高中数学苏教版1第1章常用逻辑用语1．3全称量词与存在量词 第1章

全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定1.理解全称量词和存在量词的意义.(重点)2.能判定全称命题与存在性命题的真假.(难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1全称量词、存在量词与全称命题、存在性命题阅读教材P13，完成下列问题.1.全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：∀x∈M，p(x).2.存在量词和存在性命题(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：∃x∈M，p(x).判断正误：(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.()(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.()(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.()(4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()【解析】(1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词.(2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确.(3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词.(4)√.命题p与其否定綈p真假性相反.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2全称命题与存在性命题的否定阅读教材P15例1以上部分，完成下列问题.1.全称命题的否定全称命题p綈p结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称命题的否定是存在性命题2.存在性命题的否定存在性命题p綈p结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在性命题的否定是全称命题(2023·安徽高考改编)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________.【导学号：24830013】【解析】原命题为全称命题其否定为“∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0”.【答案】∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]用量词表示命题判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示.并判断其真假.(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2.【精彩点拨】判断全称命题还是存在性命题→用符号“∀”或“∃”表示【自主解答】(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题.(2)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题.(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题.(4)是存在性命题，用符号表示为“∃x0∈R，eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2”，是假命题.1.有些命题不是典型的全称命题或存在性命题，却表达了相应的意义，这时可适当引入量词，用量词表示命题，准确体会命题的含义.2.用符号“∀”“∃”表示含有量词的命题时，将存在量词改为“∃”，全称量词改为“∀”，注意必要时需引入字母来表达命题的含义.[再练一题]1.用符号“∀”与“∃”表示下列命题：(1)实数的绝对值大于等于0；(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；(3)任意的实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.【解】(1)∀x∈R，|x|≥0.(2)∃(x，y)∈R，x2＋y2＜1.(3)∀a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.含有量词的命题的真假判断判断下列命题的真假：(1)若a＞0且a≠1，则∃x0∈R，ax0＞0；(2)∀x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)；(3)∃x0，y0∈N，使eq\r(2)x0＋y0＝3.【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.【自主解答】(1)∵a>0，∴当x＝1时，ax＝a>0，成立，∴(1)为真命题.(2)∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>eq\f(1,2)，∴x2－x＋1>eq\f(1,2)恒成立，∴(2)是真命题.(3)当x0＝0，y0＝3时，eq\r(2)x0＋y0＝3满足题意，∴(3)是真命题.全称命题与存在性命题真假判断的方法：(1)对于全称命题“∀x∈M，p(x)”：①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可.(通常举反例)(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.[再练一题]2.判断下列命题中的真假：(1)∀x∈R,2x－1>0；(2)∀x∈N*，(x－1)2>0；(3)∃x0∈R，lgx0<1；(4)∃x0∈R，tanx0＝2.【解】(1)命题“∀x∈R,2x－1>0”是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；(2)命题“∀x∈N*，(x－1)2>0”是全称命题，当x＝1时，(x－1)2(3)命题“∃x0∈R，lgx0<1”是存在性命题，当x＝1时，lgx(4)命题“∃x0∈R，tanx0＝2”含有一个量词的命题的否定写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p：∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使xeq\o\al(3,0)＋1＝0.【精彩点拨】首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对量词和结论两个方面进行否定.【自主解答】(1)綈p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)<0，假命题.∵∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0恒成立，∴綈p是假命题.(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题.∵∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立∴綈r是真命题.(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题.∵x＝－1时，x3＋1＝0，∴綈s是假命题.1.写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论.2.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.[再练一题]3.写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：有些三角形是锐角三角形；(3)r：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝x0＋2;(4)s：∀x∈R,2x＋4≥0.【导学号：24830014】【解】(1)綈p：有些分数不是有理数；(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形；(3)綈r：∀x∈R，x2＋x≠x＋2；(4)綈s：∃x0∈R,2x0＋4＜0.[探究共研型]全称命题与存在性命题的综合应用探究1(1)“∃x∈R，a＝x2”的含义是什么？(2)“∃x∈[1,2]，a＝x2”若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围.【提示】(1)“∃x∈R，a＝x2”的含义是方程x2－a＝0有实数根，所以其判别式Δ＝4a≥0，解得a≥0；(2)“∃x∈[1,2]，a＝x2”的含义是方程x2－a＝0在[1,2]内有实数根，也就是函数y＝x2，x∈[1,2]和函数y＝a的图象有交点，因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a的取值范围是1≤a≤探究2(1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？(2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a【提示】(1)“∀x∈[1,2]，a＜x2”的含义是对于所有的，一切在[1,2]内的x，不等式a＜x2都恒成立，所以a要小于x2的最小值.因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a＜1；(2)“∃x∈[1,2]，a＜x2”的含义是在[1,2]内至少有一个x，使不等式a＜x2成立，此时只要a不大于x2的最大值即可.因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a≤(1)若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是________.(2)若“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________.【精彩点拨】(1)转化为不等式的恒成立问题；(2)转化为方程有实数根的问题.【自主解答】(1)ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1对∀x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立.当a＋2＝0时，不符合题意.故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,16－4a＋2a－1≤0，))解得a≥2.(2)方法一：由于“∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝m”是真命题，则实数m的取值集合就是二次函数f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}.方法二：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，∴Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1.【答案】(1)[2，＋∞)(2)[1，＋∞)应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决.2.存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.[再练一题]4.若存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是________.【导学号：24830015】【解析】当a≤0时，显然存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0；当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.【答案】a<11.下列命题是全称命题的是________.(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解.【解析】(1)中含有量词“有一个”，是存在性命题，(2)中含有量词“任何”，是全称命题.【答案】(2)2.下列全称命题：①实数都有倒数；②自然数都是正整数；③小数都是有理数；④无理数都是无限不循环小数.其中真命题的是________.【解析】由于0没有倒数，故①错误；由于0不是正整数，故②错误；由于无限不循环小数是无理数，故③错误，④正确.【答案】④3.已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则綈p是________.【解析】p为全称命题，綈p应为存在性命题.【答案】∃x0∈R，cosx0＞14.对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.【答案】(－∞，3]5.将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示.(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1>0；(4)若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任一直线.【解】(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x0<0，axeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＝0(a<1).(3)∃x0∈R,2x0＋1>0.(4)若l⊥