北师大版高中数学必修第二册复习资料

PAGE21PAGEPAGE18北师大版高中数学必修第二册复习资料一、易错点梳理数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了课本中一些常见的易错点，希望同学们在今后的学习中引以为戒。一、三角函数易错点1求解时忽略角的范围【问题】1:在中，=,=，求，的值。错解：cosA=±，sinB=±剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。正确答案：cosA=，sinB=【问题】2:在中，为锐角，且，求的值。错解：先求出sin()=，∵，∴剖析：知识残缺，由于为锐角，所以。又由于正弦函数在上不是单调函数，所以本题不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。正确答案：【问题】1:在中，已知a=,b=,B=,求角A错解：用正弦定理求得，∴剖析：基础不牢，忽视隐含条件出错。正确答案：反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。易错点2求关于最值时忽视正、余弦函数值域【问题】:已知，求的最大值。错解：令，得，通过配方、作图解得的最大值为剖析：本题虽注意到的值域，但未考虑到与相互制约，即由于-1≤siny≤1，∴必须同时满足。正确答案：反思：求关于最值的常规方法是通过令（或cosx）将三角函数的最值问题转化为关于的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。易错点3三角函数单调性判断错误【问题】:已知函数y=cos(-2x)，求它的单调减区间。错解：≤-2x≤剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成y=cos(2x-)求解正确答案：反思：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。易错点4图象变换的方向把握不准【问题】:要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向右平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位错解一：C剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。错解二：D剖析：基础不牢，弄错了平移方向。正确答案：A反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。二．平面向量及其应用易错点1忽视平面向量基本定理的成立条件【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是①=（0，0），=（1，-2）;②=（-1，2），=（5，7）;③=（3，5），=（6，10）;④=（2，-3），=（4，-6）;错解：选①或③或④正确答案：=2\*GB3②剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。反思：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。易错点2忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别【问题】：已知向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围为错解：剖析：概念模糊，错误地认为为钝角正确答案：反思：为钝角不共线三、立体几何易错点1不会将三视图还原为几何体【问题】：若某空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。错解：如图该几何体是底面为边长正方形，高为1的棱柱，∴该几何体的体积为剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。正确答案：V=1反思：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。易错点2空间点、线、面位置关系不清【问题】：给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④错解：A剖析：①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。正确答案：D反思：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。易错点3平行关系定理使用不当【问题】：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且，给出下列四个命题：（1）；（2）C1Q//面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNP//面APC.正确序号为（）A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（3）（4）错解：A、B、D剖析：空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC内而导致错误。正确答案：C反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线a//平面α时，不能忽略直线a在平面α外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。易错点4垂直关系定理使用不当【问题】：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN，M、S分别为PB、BC的中点。①证明：CM⊥SN；②求SN与平面CMN所成角的大小.剖析：①在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时，只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有说明找角的过程。反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。易错点5利用空间向量求线面角几种常见错误【问题】：如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点,若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的余弦值。剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量=（0，0，2）及=(－1,1,2)后，可得cos<,>=·可能出现的错误为：;正确答案：反思：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。易错点6二面角概念模糊【问题】：如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。①证明：是侧棱的中点；②求二面角的余弦值。剖析：本题在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后计算出cos=；接着可能错误地以为二面角余弦值为，其实本题中的二面角是钝角，仅为其补角。正确答案：反思：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书写不规范。二、数学公式一．三角函数1.三角函数的定义：正弦：；余弦：；正切：；其中：2.诱导公式：倍加减名不变，符号只需看象限；半加减名要变，符号还是看象限。3.和差公式：①（伞科科伞，符号不反）②（科科伞伞，符号相反）③（上同下相反）4.二倍角公式：①②③5.降幂公式：①.②.③.6.辅助角公式:7.正弦定理：8.余弦定理：①②③9.三角形最值原理：三角形中一个角及其对边已知时、另外两边或两角相等时周长取得最小值，面积取得最大值；二．平面向量1.向量加法的作图：上终下起，中间消去；2.向量减法的作图：起点相同，倒回来读；3.向量平行的判定：(1)向量法:;(2)向量法:4.向量垂直的判定：(1)向量法:;(2)向量法:5.向量的数量积公式：(1)向量法:;(2)向量法:6.向量的夹角公式：(1)向量法:;(2)向量法:7.方向上的单位向量:(1)向量法:;(2)向量法:8.证明A、B、C三点共线两种方法：(1)两个向量共线且有一个公共点A；(2)三．立体几何初步1.多面体的内切球半径：2.长方体的外接球半径：3.直棱锥的外接球半径：4.正棱锥的外接球半径：5.正三角形的性质：高：，面积：6.正三角形与圆：内切圆半径：，外接圆半径：，且7.正四面体的高：斜高：，正高：8.正四面体与球：内切球半径，外接球半径，且且三、数学知识点汇总三角函数角度与弧度制一个圆,弧长和半径相等时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系:

