高中数学人教A版第四章圆和方程单元测试 全国一等奖

第四章单元测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆心为(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝252．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值范围是()A．m>－eq\f(1,2)B．m≥－eq\f(1,2)C．m<－eq\f(1,2)D．m>－23．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，点P在圆C上，点Q(－2，2)在圆C外，则|PQ|的最大值为()A．5B．6C．7D．84．已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为()A．x2＋(y＋1)2＝18B．x2＋(y＋1)2＝3eq\r(2)C．(x＋1)2＋y2＝18D．(x＋1)2＋y2＝3eq\r(2)5．若直线x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E，F两点，则△EOF(O是坐标原点)的面积为()\f(3,2)\f(3,4)C．2eq\r(5)\f(6\r(5),5)6．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq\r(2)，eq\r(3))，若过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A．(0，eq\r(2)，0)B．(0，eq\r(2)，eq\r(3))C．(1，0，eq\r(3))D．(1，eq\r(3)，0)7．若直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程为()A．y＝2xB．y＝2x－2C．y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)8．若点P(1，1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝09．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是()A．相交B．外离C．内含D．内切10．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是()A．(4，6)B．[4，6]C．(4，5)D．(4，5]11．若过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程是()A．3x－y＋7＝0B．3x＋4y－13＝0C．3x－y－7＝0D．y＝4或3x＋4y－13＝012．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝2B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2D．(x＋2)2＋(y－2)2＝2请将选择题答案填入下表：题号123456789101112总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若圆心在x轴上，半径为eq\r(2)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是__________________．14．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是________．15．已知A(－2，0)，B(2，0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值是________．16．若直线y＝x＋m与曲线y＝eq\r(4－x2)有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求圆心在直线l1：y－3x＝0上，与x轴相切，且被直线l2：x－y＝0截得的弦长为2eq\r(7)的圆的方程．18．(12分)已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点，建立如图D4­1(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．图D4­119．(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3，1)，且弦长eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝2eq\r(7)，求圆C的方程．20．(12分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)若直线l与圆C交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(17)，求m的值．21．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．22．(12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝1，直线l：2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)若∠APB＝60°，求P点的坐标；(2)若点P的坐标为(1，2)，过点P作一条直线与圆M交于C，D两点，当|CD|＝eq\r(2)时，求直线CD的方程；(3)求证：经过A，P，M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标．1．C[解析]由圆心(3，4)及圆上一点(0，0)，可得半径r＝eq\r(32＋42)＝5，故圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.2．A[解析]∵方程表示一个圆，∴D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4×(－m)>0，∴m>－eq\f(1,2).3．C[解析]由题可知，圆C的圆心坐标为C(1，－2)，半径r＝2，则|CQ|＝eq\r(（－2－1）2＋（2＋2）2)＝5，根据几何意义得|PQ|的最大值为|CQ|＋r＝5＋2＝7.4．A[解析]易求得直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点为(0，－1)，所以圆C的圆心为(0，－1)．设圆C的半径为r，由题意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|3×0＋4×（－1）－11|,\r(32＋42))))eq\s\up12(2)＋32＝r2，解得r2＝18，所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝18.5．D[解析]由题知该圆的圆心为A(2，－3)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋6－3|,\r(1＋4))＝eq\r(5)，弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－5)＝4，又因为原点到直线的距离为eq\f(|0－0－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3,\r(5))，所以S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5).6．B[解析]垂足Q即为P在平面yOz上的射影，坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(2)，\r(3))).7．A[解析]圆x2＋y2－2x－4y＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，与直线x＋2y＝0垂直的直线的斜率为2，故所求直线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.8．