高等数学第六版(下册)第十一章课后习题答案

高等数学第六版(下册)第十一章课后习题答案习题1111写出下列级数的前五项(1)解.解.(2)解.解.(3)解.解.(4)解.解.2写出下列级数的一般项(1)解一般项为.(2)解一般项为.(3)解一般项为.(4)解一般项为.3根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性(1)解因为所以级数发散(2)解因为所以级数收敛(3)解.因为不存在所以不存在因而该级数发散4判定下列级数的收敛性(1);解这是一个等比级数公比为于是所以此级数收敛(2);解此级数是发散的这是因为如此级数收敛则级数也收敛矛盾(3);解因为级数的一般项所以由级数收敛的必要条件可知此级数发散(4);解这是一个等比级数公比所以此级数发散(5).解因为和都是收敛的等比级数所以级数是收敛的习题1121用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性(1)解因为而级数发散故所给级数发散(2)解因为而级数发散故所给级数发散(3)解因为而级数收敛故所给级数收敛(4)解因为而级数收敛故所给级数收敛(5)解因为而当a1时级数收敛当0a1时级数发散所以级数当a1时收敛当0a1时发散2用比值审敛法判定下列级数的收敛性(1)解级数的一般项为因为所以级数发散(2)解因为所以级数收敛(3)解因为所以级数收敛(3)解因为所以级数收敛3用根值审敛法判定下列级数的收敛性(1)解因为所以级数收敛(2)解因为所以级数收敛(3)解因为所以级数收敛(4)其中ana(n)anba均为正数解因为所以当ba时级数收敛当ba时级数发散4判定下列级数的收敛性(1)解这里因为所以级数收敛(2)解这里因为所以级数收敛(3)解因为而级数发散故所给级数发散(4)解因为所以级数收敛(5)解因为所以级数发散(6)解因为而级数发散故所给级数发散5判定下列级数是否收敛？如果是收敛的是绝对收敛还是条件收敛？(1)解这是一个交错级数其中因为显然unun+1并且所以此级数是收敛的又因为是p1的p级数是发散的所以原级数是条件收敛的(2)解因为所以级数是收敛的从而原级数收敛并且绝对收敛(3)解这是交错级数并且因为级数是收敛的所以原级数也收敛并且绝对收敛(4)解这是交错级数其中因为unun+1并且所以此级数是收敛的又因为而级数发散故级数发散从而原级数是条件收敛的(5)解级数的一般项为因为所以级数发散习题1131求下列幂级数的收敛域(1)x2x23x3nxn解故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为是发散的当x1时幂级数成为也是发散的所以收敛域为(11)(2)解故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为[11](3)解故收敛半径为R收敛域为()(4)解故收敛半径为R3因为当x3时幂级数成为是发散的当x3时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为[33)(5)解故收敛半径为因为当时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为(6)解这里级数的一般项为因为由比值审敛法当x21即|x|1时幂级数绝对收敛当x21即|x|1时幂级数发散故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为[11](7)解这里级数的一般项为因为由比值审敛法当即时幂级数绝对收敛当即时幂级数发散故收敛半径为因为当时幂级数成为是发散的所以收敛域为(8)解故收敛半径为R1即当1x51时级数收敛当|x5|1时级数发散因为当x51即x4时幂级数成为是收敛的当x51即x6时幂级数成为是发散的所以收敛域为[46)2利用逐项求导或逐项积分求下列级数的和函数(1)解设和函数为S(x)即则(2)解设和函数为S(x)即则提示由得(3)解设和函数为S(x)即则提示由得习题1141求函数f(x)cosx的泰勒级数并验证它在整个数轴上收敛于这函数解(n12)(n12)从而得f(x)在x0处的泰勒公式因为(01)而级数总是收敛的故从而因此x()2将下列函数展开成x的幂级数并求展开式成立的区间(1)解因为x()所以x()故x()(2)ln(ax)(a0)解因为(1x1)所以(axa)(3)ax解因为x()所以x()(4)sin2x解因为x()所以x()(5)(1x)ln(1x)解因为(1x1)所以(1x1)(6)解因为(1x1)所以(1x1)3将下列函数展开成(x1)的幂级数并求展开式成立的区间(1)解因为所以即上术级数当x0和x2时都是收敛的所以展开式成立的区间是[02](2)lgx解即4将函数f(x)cosx展开成的幂级数解5将函数展开成(x3)的幂级数解即6将函数展开成(x4)的幂级数解而即即因此习题1151利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值(1)ln3(误差不超过00001)解又故因而取n6此时(2)(误差不超过0001)解由于故因此取n4得(3)(误差不超过000001)解由于故(4)cos2(误差不超过00001)解由于故2利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值(1)(误差不超过00001)解因为所以(2)(误差不超过00001)解因为所以3将函数excosx展开成x的幂级数解因为所以因此习题1171下列周期函数f(x)的周期为2试将f(x)展开成傅里叶级数如果f(x)在[)上的表达式为(1)f(x)3x21(x)解因为(n12)(n12)所以f(x)的傅里叶级数展开式为(2)f(x)e2x(x)解因为(n12)(n12)所以f(x)的傅里叶级数展开式为(x(2n1)n012)(3)(ab为常数且ab0)解因为(n12)(n12)所以f(x)的傅里叶级数展开式为(x(2n1)n012)2将下列函数f(x)展开成傅里叶级数(1)(x)解将f(x)拓广为周期函数F(x)则F(x)在()中连续在x间断且故F(x)的傅里叶级数在()中收敛于f(x)而在x处F(x)的傅里叶级数不收敛于f(x)计算傅氏系数如下因为(x)是奇函数所以an0(n012)(n12)所以(x)(2)解将f(x)拓广为周期函数F(x)则F(x)在()中连续在x间断且故F(x)的傅里叶级数在()中收敛于f(x)而在x处F(x)的傅里叶级数不收敛于f(x)计算傅氏系数如下(n12)(n12)所以(x)3设周期函数f(x)的周期为2证明f(x)的傅里叶系数为(n012)(n12)证明我们知道若f(x)是以l为周期的连续函数则的值与a无关且因为f(x)cosnxsinnx均为以2为周期的函数所以f(x)cosnxf(x)sinnx均为以2为周期的函数从而(n12)同理(n12)4将函数(x)展开成傅里叶级数解因为为偶函数故bn0(n12)而(n12)由于在[]上连续所以(x)5设f(x)的周期为2的周期函数它在[)上的表达式这将f(x)展开成傅里叶级数解因为f(x)为奇函数故an0(n012)而(n12)又f(x)的间断点为x(2n1)n012所以(x(2n1)n012)6将函数(0x)展开成正弦级数解作奇延拓得F(x)