高中数学北师大版1第三章圆锥曲线与方程 学业分层测评18

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P(2,0)到双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线的距离为eq\r(2)，则双曲线的离心率为()\r(2) B．eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【解析】双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为eq\f(|2b|,\r(a2＋b2))＝eq\r(2)，所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为eq\r(2)，故选A.【答案】A2．(2023·四川高考)过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()\f(4\r(3),3) B．2eq\r(3)C．6 D．4eq\r(3)【解析】设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝±eq\r(3)x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，将x＝c＝2代入得y＝±2eq\r(3)，即A，B两点的坐标分别为(2,2eq\r(3))，(2，－2eq\r(3))，所以|AB|＝4eq\r(3).【答案】D3．(2023·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,4)－y2＝1\f(y2,4)－x2＝1 D．y2－eq\f(x2,4)＝1【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.【答案】C4．(2023·湖北高考)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2【解析】分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．由题意e1＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，离心率e2＝eq\r(\f(a＋m2＋b＋m2,a＋m2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2).因为eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ma－b,aa＋m)，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b，所以当a＞b时，eq\f(ma－b,aa＋m)＞0，即eq\f(b＋m,a＋m)＞eq\f(b,a).又eq\f(b＋m,a＋m)＞0，eq\f(b,a)＞0，所以由不等式的性质依次可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2,1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2＞1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2，所以eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋m,a＋m)))2)＞eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，即e2＞e1；同理，当a＜b时，eq\f(ma－b,aa＋m)＜0，可推得e2＜e1.综上，当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.【答案】D5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()\r(2) B．eq\r(3)\f(\r(3)＋1,2) D．eq\f(\r(5)＋1,2)【解析】设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－eq\f(b,c).又渐近线的斜率为±eq\f(b,a)，所以由直线垂直关系得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))·eq\f(b,a)＝－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)显然不符合))，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．【答案】D二、填空题6．过双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．【解析】|MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.【答案】87．(2023·湖南高考)设F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一个焦点．若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．【解析】根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，则eq\f(c2,a2)－eq\f(4b2,b2)＝1，故eq\f(c2,a2)＝5，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).【答案】eq\r(5)8．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为eq\r(3)，则a＋b＝________.【导学号：32550089】【解析】由于点P(a，b)在右支上，所以a－b>0.又∵eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\r(3)，∴a－b＝eq\r(6)，又∵a2－b2＝1，∴a＋b＝eq\f(a2－b2,a－b)＝eq\f(1,\r(6))＝eq\f(\r(6),6).【答案】eq\f(\r(6),6)三、解答题9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【解】(1)由16x2－9y2＝144得eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，所以a＝3，b＝4，c＝5，所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝eq\f(5,3)，渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(36＋64－100,64)＝0，∴∠F1PF2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点P(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．【解】(1)∵e＝eq\r(2)，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.法二：∵eq\o(MF1,\s\up12(→))＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up12(→))·eq\o(MF2,\s\up12(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝6.[能力提升]1．(2023·大连双基考试)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up12(→))|＝3，|eq\o(PF2,\s\up12(→))|＝4，则双曲线C的离心率为()\f(\r(10),2) B．eq\r(5)\f(5,2) D．5【解析】由双曲线的定义可得2a＝||eq\o(PF2,\s\up12(→))|－|eq\o(PF1,\s\up12(→))||＝1，所以a＝eq\f(1,2)；因为eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝0，所以eq\o(PF1,\s\up12(→))⊥eq\o(PF2,\s\up12(→))，所以(2c)2＝|eq\o(PF1,\s\up12(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up12(→))|2＝25，解得c＝eq\f(5,2).所以此双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝5.故D正确．【答案】D2．(2023·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，eq\r(3))，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线上，则双曲线的方程为()\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B．eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1【解析】利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y＝eq\f(b,a)x过点(2，eq\r(3))，可得eq\r(3)＝eq\f(b,a)×2.①由双曲线的焦点(－eq\r(a2＋b2)，0)在抛物线y2＝4eq\r(7)x的准线x＝－eq\r(7)上，可得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(7).②由①②解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.【答案】D3．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1的离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．【解析】由已知得e1＝eq\f(\r(a2＋b2),a)，e2＝eq\f(\r(a2＋b2),b)，则e1＋e2＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＋eq\f(\r(a2＋b2),b)＝(eq\r(a2＋b2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥eq\r(2ab)·2eq\r(\f(1,ab))＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，eq\o(PF1,\s\up12(→))·eq\o(PF2,\s\up12(→))＝0，求双曲线的标准方程．【解】∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.又eq\o(PF1,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－\f(4\r(10),5)，－\f(3\r(10),5)))，eq\o(PF2,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(4\r(10),5)，－\f(3\r(10),5)))，∵eq\o(PF1,\s\up1