自动控制-08b系统分析的描述函数法_第1页
自动控制-08b系统分析的描述函数法_第2页
自动控制-08b系统分析的描述函数法_第3页
自动控制-08b系统分析的描述函数法_第4页
自动控制-08b系统分析的描述函数法_第5页
已阅读5页,还剩20页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

§8-4描述函数法描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,它是线性系统频域法在非线性系统中的推广,是非线性系统稳定性的近似判别法,它要求系统具有良好的低通特性并且非线性较弱。描述函数法的优点是能用于高阶系统。描述函数法本质上是一种谐波线性化方法,其基本思想是:当系统满足一定的假设条件时,系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似。

(1)描述函数的定义

在频率特性一章中,我们已经看到,对于线性时不变系统,当输入为正弦函数时输出也是同频率的正弦函数,输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统,当输入为正弦函数时输出是同频率的非正弦函数,也就是说输出中含有高次谐波,可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。现在,我们试图将线性系统中的频率法改进后用于非线性系统。考虑下图所示的系统,如果其线性动态部分具有良好的低通特性,那么系统信号中的高次谐波就被大大衰减,可以用一次谐波来近似,这是非线性特性在频域的线性化。

1、描述函数的基本概念

对上图系统做如下假设:(1)高次谐波的幅值通常要比基波的幅值小;(2)系统的线性部分G(s)具有低通滤波特性;所以可以认为只有一次谐波分量沿闭环回路反馈到N

的输入端,而高次谐波经低通滤波后衰减得可以忽略不计。在这种假设条件下,可以只考虑y的一次谐波分量。此外,设非线性特性为对称型。为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数,设非线性环节y=f(x)的输入为正弦函数:

式中,A是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出分解为傅立叶级数:

式中

如果非线性特性是奇对称的,那么直流分量A0=0,这时输出的基波分量是:

如果函数y=f(x)是已知的,A是一个待定常数,由上式求出的

只与A有关,记作。描述函数定义为输出的一次谐波分量与输入正弦函数的复数比:

显然,描述函数是A的函数,描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益——这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的,那么:只有当非线性元件具有储能特性时,描述函数才既是输入振幅又是角频率的函数。(2)描述函数分析的应用条件1)非线性系统应能够简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构;2)非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数,或正弦输入下的输出为t的奇对称函数;3)系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性。需强调指出,描述函数中相位差是由于非线性元件的非单位特性引起的,与线性系统的频率特性中相位差不是一回事。下面用几个例子说明描述函数是如何计算出来的。

(1)死区饱和非线性环节考虑图8-37所示死区特性,当输入为正弦函数时,输出如图8-37所示,因为图中的y(t)是单值奇对称的,所以,2、典型非线性特性的描述函数图8-37死区特性的描述函数

所以

综合以上:(2)继电特性

图8-38继电特性的描述函数考虑图8-38带滞环的继电特性,当输入为时,输出y(t)如8-38所示,并且(3)一般非线性

描述函数不仅适合于分段线性系统,也适合于一般非线性系统,只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子:因为它是单值奇对称的,,先求出y(t):

所以

概括起来,求描述函数的过程是:先根据已知的输入x(t)=Asinωt和非线性特性y=f(x)求出输出,然后由积分式求出,最后得N(A)。主要工作量和技巧主要在积分。此外,描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时,给系统施加正弦信号,其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值,记录输出信号的幅值和相位,即可近似求出。

附图10描述函数表示的非线性系统考虑附图10所示的非线性系统,假设线性动态部分具有良好的低通特性,那么静态非线性特性可以用描述函数N(A)来表示。为了引入频率特性分析法,我们还假设G(s)是最小相位环节。

3、非线性系统稳定性分析的描述函数法(1)闭环系统稳定性

前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到附图10所示的非线性系统,则其闭环系统频率特性为:

特征方程为

为了类比,假设静态环节退化为线性环节y=kx,即N(A)=k(常数)。因为G(s)是最小相位环节,根据线性系统的Nyquist判据:闭环系统是否稳定取决于在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的-1/k点。

现在将上述结论推广到N(A)为非线性函数的情况。因为A连续变化时N(A)是复平面上的一根曲线,所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围-1/N(A)曲线。具体讲就是:在复平面上,如果曲线G(jω)不包围-1/N(A)曲线,那么闭环系统稳定;如果G(jω)曲线包围-1/N(A)曲线,那么闭环系统不稳定;如果曲线G(jω)与曲线-1/N(A)相交,那么闭环系统出现自持振荡(极限环)。为了方便,我们将曲线-1/N(A)称为‘负倒描述函数曲线’。(2)极限环的稳定性正如相平面法中所讨论的,极限环本身存在一个稳定性问题,极限环的稳定性也可以用描述函数来分析。参见附图11

附图11极限环的稳定性图中A、B两点都出现极限环,先看A点:如果因某种干扰使振荡幅值略有减小,比如工作点移到D,D点不被G(jω)曲线包围,这时闭环系统应趋向稳定——振荡幅值应逐渐减小到零(停振);反之,如果因某种干扰使振荡幅值略有增大,比如工作点移到C,C点被G(jω)曲线包围,这时闭环系统应趋向不稳定——振荡幅值应逐渐增大,工作点移到F、B...;可见A点属不稳定极限环。再看B点:如果因某种干扰使振荡幅值略有减小,比如工作点移到F,F点被曲线包围,这时闭环系统应趋向不稳定——振荡幅值应增大,增大后又回到B点;反之,如果因某种干扰使振荡幅值略有增大,比如工作点移到E,E点不被曲线包围,这时闭环系统应趋向稳定——振荡幅值应减小,减小后又回到B点;可见B点属稳定极限环。小结

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论