高中数学苏教版3第二章概率 校赛得奖

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于________.【导学号：29440055】【解析】∵X～B(40，p)，E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)2．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.【解析】∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，∴6＝4E(X)－2，∴E(X)＝2.【答案】23．某一随机变量X的概率分布如下表．X0123Pmn且E(X)＝，则m－eq\f(n,2)的值为________．【解析】由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝，,m＋2n＋＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝，,n＝，))∴m－eq\f(n,2)＝－＝.【答案】4．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别是：X0123PY0123P0据此判定________车床生产的质量好．【解析】E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×0＝.显然E(X)＜E(Y)，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好．【答案】甲5．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为________．【解析】X＝2,3，P(X＝2)＝eq\f(1,C\o\al(2,3))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3).故E(X)＝2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)6．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的期望E(X)＝________.【导学号：29440056】【解析】由题意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，∴E(X)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)7．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件检查，则查得次品数X的数学期望为________．【解析】由题意可知，次品数X服从超几何分布，其中n＝2，M＝3，N＝10，∴E(X)＝eq\f(2×3,10)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)8．如图2­5­2，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于________．图2­5­2【解析】125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值E(X)＝eq\f(54,125)×1＋eq\f(36,125)×2＋eq\f(8,125)×3＝eq\f(150,125)＝eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)二、解答题9．某俱乐部共有客户3000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？【解】设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3000)，∴P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,3000)k(1－3000－k，则ξ～B(3000,，那么E(ξ)＝3000×＝120(人)>100(人)．∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．10．(2023·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【解】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的分布列为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)故E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5)(个)．能力提升]1．设15000件产品中有1000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则检查得次品数X的数学期望为________．【解析】次品率为p＝eq\f(1000,15000)＝eq\f(1,15)，由于产品数量特别大，次品数服从二项分布．由公式，得E(X)＝np＝150×eq\f(1,15)＝10.【答案】102．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞，则p的取值范围是________．【解析】X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝1－p(1－p)－p＝1－2p＋p2，∴E(X)＝1×p＋2×(1－p)p＋3×(1－2p＋p2)＝3－3p＋p2.由E(X)＞，得3－3p＋p2＞，解得p＜eq\f(1,2)或p＞eq\f(5,2)(舍去)，∴p的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.【解析】∵P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,2).随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,6)，因此E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).【答案】eq\f(5,3)4．(2023·山东高考)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．【解】(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq\o\al(3,9)＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq