高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程 一等奖

15．函数与方程学习目标1．了解函数零点的含义，理解方程的根与函数零点之间的关系．2．了解连续函数存在零点的判断方法．3．掌握二次方程根的分布与二次函数图象之间的关系．4．会用二分法求方程的近似解，理解这程方法的实质．5．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想．一、夯实基础基础梳理1．函数的零点对于函数，把使的实数叫做函数的__________2．方程的根、函数的图象与函数的零点之间的关系方程有实数根函数的图象__________函数有__________．3．函数零点的判定如果函数在区间上的图象是__________的一条曲线，并且有__________那么，函数在区间内__________零点，即存在，使得__________，这个也就是方程的根．4．二分法的概念对于在区间上连续不断且__________的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间__________，使区间的两个端点__________进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的__________5．给定精确弃，用二分法求函数零点近似值步骤（1）确定区间，验证__________给定精确度；（2）求区间的中点，__________；（3）计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点__________）；③若，则令（此时零点__________）；（4）判断是否达到精确度：即若__________，则得到零点近似值（或）；否则重复．题型一 求函数的零点 题型二 判断函数零点的个数 题型三 判断函数零点所在大致区间题型四 二分法的概念 题型五 求函数零点（方程根）的近似解1．设，则（）A． B． C． D．．2．下列函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是（）3．函数在区间上的零点必定在（）内，其中．A． B． C． D．4．已知函数的一些函数值的近似值如右表，则方程的实数解属于区间（）0．51．251．5的近似值1．733．955．20A． B． C． D．5．（1）方程的解得个数是__________；（2）方程的实数解的个数为__________．二、学习指引自主探究1．什么叫函数的零点？方程的根与函数的零点有何关系？2．参看课本，请叙说连续函数在区间上存在零点的判断方法，此方法能否判断函数在区间上零点的个数？3．对于方程，我们有两种研究此类方程实数根个数的方法：（1）令，则方程根就是函数的零点，我们只需研究函数的零点个数即可．（2）分别画出的图象，则方程的根就是函数图象点的横坐标，我们只需要研究函数图象交点个数即可．两种方法各有用途，谈谈你的体会．我们研究零点的近似值时一般用哪种方法？4．对于下列方程，你如何研究数解的个数？（1）； （2）．5．二次方程有两个不同的实数根，若满足下列条件，则系数应满足什么条件？你能和“零点存在性定理”解释吗？设则函数的图象是开口向上的抛物线．方程两根的分布函数的图象应满足的条件用零点存在性定量解释抛物线开口向上，必存在，又，又，由定理知在使，同样，在使，于是存在使．6．二次方程在闭区间有实数，下列哪个是其等价条件？设．（1）在的最大值为，最小值为，有且．（2）．7．一元二次方程在闭区间有且只有一实数根，下列哪个是其等价条件？（设）．（1）分两种情况：①；②，且．（2）分三种情况：①；②在内仅有或仅有③,且．（3）①，且；②，且．8．利用“二分法”，我们可以寻找方程在区间上的近似解，而且可以不断提高精确度，参看课本，请你简述利用“二分法”求方程在区间上的近似解的算法步骤，并思考“二分法”中的数学思想方法．想一想1．函数的零点是一个点吗？2．若在在有零点，一定有吗？3．用二分法是否可求所有函数零点的近似值？1．方程根的情况（）A．仅有一根 B．有两正根 C．有一正根和一负根 D．有两负根【答案】C．【解析】画出函数与图象知，两个函数的图象有两个交点,并且一个在轴左侧，一个在轴右侧，所以方程有一正根，一负根．2．函数的零点所在的大致区间是（）A． B． C．和 D．【答案】B．【解析】将各个选项的端点分别代入，看其是否满足．对于，且函数在上是增函数函数在内无函数零点．排除A．对于B，，在内函数有零点．选B．3．若方程的两个根分别在和之间，则的取值范围是__________．【答案】．【解析】令．则函数图象如图所示，的取值范围是．4．利用计算器，用二分法求方程的近似解（精确度）．【解析】，令，显然函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点．用计算器作出函数的对应值表（如下）：01234567-6-2310214075142观察表格，可知，说明在区间内，函数有零点，设为；取区间的中点，用计算器可得，所以；再取的中点，用计算器求得，所以，继续这个过程，可得，，由于，所以就是原方程精确度为的一个近似解．三、能力提升能力闯关1．已知是函数的一个零点．若，．则（）A． B．C． D．2．(2023年山东)已知函数（，且）．当时，函数的零点，则__________．3．已知关于的方程，其中．（1）当时，求方程的根；（2）当时，求证：方程有一个根在0和1之间．拓展迁移1．已知函数若关于的方程有7个不同的实数解，则系数应满足（）A． B． C． D．2．（1）（2023年北京）已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是__________．（2）设函数方程有且仅有两个不等的实数根，求实数的取值范围．挑战极限1．