自动控制原理第三章

引言一阶系统的时域分析二阶系统的时域分析控制系统的稳定性控制系统的稳态误差复合控制本章小结

第三章时域分析法

一、时域分析法

在时间域内，研究控制系统性能的方法。通过拉氏反变换，求解系统的微分方程，得到系统的时间响应；根据响应表达式和响应曲线，分析系统的动态性能和稳态性能。

3.1引言上升时间峰值时间最大超调（量）过渡过程时间振荡次数反应系统响应速度反应系统动态过程的平稳性，即系统阻尼程度动态性能指标：3.1引言

上升时间

阶跃响应曲线从零首次上升到稳态值所需的时间称为上升时间。若阶跃响应曲线不超过稳态值，则定义阶跃响应曲线从稳定值的10%上升到90%所需时间为上升时间。

峰值时间阶跃响应曲线（超过稳态值）到达第一个峰值所需的时间称为峰值时间。3.1引言

3.1引言最大超调量

响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即：

过渡过程时间

响应曲线开始进入并保持在误差范围内所需的最小时间，称为过渡过程时间或调节时间。

振荡次数N

在调节时间以内，阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半。

二、典型输入信号

阶跃函数

斜坡函数3.1引言

加速度函数

正弦函数3.1引言

单位脉冲函数3.2

一阶系统时域分析一、一阶系统定义

输入信号r(t)与输出信号c(t)的关系用一阶微分方程表示的系统称为一阶系统。

3.2

一阶系统时域分析二、一阶系统的单位阶跃响应稳态分量瞬态分量惯性时间常数3.2一阶系统时域分析三、一阶系统的单位斜坡响应稳态分量瞬态分量四、一阶系统的单位脉冲响应3.2一阶系统时域分析斜率瞬态分量

3.2一阶系统时域分析五、一阶系统的单位加速度响应

3.2一阶系统时域分析输出响应输入信号

系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零初始条件确定。3.3

二阶系统时域分析一、二阶系统定义：无阻尼振荡频率：阻尼比以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。3.3

二阶系统时域分析二、二阶系统的单位阶跃响应

3.3

二阶系统时域分析（1）欠阻尼状态其中——有阻尼振荡频率其中3.3

二阶系统时域分析——振荡周期（2）无阻尼状态（3）临界阻尼状态（4）过阻尼状态3.3

二阶系统时域分析3.3

二阶系统时域分析无阻尼过阻尼临界阻尼欠阻尼发散特征方程3.3

二阶系统时域分析三、二阶欠阻尼系统的动态性能指标

3.3

二阶系统时域分析（1）上升时间（2）峰值时间（3）最大超调量（4）调整时间（5）振荡次数N3.3

二阶系统时域分析四、二阶系统计算举例

已知性能指标，求系统参数2.已知系统参数，求性能指标3.3

二阶系统时域分析3.3

二阶系统时域分析3.3

二阶系统时域分析例2

3.3

二阶系统时域分析3.3

二阶系统时域分析例3根据过渡过程曲线确定质量M、黏性摩差系数f和弹簧刚度K的值。3.3

二阶系统时域分析3.3

二阶系统时域分析五、初始条件不为零时二阶系统的时间响应零初始条件下的响应分量初始条件响应分量，又称零输入响应分量

当初始条件不为零时，对上式作拉氏变换：对上式作反拉氏变换：3.3

二阶系统时域分析DATE：Saturday,February4,2023一、稳定概念3.4

控制系统的稳定性控制系统所有输入信号为零时，在非零初始条件作用下，如果系统的输出信号随时间的推移而趋于零，则称系统是稳定的，否则不稳定。DATE：Saturday,February4,2023二、线性定常系统稳定的充分必要条件零输入响应：考虑初始条件：3.4

控制系统的稳定性输出是系统闭环极点对应的运动模态的线性组合，包含4种形式：和分别表示闭环极点的实部和虚部其中，3.4

控制系统的稳定性线性系统的稳定性是系统固有特性（结构、参数），与输入信号无关。稳定的系统，输出信号中的瞬态分量都趋于零。线性系统不稳定时，输出信号往往形成大幅值的等幅振荡，或趋于最大值。如有闭环极点实部为零（位于虚轴上），其余极点都具有负实部，称系统临界稳定。这时系统输出信号将出现等幅振荡，振荡的角频率就是纯虚根的正虚部。反之，如做等幅振荡，可知有纯虚根。3.4

