高中数学人教B版2第一章导数及其应用 第1章

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2【解析】由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.【答案】D2．(2023·衡水高二检测)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在【解析】切线的斜率为k＝－2，由导数的几何意义知f′(x0)＝－2<0，故选C.【答案】C3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()【导学号：05410006】A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)【解析】因为y＝x3，所以y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)，故选C.【答案】C4．(2023·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0【解析】设切点为(x0，y0)，∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.【答案】A5．曲线y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))处的切线的斜率为()A．2 B．－4C．3 \f(1,4)【解】因为y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(－1,x2＋x·Δx)＝－eq\f(1,x2)，所以曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))处的切线斜率为k＝－4，故选B.【答案】B二、填空题6．已知函数y＝f(x)的图象如图1­1­3所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．图1­1­3【解析】由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．【答案】②7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是__________.【解析】因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－1＋2＋3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(Δx－4)＝－4，所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.【答案】4x＋y－2＝08．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．【解析】设P(x0，y0)，则y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋2x0＋Δx－x\o\al(2,0)－2x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．【答案】(0,0)三、解答题9．(2023·安顺高二检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋3，,y＝2x＋2，))得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又eq\f(Δx＋12＋3－12＋3,Δx)＝Δx＋2.当Δx趋于0时，Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2，所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．【解】y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝xeq\o\al(2,0)，又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率k＝2x0，∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为eq\f(y0－5,x0－3)＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3).∴2x0＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3)，解得x0＝1或x0＝5.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.[能力提升]1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b()A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】依导数定义可求得，y′＝3x2＋a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13×a＋b＝3.,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，选C.【答案】C2．(2023·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()【导学号：05410007】A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】∵eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－1，∴eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－2，即f′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.【答案】D3．(2023·郑州高二检测)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．【解析】设切点为P(x0，y0)．则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(ax0＋Δx2－ax\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.又y0＝axeq\o\al(2,0)，x0－y0－1＝0，联立以上三式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＝1，,y0＝ax\o\al(2,0)，,x0－y0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)4．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．【解】因为f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.因为g′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