高中数学人教A版第一章空间几何体 6

第6课时柱体、锥体、台体的表面积与体积课时目标1.掌握柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积公式解决一些简单的实际问题．3．掌握柱体、锥体、台体的体积的计算公式．4．会利用柱体、锥体、台体的体积公式解决一些简单的实际问题．识记强化1．棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形．圆柱的侧面展开图是一个矩形，圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆台的侧面展开图是一个扇环．2．如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么它的表面积S＝2πr(r＋l)．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么它的表面积S＝πr(r＋l)．如果圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，那么它的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．3．柱体体积公式：V＝Sh(S为底面面积，h为高)．锥体体积公式：V＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．台体体积公式：V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．若正方体的表面积为72cm2，A．2eq\r(3)cmB．12cm\r(6)cmD．6cm答案：D解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝72，所以a＝2eq\r(3)，所以正方体的对角线长为eq\r(3)×2eq\r(3)＝6cm.2．各棱长均为2的正三棱锥的表面积是()\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．16答案：C解析：每个面的面积为eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴该正三棱锥的表面积为4eq\r(3).3．已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为\f(a3,2π)或eq\f(a3,π)\f(2a3,π)\f(a3,π)\f(a3,π)或eq\f(2a3,π)答案：A解析：设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l＝2a时，2πr＝a，∴r＝eq\f(a,2π)，这时V圆柱＝2a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2π)))2＝eq\f(a3,2π)；当l＝a时，2πr＝2a，∴r＝eq\f(a,π)，这时V圆柱＝a·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,π)))2＝eq\f(a3,π).综上，该圆柱的体积为eq\f(a3,2π)或eq\f(a3,π).4．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为()\f(2\r(2),81)π\f(8,81)π\f(4\r(5),81)π\f(10,81)π答案：C解析：圆锥的底面圆的周长为eq\f(240°,360°)×2π×1＝eq\f(4,3)π，设底面圆的半径为r，则有2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，于是圆锥的高h＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(5),3)，故圆锥的体积V＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(\r(5),3)＝eq\f(4\r(5),81)π.5．若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是()A．252πB．84πC．150πD．102π答案：B解析：45π＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)·5，故r＋r′＝9.(r－r′)2＋42＝52，r－r′＝3.所以r＝6，r′＝3，V＝eq\f(1,3)π·4×(62＋6×3＋32)＝84π.6．设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P，Q分别为侧棱AA1，CC1的中点，则四棱锥B－APQC的体积为\f(V,6)\f(V,4)\f(V,3)\f(V,2)答案：C解析：由P，Q分别为侧棱AA1，CC1的中点，则VB－APQC＝2VB－AQC＝2VQ－ABC＝2×eq\f(1,3)S△ABC·QC＝2×eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,2)CC1＝eq\f(1,3)S△ABC·CC1＝eq\f(1,3)V，故选C.二、填空题(每个5分，共15分)7．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于________．答案：3eq\r(5)π解析：由圆台的正视图可知该圆台的上底面半径r＝1，下底面半径R＝2，高为2，则母线长为l＝eq\r(22＋2－12)＝eq\r(5)，故侧面积为S＝π(rl＋Rl)＝π(1＋2)×eq\r(5)＝3eq\r(5)π.8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．答案：54解析：由题意知r：R＝1：3，r，R分别为上，下底面的半径，故(V－52)：V＝1：27，解出V＝54.9．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，AB＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．答案：eq\f(1,3)解析：折叠起来后，B，C，D三点重合，设为点S，则围成的三棱锥为S－AEF，其中，SA⊥SE，SA⊥SF，SE⊥SF，且SA＝2，SE＝SF＝1，如图，所以此三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).三、解答题10．(12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则eq\f(120,360)πl2＝3π，l＝3，eq\f(2π,3)×3＝2πr，r＝1；S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.11．(13分)已知四棱锥P－ABCD的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．解析：由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)S四边形ABCD·PC＝eq\f(2,3).能力提升12．(5分)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为()

A．48＋12eq\r(2)B．48＋24eq\r(2)C．36＋12eq\r(2)D．36＋24eq\r(2)答案：A解析：如图所示三棱锥．AO⊥底面BCD，O点为BD的中点，BC＝CD＝6，BC⊥CD，AO＝4，AB＝AD.S△BCD＝eq\f(1,2)×6×6＝18.S△ABD＝eq\f(1,2)×6eq\r(2)×4＝12eq\r(2).取CD中点E.连接AE、OE.可得AO⊥OE，AE＝eq\r(AO2＋OE2)＝eq\r(42＋32)＝5.∴S△ACD＝S△ABC＝eq\f(1,2)×6×5＝15.∴S全＝18＋12eq\r(2)＋15＋15＝48＋12eq\r(2).13．(15分)某几何体的三视图如图所示．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体ABCD－A1B