控制系统的稳定性DATE：Saturday,February4,20233.4

控制系统的稳定性三、劳思稳定判据劳思表DATE：Saturday,February4,2023稳定的必要条件

系统稳定特征方程不缺项，所有系数均为正值稳定的充要条件

系统稳定

劳思表中第一列的各项元素均为正值3.4

控制系统的稳定性

若劳斯表中第一列各项元素的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式在S右半平面上根的个数（实部为正数的根的个数）。例1根据特征方程判断稳定性。解：列劳思表

第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。3.4

控制系统的稳定性例2已知系统框图，确定使系统稳定的K的取值范围。

解闭环传递函数：劳思表：3.4

控制系统的稳定性

两种特殊情况：

1.劳思表中某一行的第一项为零，而该行其余项不全为零。列劳思表时用一个很小的正数ε来代替零元素继续列表。3.4

控制系统的稳定性第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。

2.劳思表中某一行中所有项均为零。列表时先用全零行的上一行构成辅助方程（它的根就是原方程的特殊根），再将辅助方程求导，用求导后的方程系数代替全零行，完成劳斯表的排列。劳思表第一列元素符号相同，故系统不含正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方程解出，为。系统做等幅振荡，振荡的频率为1

3.4

控制系统的稳定性DATE：Saturday,February4,2023特征方程式的根在S平面上的分布情况？令S=Z-a代入原方程式中，得到以Z为变量的特征方程式。然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线S=-a右侧。3.4

控制系统的稳定性DATE：Saturday,February4,2023是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂直S=-1的右方第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。解：劳思表为例1：3.4

控制系统的稳定性DATE：Saturday,February4,2023劳思表为：3.4

控制系统的稳定性3.5

控制系统的稳态误差一、稳态误差的基本概念误差：偏差：偏差信号为零时的输出量为期望输出当即单位反馈时，此时当，先求稳态偏差，再求误差信号3.5

控制系统的稳态误差DATE：Saturday,February4,2023给定输入引起的误差：3.5

控制系统的稳态误差DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系统的稳态误差扰动输入引起的误差：DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系统的稳态误差误差的稳态分量反映控制系统在稳态时跟踪参考输入信号或抑制扰动信号的能力，反映控制系统的精度，属于稳态性能。3.5

控制系统的稳态误差二、稳态误差的求法终值定理型别法长除法当的全部极点（原点除外）具有负实部，则3.5

控制系统的稳态误差（1）终值定理

例1r(t)=t,f(t)=-1(t)，求稳态误差终值。

解：3.5

控制系统的稳态误差由劳思判据知系统稳定,极点全部具有负实部DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系统的稳态误差则，时，系统就为0型、1型、2型、……2、偏差传递函数中，s=0零点的个数代表系统型别1、开环传递函数(2)系统的型别与参考输入的稳态误差DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系统的稳态误差例：的值均为已知量，要使系统为II型，求解：1.单位阶跃输入作用下的稳态误差3.5

控制系统的稳态误差稳态位置误差系数：2.单位斜坡输入作用下的稳态误差3.5

控制系统的稳态误差稳态速度误差系数：DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系统的稳态误差3.单位加速度输入作用下的稳态误差稳态加速度误差系数：DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系统的稳态误差以上结论是以稳定的单位负反馈系统为对象，如果不是单位负反馈，则求出的是稳态偏差。减小或消除参考输入信号的稳态误差的方法：提高系统开环放大系数和型别数。DATE：Saturday,February4,20233.5

控制系统的稳态误差例1单位负反馈系统的开环传递函数

时的稳态误差终值。解：用劳思稳定判据可知闭环系统是稳定的。1型单位负反馈稳定系统，求输入

例2，求r(t)=1(t)时的稳态误差。

系统开环传递函数为：系统是0型稳定系统，3.5

控制系统的稳态误差解：用劳思稳定判据可知闭环系统是稳定的。

例3单位负反馈系统的开环传递函数为分别求出

时的稳态误差终值。

解：用劳思稳定判据可知闭环系统是稳定的。1）这是1型系统，2）

3）这是1型系统，3.5

控制系统的稳态误差（3）长除法

将误差传递函数的分子分母按s的升幂排列，作多项式除法：3.5

控制系统的稳态误差3.5

控制系统的稳态误差例：单位负反馈系统的开环传递函数为输入信号r(t)=4+6t+3t2求稳态误差的时间函数解：单位负反馈系统，偏差就是误差

例：单位负反馈系统的开环传递函数分别求出输入信号r(t)=1(t),t时的稳态误差的时间函数。解：单位负反馈系统，偏差就是误差。