【教案】导数的概念及其意义（第3课时）教学设计高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5.1.2导数的概念及其几何意义》教学设计第3课时教学目标教学目标1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．2.理解导数的概念，掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数.教学重难点教学重难点教学重点：导数的概念及利用导数概念求导数教学难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解，导数的概念课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第64~66页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节课主要学习导数的概念；（2）本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的概念．导数是本章中的核心概念，它是研究函数的基础．在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．【探究新知】知识点1：平均变化率前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为.我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.设计意图：从平均速度以及割线斜率归纳出平均变化率的概念，体现了从特殊到一般的数学思想．知识点2：导数的概念如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.设计意图：从瞬时速度以及切线斜率归纳出瞬时变化率也就是导数的概念，渗透了从特殊到一般以及极限等的数学思想．【说明】由导数的定义可知，问题1中运动员在t=1时的瞬时速度v(1)，就是函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11在t=1处的导数h'(1)；问题2中抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0，就是函数f(x)=x2在x=1处的导数f'(1)．总结：导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP）的增长率等．【巩固练习】例1设，求.师生活动：学生依照导数的概念完成，教师完善．预设的答案：.设计意图：通过具体问题的分析，进一步理解导数的意义．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．方法总结：利用导数定义求导数的步骤：（1）（2）计算当时，平均变化率的极限值，该值即为所求的导数．例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第xh时，原油的温度（单位：C）为y=f（x）=x2-7x+15（0x8）．计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．师生活动：学生讨论后完成，教师完善．预设的答案：在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率就是和．根据导数的定义，，所以同时可得在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3C/h与5C/h．说明在第2h附近，原油温度大约以3C/h的速度下降；在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．一般地，反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．设计意图：通过典型例题的分析，帮助学生掌握求解函数导数的基本步骤．发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养．方法总结：利用导数定义求导数时，需要注意：（1）取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.（2）函数在x0处的导数f′（x0）只与x0有关，与Δx无关.（3）导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.师生活动：学生讨论后完成，教师完善．预设的答案：在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是和.根据导数的定义，，所以.同理可得.在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别是与.说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少.设计意图：通过本题，让学生明白瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．方法总结：（1）可以通过求位移关于时间函数的导数，得到物体运动的速度；（2）通过求速度关于时间的函数的导数，得到物体运动的加速度．练习：教科书P66练习1、2、3设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.2导数的概念及其几何意义新知探究巩固练习知识点1：平均变化率例1知识点2：导数的概念例2例32．总结概括：（1）平均变化率（2）瞬时变化率；（3）导数以及如何求导数．师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力．3．课堂作业：教科书P66练习4教科书P70习题5.13、8【目标检测设计】1.在处的导数为()A. B.2 C. D.1设计意图：进一步巩固函数在某点处的导数的求法.2．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则()A．12B．2C．1D．－1设计意图：进一步理解导数的概念.3.若一物体的运动方程如下：(位移的单位：，时间的单位：)求：（1）物体在内的平均速度；（2）物体的初速度；（3）物体在时的瞬时速度.设计意图：进一步理解平均速度、瞬时速度的概念以及求法.参考答案：1.B.故选B.2．C由题意可得：.故选C.3.解：（1）因为物体在内的时间变化