弧度*180/(2*π)=角度诱导公式

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)函数类型

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

正弦

+

+

—

—

余弦

+

—

—

+

正切

+

—

+

—

余切

+

—

+

—三角函数的图像与性质1.正弦函数正弦函数的性质：解析式：y=sinx正弦函数的图像波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）定义域：R(实数)值域：[-1，1]最值：①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1零值点：(kπ,0)对称性：1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称2)中心对称：关于点(kπ,0)对称周期：2π奇偶性：奇函数单调性：在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函数，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是减函数2余弦函数余弦函数的性质：

余弦函数图像：波形图像定义域：R值域：[-1，1]最值：

1）当x=2kπ时,y(max)=1

2）当x=2kπ+π时,y(min)=-1

零值点：(π/2+kπ,0)对称性：1）对称轴：关于直线x=kπ对称

2）中心对称：关于点(π/2+kπ,0)对称周期：2π奇偶性：偶函数单调性：在[2kπ-π,2kπ]上是增函数

在[2kπ,2kπ+π]上是减函数3正切函数正切函数的性质：正切函数的图像：定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}

值域：R

最值：无最大值与最小值

零值点：(kπ,0)

对称性：

轴对称：无对称轴

中心对称：关于点(kπ,0)对称

周期：π

奇偶性：奇函数

单调性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函数二．平面向量向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作：a‖b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！；④三点共线；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成a，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向

向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．

向量a的大小，也就是向量a的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．向量的运算1、向量的加法：

AB+BC=AC

设a=（x,y）b=(x',y')

则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：

交换律：

a+b=b+a

结合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

则a=eb

则xy`-x`y=0

若a垂直b

则ab=0

则xx`+yy`=0

3、向量的乘法

设a=（x,y）b=(x',y')

a·b(点积）=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夹角平面向量的应用步骤1.

在锐角△ABC中，设三边为a，b，c。作CH⊥AB垂足为点D

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

a/SinA=BC/SinD=CD=2R

类似可证其余两个等式。正弦定理的变形公式

(1)a=2RsinA,

b=2RsinB,

c=2RsinC;

(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c;a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：

∵如图，有a+b=c

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）

再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。三.三角恒等变换同角三角函数间的基本关系式：

平方关系：

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan^2(α)+1=sec^2(α)

cot^2(α)+1=csc^2(α)

积的关系：

sinα=tanα*cosα

cosα=cotα*sinα

tanα=sinα*secα

cotα=cosα*cscα

secα=tanα*cscα

cscα=secα*cotα

倒数关系：

tanα·cotα=1

sinα·cscα=1

cosα·secα=1两角和差公式

两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβtan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)半角公式

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)复数复数的相等.（）复数的模（或绝对值）==.复数的四则运算法则(1);(2);(3);(4).复数的乘法的运算律对于任何，有交换律:.结合律:.分配律:.复平面上的两点间的距离公式（，）.向量的垂直非零复数，对应的向量分别是，，则的实部为零为纯虚数(λ为非零实数).实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程，①若,则;②若,则;③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.五．立体几何初步1、常见几何体的面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.圆柱的侧面积S侧