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求实数的取值范围．课程小结1．给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤是：（1）确定区间，验证；（2）求区间的中点；（3）求算，判断：①若，则就是函数的零点；②若，则令，此时零点；③若，则令，此时零点（4）判断是否达到精确度：即若，则得到近似值（或否判里复）（2）（4）．2．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．3．当函数零点两侧的函数值异号时，才能采用二分法求函数零点的近似值．4．在判断零点的个数及零点所在的大致区间时，可利用数形结合的思想来完成，有时可先考虑一下相应函数的单调性，必须知道在一个单调区间上，函数至多有一个零点．5．研究方程的实数根时，既可以通过研究函数图象交点个数来处理，又可以通过研究函数零点个数来处理，请认真体会两种方法．6．处理二次函数零点分布问题，一般使用等价转化思想，利用函数值的正负及对称轴的位置来控制实数根的位置．

15．函数与方程基础梳理1．零点．2．与轴有交点，零点．3．连续不断，，有，．4．，一分为二，逐步逼近零点，近似解．5．基础达标1．．【解析】．∵，∴．2．．【解析】利用二分法研究函数的零点，要求零点是图象穿过轴形成的零点，即零点左右附近的函数值异号，图象不能满足此条件，因此不宜用二分法求交点横坐标．3．．【解析】只需检查区间两个端点函数值是否异号即可，∵，，所以答案满足要求．4．．【解析】设，则所以函数的零点属于区间．所以正确答案为．5．（1）1；（2）2．【解析】（1），显然函数单调递增，所以函数至多有一个零点，又，所以函数在区间上有一个零点，故函数有且仅有一个零点，所以方程只有一个实数根．（2）方程，令，画出它们的图象，容易看出恰有两个不同的交点，故方程有且仅有两个不同的实数解．自主探究1．【解析】对于函数，我们称使的实数叫做函数的零点．这样，函数的零点就是方程的实数根，也是函数的图象与轴的交点的横坐标．因而研究函数的零点可以转化为研究方程的根．2．【解析】如果函数在闭区间上图象是连续不断的，且，则函数在区间上至少有一个零点．上述方法只回答了在一定条件下，可以判断函数零点存在，在此条件下并不能判断函数在区间上零点的个数．另一方面，上述方法的条件即使不满足，函数在区间上仍可能存在零点．3．【解析】第（1）种使用更加普遍，一方面，方法（1）的本质是研究曲线与轴交点个数，可以利用“零点存在性定理”．第（2）种方法多用在判断零点个数，当两个函数单调性相反时，容易看出交点个数，但它们的单调性一致时，很容易出现判断错误，例如方程在部分，在两个不同实数解，这是因为函数与在部分有两个不同交点，，通过画图，不容易看出．4．【解析】（1）用函数零点分析较好．令，显然单调递增，又，所以函数在定义域有且仅有一个零点，且这个零点在区间中．（2）用函数图象交点分析较好，令，画出函数图象，容易看出：或时，两图象有且只有两个交点，方程有且只有两个不同实数解；时，两图象有且只有三个交点，方程有且只有三个不同实数解；时，两图象有且只有四个交点，方程有且只有四个不同实数解．5．【解析】（1）结果已在表中体现．（2）．理由如下：一方面，由且得且．又，∴存在．抛物线开口向上，故存在且．又，∴存在．另一方面，当时，可得．（同学认真思考）（3）．理由如下：一方面，由且得且，又，∴存在，又，，∴存在．另一方面，当时，可得．（4）当．6．【解析】（1）是正确的．（2）的问题在于漏掉了在上有两个不等的实根的情形．说明：方法（1）利用了“零点存在性定理”，即连续函数在“有正有负必有零”，有正意味着，有负意味着，从而将问题转化为求闭区间上的最大值、最小值的问题．7．【解析】（2）是正确的．（1）（3）的问题在于时，可能存在．8．【解析】利用“二分法”求方程在区间上的近似解的算法步骤如下：第一步：画出函数图象，确定的大致位置，如果，则可以确定方程在区间上至少有一个实数解：第二步：计算区间中点函数值，如果，则可以确定方程在区间上至少有一个实数解；否则可以确定方程在区间上至少有一个实数解；第三步：针对新的区间，重复第二步，我们就可以不断缩小有解区间长度，当区间长度足够小时，停止计算，就以最后一次有解区间中的任意一点作为近似解即可（一般选择区间中点作为近似解）．从上述过程可以看出，二分法求方程近似解的过程实际上是一个无限分割（区间）思想与无限逼近思想（无限缩小有解区间长度），利用这种思想，我们就可以处理很多不可解代数方程，这种解法的缺点是计算量很大，但是我们可以把计算交给计算机来处理，所以这里的思想方法才是最有价值的．想一想1．函数的零点不是点，而是一个实数．2．不一定，这必须根据函数在上的单调变化，如在内有零点，但．3．不一定．能力闯关1．．【解析】方法一：，容易证明函数在上单调递增，∵，∴，故选．方法二：分别画出的图象，再观察．2．【解析】方法一：易知是递增函数，而，，，故．方法二：分别作出函数的图象，发现只有一个交点，再判断交点的位置．3．【解析】（1）当时，，∴∴原方程为，解得．（2）当时，．方程有两个不同的实数根，令，（ⅰ）当时，，．∴，故有一个根在和之间．（ⅱ）当时，，，∴∴有一个根在和之间．（ⅲ）当时，有一根为，满足有一个根在和之间．综上所述必有一个根在和之间．拓展迁移1．．【解析】令，则，先画出函数的图象，如右图，可以看出：当时，方程恰有三个不同实数解；当时，方程恰有四个不同实数解，且均不等于；当时，方程无实数解．所以关于的方程有个不同的实数解等价于关于的方程有两个不等的实数根，一根为正实数，另一根为，∴，选．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）画出的图象如右．（2）∵时，恒有，∴函数在上图象完全相同，于是根据题设，我们容易画出函数的图象（如右图）．上下平行移动直线，设直线经过点时为直线，经过点时为直线，