.C

const.强弱。Bloch函数中，行进波因子

eik

r

描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子

uk

r

则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。v如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），

电子的能量取分立的能级；v若电子只有共有化运动（自由电子情况），

电子的能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）

。v晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带结构。需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带结构。电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，

原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。一维周期场中电子运动的近自由电子近似一、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多，

这样，电子的运动几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰。二、

运动方程与微扰计算Schrödinger方程：

U

x

y

x

Ey

x

周期性势场：

U

x

U

x

a

a

：晶格常数Fourier展开：

U

x

U0

n0Un

exp

i

U0

0

U

x

dx

——

势能平均值

L

Na

Un

0

U

x

exp

i

dx根据近自由电子模型，

Un为微小量。电子势能为实数，

U*(x)=U(x)

Un*=U-nLLL1.

非简并微扰Hyk

E

k

y

kH

U

x

U0

n0

Un

exp

i

H0H

H0

U0

——

零级近似H

Un

exp

i

n

0n

0n

0——

微扰项分别对电子能量E(k)和波函数y(k)展开E

k

E

0

)

E

1)

E

2)

(

0)

(

1)

(2)将以上各展开式代入Schrödinger方程中，得H0y

0

)

E

0

)y

0)H0y

1)

H

y

0

)

E

0

)y

1)

E

1)y

0)H0y

2

)

H

y

1)

E

)y

2

)

E

1)y

1)

E

2

)y

k(0)k(k(k(k(k(0k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(k(能量本征值：

E

0)

U0

k(y

k

y

k

y

k

y

k

H0y

0

)

E

0

)y

0)k(k(k(零级近似方程：令U0

0正交归一性：

k

k

0

y

y

0)dx

dk

k

一级微扰方程：

H0y

1)

H

y

0

)

E

0

)y

1)

E

1)y

0)令：

y1)

a

)y

a

1)E

0

)y

0

)

H

y

0

)

E

0

)

a

1)y

0

)

E

1)y

0)l

l两边同左乘

y

并积分得a

E

Hk

k

E

0

)

a

E

1)dk

kk(k(k(k(l(l(k(k(l(l(l(l(0)l(1k(k(k(k(k(k(k(LLk((0)

1

ikxy

k

e相应归一化波函数：lE

1)

Hkk

k

H

k

0

y

0

)

H

y

0)dx

0

e

ikx

Un

exp

i

eikxdx

0a

)

1k(LLLLLLLLLLLLLLLLLLLn0n0n0n0LLLk(k(k(由于一级微扰能量Ek(1)＝0

，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量，方法同上。y

2

)

a

2

)y

0)l(l(k(代入二级微扰方程vk

’

=

kvk’

¹

k令lHk

k

k

H

k

0

y

)

H

y

0)dx

0

e

ik

x

Un

exp

i

eikxdx

0

Un

exp

i

k

k

x

dx

Un

,

k

k2pn/aLLLLLLLLLLLLLLLLLLn

0n

0n

0n

0LLLLLLLLLLLLLLLLLLn

0n

0n

0n

0LLLk(

0k(2E

E2)2)2)2)k

kk

kk