复变函数级数

第三章复变函数级数复变函数的无穷级数（新运算）求和：连续求和——积分离散求和——级数重要性：积分和级数是表达函数的两大工具内容：级数收敛性和求和方法复变函数展开为级数（复变函数的级数表示）级数的运算§3.1幂级数复数项级数收敛性：若级数的部分和序列有有限极限，则称该级数收敛，其和为，否则该级数发散。绝对收敛：若组成的级数收敛，则称该级数绝对收敛。

绝对收敛收敛？收敛判别法基本法则——Cauchy判据任给，必有N存在，当时对任意的正整数p有特殊法则——比较判别法由基本法则可知，若对充分大的k有，则

发散发散收敛收敛具体比较判别法与标准级数比较，如几何级数比值判别法（d’Alembert判别法）根式判别法（Cauchy判别法）r<1时级数收敛；r>1时级数发散；r=1时不一定。级数的代数运算若，加减法：两收敛级数的和与差级数仍收敛，且乘法：两绝对收敛级数的乘积绝对收敛，且其和与乘积项的排列次序无关klb0b1b2…

a0a0b0a0b1a0b2…a1a1b0a1b1a1b2…a2a2b0a2b1a2b2……

…………n012除法是乘法的逆运算klb0b1b2…

a0a0b0a0b1a0b2…a1a1b0a1b1a1b2…a2a2b0a2b1a2b2……

…………n-101复变函数项级数收敛性：若复变函数项级数在某个区域D内所有点处收敛，则称该级数在D内收敛。一致收敛性定义：若对任意e>0，必有一个不依赖于z的N(e)存在，使时，有则函数项级数在D

上一致收敛。特殊判别法：正实常数项收敛级数有则在D

上一致收敛。一致收敛级数性质：连续性：在有限（开）区域D内连续，在D内任意闭区域上一致收敛，则和函数在D内连续。一致收敛级数性质：②

积分性质：在有限（开）区域D内解析，在D内任意闭区域上一致收敛，则其和在D内解析且可沿l逐项积分，即一致收敛级数性质：微商性质：在有限（开）区域D内解析，在D内任意闭区域上一致收敛，则其和在D内解析且可逐项微商任意多次，即幂级数定义：主要研究整数幂级数，特别是非负整数幂级数；称为以a为中心的幂级数。收敛特性：以a为中心的幂级数在某个圆内收敛且绝对收敛在上绝对一致收敛在圆外发散收敛圆收敛半径收敛发散Abel定理：幂级数在某点处收敛它在上收敛且绝对收敛它在上绝对一致收敛证：（利用比较判别法）级数在内收敛

收敛推论：若幂级数在某点处发散，则它在处发散收敛半径的求法（比值或根式判别法）幂级数运算性质：幂级数在收敛圆内其和是解析函数，且可任意次逐项积分、逐项微商。例1例2§3.2泰勒级数及解析延拓Taylor展开定理：已知f(z)在z=a处解析，z0为f(z)

距离a点最近的奇点，则

其中，且展开唯一。证：1）利用解析函数的积分特征——Cauchy积分公式

2）将展开为以a为中心的幂级数

3）逐项积分

4）再利用Cauchy导数公式具体计算：展开：逐项积分：利用导数公式：唯一性：Taylor展开方法：基本方法（Taylor展开定理）特殊方法（幂级数运算）线性运算乘除运算复合运算微积分运算Taylor展开例子：例1

求ez

在邻域的Taylor

展开。解：因为故收敛半径例2

求ez

在邻域的Taylor展开。解：因为故收敛半径：例3

求和在

z=0

邻域的Taylor展开类似的有例4

求在z=0

邻域的Taylor展开例5

求（a为任意复常数）在z=0邻域的泰勒展开当a

≠整数时，f(z)为多值函数，须在指定叶上展开。z=-1是其支点，若取负实轴上(-∞,-1)为割线，规定（k为整数）-1-∞因所以有例6

求在z=1邻域的泰勒展开若取负实轴(-∞,0)为割线，规定（k为整数）因有积分代入并逐项积分无穷远点邻域的Taylor展开：若存在R使f(z)在以z=0为圆心R为半径的圆外（包括z=∞）解析只需作变换解析延拓延拓：定义域扩大定义：函数f(z)在d上解析，如果能够把它的解析区域扩大，即在D内解析（）这种延拓称为d上解析函数由d到D-d的解析延拓。唯一性定理：若在区域D内两解析函数

Fk,k=1,2，在D上内某条曲线l上相等则必在整个区域D内相等。（证明：利用级数特征）解析延拓方法基本方法：利用解析函数级数或积分特征例：

§3.3洛朗级数及奇点分类非正整幂级数非正整幂级数非负整幂级数收敛发散收敛性：在圆外收敛且绝对收敛；在上绝对一致收敛，在圆内发散；在圆外定义一个解析函数收敛发散根据Taylor展开定理，在z=∞点解析的函数可以在其邻域展开为非正整幂级数Laurent级数定义：整幂级数称为以a为中心的洛朗级数；它由非负整幂级数和非正整幂级数组成收敛性：在以a为中心的环内收敛且绝对收敛其和在环内解析Laurent展开定理：

已知f(z)在环内解析，则，其中

c为环内将z=a围在其内的任意光滑曲线。且展开唯一。证：复通区域Cauchy积分公式把被积函数展开为幂级数

逐项积分解析函数的积分特征几点说明：若函数f(z)在内解析，则展开退化为泰勒展开尽管洛朗展开系数an的公式与泰勒展开系数的积分公式形式一样，但一般来说Laurent展开方法：基本方法：展开公式特殊方法：利用幂级数运算线性运算乘积运算复合运算微积分运算例1求在环内的洛朗展开基本方法：特殊方法：例2求在环内的洛朗展开例3在的邻域内将展开为洛朗级数例4在的邻域内将展开为洛朗级数奇点分类：孤立奇点与非孤立奇点

已知z=z0是单值函数f(z)的奇点，若在其一个邻域内除它外都解析，则称z=z0为函数的孤立奇点，否则称为非孤立奇点。z0z0邻域几个例子：函数，z=0,i,∞为其孤立奇点；函数仅在Re(z)=0处可导，所以复平面上所有点均为非孤立奇点;函数奇点为z=0和满足方程的点即为孤立奇点;为非孤立奇点。孤立奇点分类：有限孤立奇点分类：设z=z0是f(z)有限孤立奇点且有洛朗展开按展开中负幂项的个数分类：可去奇点：展开中不含负幂项m阶极点：展开中含有有限个负幂项本性奇点：展开中含有无穷多个负幂项几个例子：z=1是函数的一阶极点z=0是函数的本性奇点

无穷远孤立奇点分类：设z=∞是f(z)的孤立奇点且在其邻域有洛朗展开按展开中正幂项的个数分类：可去奇点：展开中不含正幂项m阶极点：展开中含有有限个正幂项本性奇点：展开中含有无穷多个正幂项几个例子：z=∞是函数的5阶极点z=∞是函数的本性奇点

孤立奇点分类：按极限分类：可去奇点：单极点：m阶极点：本性奇点：不存在例子：z=0是函数

e1/z

的本性奇点，在0<z<

的环域内，它的Laurent级数为

z

沿正实轴0时，1/z,故e1/z

z

沿负实轴0时，1/z－,故e1/z０

z

沿虚轴，按i/(2n)0

时，e1/z1

z

按序列函数

e1/z

的实部与虚部