高二物理竞赛一维双原子链晶格振动课件

1、一维双原子链晶格振动1、模型x0n4x02n2x0n2x00xn4un4un2un

u1

(na,t)0xmumun2un4aun1

u2

(na

d,t)un3n5um1un1un3un1x0n3x0n5x0m1x00xn1n3adm

nM基元 x0ni(

2nat

)

Aei(naqt

)u

u(na,t)

Aenaq：第

n个原子的振动相位一维单原子链动力学方程的一般解一维原子链动力学方程在谐振近似、最近邻近似下的一般解：n

1,2,3,NA：格波振幅

2

：格波圆频率a

dx

na

x(n

1)a

x

dxun

u(na,t)

u(x,t)un1

u(n

1)a,t

u(x

dx,t)若格波波长

比晶体原子间距离大得多，即﹤﹤a

，2u 1

2u

u(x,

t)

x

dx

2!

x2

(dx) 2

u 1

2uu(x,

t)

x

dx

2!

x2

(dx)un1

u(n

1)a,t

u(x

dx,t)谐振近似、最近邻近似、连续介质近似下的一维原子链原子的动力学方程简化为：dt

2d

2um

n

(un1

un1

2un)2(dx)m

2u(x,

t)t

2 x2

2u(x,t)

（标准波动方程形式）2u(x,

t)

a2

2u(x,t)

2

2u(x,t)t

2 m x2 x2波动方程的特解：i(

2x

t

)

Aei(qxt)u(x,

t)

Aeq

2A：格波振幅

2

：格波圆频率：格波波矢i(naqt

)un

Aenmu

Aei(maqt)

u

ei(mn)aqn

1,2,3,m,N幅和频率相同。但每个原子的振动相位不同，相邻两个原子的相位差等于

qa

。当两个原子的振动位相差为2

的整数倍时，两个原子的振动位移相等，晶体原子振动以格波在晶体中传播。——第n

个原子的振动对一维单原子链动力学方程一般解的讨论（1）原子谐振在晶体中以格波形式传播每个原子都围绕其平衡位置谐振，振um

uneiaqm

n

1un m

naq

2l或

m

na

l

2

2

(1

cos

qa)

4

sin

2

qam m 22mm4

sin

qa

sin

qa

色散关系（频率与波矢的关系）m4m2

截止频率将动力学方程的一般解ni(

2nat

)

Aei(naqt

)u

u(na,t)

Ae得到：dt

2d

2um

n

(un1

un1

2un)代入动力学方程，eiaqunm2u

eiaqu

2u

n n n2aqamm

2l

q

a

sin

2

sina格波圆频率

是

q

的周期函数，周期=

2

。由于一维晶格的倒格矢，在倒格子空间中，圆频率周期性表示为：a

2G

l

l为整数

q

a a波矢

q

和波矢

q

Gl 表示同一格波，所以可以将

q

的取值

q

限制在第一布里渊区：a

a4

sinqam 2

q

2q格波圆频率具有中心反演对称性：(q)

(q)得到一维单原子链的色散关系曲线：p

2 qsin

qamq

2

格波群速度：dq

cosqam 2

d

a从色散关系得到一维单原子链晶格子振动格波相速度：在长波长情况下，波长比晶格常数大得多，q

，

4

qa

aq m 2 m4

sin

qa m 2pmmq

qa

1

am 2 q

2

2qsin

qa

2dqm

d

a

cosqa

am 2与波矢无关与波矢无关与波矢成线性关系

unuN

n

Aei(t

(

Naqndq))

Aei(t

naq)l

0,1,2,波矢的个数（振动模式数）由周期性边界条件：得到：eiNaq

1

Naq

2

,q

2l

,

l

0,1,2

Na由于

q

a a

2l

a Na aN

l

N2 2N个原子组成的一维单原子链，有

N个不同波矢的格波。即有

N个振动模式。2

﹥1设：4、原胞中两个原子的质量分别为m、M;1、原胞中两个原子距离d﹤a/2;2、相邻间距为d

的两个原子的恢复力系数为

;13、相邻间距为(a-d)的两个原子的恢复力系数为2;22212u2

(na,

t)

u1

((n

1)a,

t)

dt

2d u(na,

t)M1

u1

(na,

t)

u2

((n

1)a,

t) dtd u(na,

t)m

2

u2

(na,

t)

u1

(na,

t)

u2

(na,

t)

2u1(na,

t)动力学方程在简谐近似、最近邻近似下，n

1,2,3,m,N21u (na)

Beu (na)

Aei

(naqt

)i

(naqt

)3、动力学方程的一般解：色散关系1 221