高中数学人教A版2第二章推理与证明 第二章演绎推理

第二章推理与证明合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理A级基础巩固一、选择题1．对a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，……大前提x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))，……小前提所以x＋eq\f(1,x)≥2.……结论以上推理过程中()A．大前提错误 B．小前提错误C．结论错误 D．无错误解析：小前提错误，因为只有当x＞0时，才有x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x)).答案：B2．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案：A3．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数 B．对数函数C．指数函数 D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，满足条件．答案：C4．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式解析：选项A中的推理是演绎推理，选项B中的推理是类比推理，选项C、D中的推理是归纳推理．答案：A5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到的结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．用演绎推理证明“y＝sinx是周期函数”时的大前提为___________，小前提为________________．解析：用演绎推理证明“y＝sinx是周期函数”时的大前提是“三角函数是周期函数”，小前提是“y＝sinx是三角函数”．答案：三角函数是周期函数y＝sinx是三角函数7．在求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，第一步推理中大前提是当eq\r(a)有意义时，即a≥0；小前提是eq\r(log2x－2)有意义；结论是_______．解析：要使函数有意义，则log2x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域是[4，＋∞)8．关于函数f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确；当x＞0时，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))；因为在g(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而f(x)有最小值lg2，所以③正确；④也正确；⑤不正确．答案：①③④三、解答题9．设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明：因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac＞0，一元二次方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两相异实根．(结论)10．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明：因为|x|≤1时，|f(x)|≤1.x＝0满足|x|≤1，所以|f(0)|≤1，又f(0)＝c，所以|c|≤1.证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.B级能力提升1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)＞0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，f′(x)＝3x2＞0恒成立，以上推理中()A．大前提错误 B．小前提错误C．结论正确 D．推理形式错误解析：对于可导函数f(x)，若f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立．所以大前提错误．答案：A2．设a＞0，f(x)＝eq\f(ex,a)＋eq\f(a,ex)是R上的偶函数，则a的值为____．解析：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,ex)))＝0对于一切x∈R恒成立，由此得a－eq\f(1,a)＝0，即a2＝1.又a＞0，所以a＝1.答案：13．如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且CD＝2AB，E为PC的中点．(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求证：BE∥平面PAD.证明：(1)因为eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CD⊥PA,CD⊥DA,PA∩