高二物理竞赛一维单原子链的振动课件

第三章

晶格振动与晶体的热学性质§1、一维单原子链的振动一、

运动方程及其解n-2

n-1

n

n+1

n+2b：力常数b

b只考虑最近邻原子间的相互作用：fn

b

mn

mn

1

b

mn

mn

1

bmn

1

mn

1

2mn

mn-2

mn-1

mn

mn+1

mn+2a

a形成一个C

－C键，

能量降低3.6

eV分子轨道由原子的2s

、2px

、2py和2pz轨道的线性组合组成，称为sp3

杂化轨道。1、

杂化轨道轨道杂化：在成键过程中，由几个能量接近的原子轨道重新组合成成键能力更强的新分子轨道的现象。C原子的基态为：1s22s22p21s电子从2s→2p需4

eV以金刚石为例:+4

eV2s

2p2s

2p1sCSiGeW计算（eV/atom）7.584.674.02W实验（eV/atom）7.374.633.85共价晶体的结合能W.

Kohn和P.

Hohenberg发展了局域密度泛函理论。利用这个理论，对各种半导体材料和金属材料的结合能、

晶格常数和体积压缩模量进行计算，计算结果与实验符合得相当好。

mw2Aei

wt

naq

b

Aei

wt

n

1

aq

Aei

wt

n

1

aq

2Aei

wt

naq

第n个原子的运动方程：mm&&n

bmn

1

mn

1

2mn

mw2

b

e

iaq

eiaq

2

2

b

cosaq

1mn

Aei

w

t

naq

——

格波方程——

色散关系sin

aqbm解得试解w

2

格波的简约性质、简约区w

2

sin

aq

——

色散关系w(q)

p

pa

a

q2p

p

0

p

2p-

a

-

a

a

a

q

——

简约区1m

2b

格波：Aei

w

t

naq

Ø

对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动Ø

对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单位距离两点间的振动位相差。格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。连续介质弹性波：Aei

w

t

xq

lq取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则晶格振动状态不同。l

若

q

q

l

则q

与q

描述同一晶格振动状态。2p

pl2

5

a

q2

l

2a

a22例：

l1

4

q

q

q

2p

11111111112121p12l4a2

a3

a4aa周期性边界条件（Born－Karman边界条件）N+1

e

iNaq

1

q

hmN

n

mnAei

wt

N

n

nq

Aei

wt

naq

ei

2ph

1h

=整数1

2

n

N

N+2

N+nL＝Na

——晶体链的长度简约区中波数q的取值总数

r

q

2p

Na

2p晶格振动格波的总数=N·

1

=

晶体链的自由度数在q轴上，

每一个q的取值所占的空间为a2p

a＝N＝晶体链的原胞数r

q

q的分布密度：格波的简谐性、

声子概念晶体链的动能：

T

mm&晶体链的势能：

U

b

mn

mn

1

2系统的总机械能：

H

mm&

b

mn

mn

1

2频率为wj

的特解：

mnj

Ajei

wjt

naqj

方程的一般解：

mn

Ajei

wjt

naqj

j

Q

q,

t

e

inaqn2n2n

nqnn系统的总机械能化为：H

Q&*

q,

t

Q&

q,

t

w2

q

Q*

q,

t

Q

q,

t

qQ(q,

t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的坐标，称为简正坐标。

eina

q

q

d

q

,

q

线性变换系数正交条件：n•

声子是晶格振动的能量量子

hwj•一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,

nj

：声子数。晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式。Q&&j

q,

t

wj2

q

Qj

q,

t

0能量本征值：声子的概念：

1

Ej

nj

2

hwjnj

0,

1,

2,

L运动方程：•当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以