D[解析]圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为A(3，0)，因为点P(1，1)是弦MN的中点，所以AP⊥MN，因为AP的斜率为k＝eq\f(1－0,1－3)＝－eq\f(1,2)，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.9．D[解析]把圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分别转化为标准方程为：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝1和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－3))eq\s\up12(2)＝9，两圆心间的距离d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－3))\s\up12(2))＝2＝r2－r1，所以两圆的位置关系为内切．10．A[解析]圆心到直线4x－3y－2＝0的距离为eq\f(|3×4－3×（－5）－2|,\r(42＋（－3）2))＝5，若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是(4，6)．11．D[解析]结合图形知切线l的斜率存在，设切线l的方程是y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0，则圆心到切线l的距离等于半径，即eq\f(|2k－3＋k＋4|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，因此，所求切线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.12．A[解析]设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.如图所示，当已知圆与所求圆圆心的连线垂直于已知直线时，所求圆的半径最小，此时2r＋3eq\r(2)等于已知圆的圆心到已知直线的距离，即eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝2r＋3eq\r(2)，解得r＝eq\r(2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－6,a－6)＝1，,\f(|a＋b－2|,\r(2))＝\r(2)，))解得a＝2，b＝2.∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.13．(x＋2)2＋y2＝2[解析]设圆心坐标为(a，0)(a<0)，则圆心到直线的距离等于半径，即r＝eq\f(|a＋0|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，解得a＝－2.故圆O的标准方程为(x＋2)2＋y2＝2.14．4[解析]因为圆心到直线的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－25)),\r(32＋42))＝5，所以圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是d－r＝4.15．26[解析]设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|OP|2＋8.∵圆心为C(3，4)，∴|OP|min＝|OC|－r＝5－2＝3，∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×32＋8＝26.16．－2≤m<2或m＝2eq\r(2)[解析]∵曲线y＝eq\r(4－x2)表示半圆x2＋y2＝4(y≥0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是－2≤m<2或m＝2eq\r(2).17．解：由已知可设圆心为(a，3a)，若圆与x轴相切，则r＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3a))，圆心到直线l2的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2a)),\r(2)).由弦长为2eq\r(7)得7＋eq\f(4a2,2)＝9a2，解得a＝±1.故圆心为(1，3)或(－1，－3)，r＝3，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.18．解：(1)D(0，0，0)，N(2，1，0)，M(1，2，3)．(2)|MD|＝eq\r(（1－0）2＋（2－0）2＋（3－0）2)＝eq\r(14)，|MN|＝eq\r(（1－2）2＋（2－1）2＋（3－0）2)＝eq\r(11).(3)∵点P在xOy平面上，∴设点P的坐标为(x，y，0)，∵P在DN上运动，∴eq\f(x,y)＝eq\f(AD,AN)＝2，∴x＝2y，∴P点坐标为(2y，y，0)，则|MP|＝eq\r(（2y－1）2＋（y－2）2＋（0－3）2)＝eq\r(5y2－8y＋14)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4,5)))\s\up12(2)＋\f(54,5)).∵y∈[0，1]，且0<eq\f(4,5)<1，∴当y＝eq\f(4,5)时，|MP|取得最小值eq\r(\f(54,5))，即eq\f(3\r(30),5).∴|MP|的最小值为eq\f(3\r(30),5).19．解：由题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，圆心到直线的距离d＝eq\r(9－（\r(7)）2)＝eq\r(2)，则eq\f(|a＋b－4|,\r(2))＝eq\r(2)，又因为弦AB所在的直线的斜率为－1，所以eq\f(1－b,3－a)＝1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b－4)),\r(2))＝\r(2)，,\f(1－b,3－a)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，))故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9或(x－2)2＋y2＝9.20．解：(1)证明：由已知l：y－1＝m(x－1)，可知直线恒过定点P(1，1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P(1，1)在圆C内．∴直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)由题意得圆C的半径r＝eq\r(5)，圆心(0，1)到直线l的距离d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).由点到直线的距离公式得eq\f(|－m|,\r(m2＋（－1）2))＝eq\f(\r(3),2)，解得m＝±eq\r(3).21．解：(1)由方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∵方程表示圆，∴5－m>0，即m<5.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2.得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4－2y，,x2＋y2－2x－4y＋m＝0，))得5y2－16y＋m＋8＝0.∴y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5)，代入①得m＝eq\f(8,5).(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－