高中数学北师大版1第四章导数应用第4章

第四章§1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面对于函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)的判断正确的是()A．极大值为5，极小值为－27B．极大值为5，极小值为－11C．极大值为5，无极小值D．极小值为－27，无极大值解析：y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)，令y′＝0，可得x＝3或x＝－1.当－2<x<－1时，y′>0；当－1<x<2时，y′<0，故当x＝－1时y取得极大值．答案：C2．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0等于()\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)C．－ln2 D．ln2解析：∵y＝x·2x，∴y′＝2x＋x·2x·ln2＝2x·(1＋x·ln2)．令y′＝0可得：x＝－eq\f(1,ln2).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,ln2)))时，y′<0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,ln2)，＋∞))时，y′>0.∴x＝－eq\f(1,ln2)为极小值点．故选B.答案：B3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为()A．极大值为eq\f(4,27)，极小值为0B．极大值为0，极小值为eq\f(4,27)C．极小值为－eq\f(4,27)，极大值为0D．极大值为－eq\f(4,27)，极小值为0解析：f′(x)＝3x2－2px－q，根据题意，x＝1是函数的一个极值点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))所以f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)＝0，得x＝1或x＝eq\f(1,3).易判断x＝eq\f(1,3)时，f(x)有极大值为eq\f(4,27)，当x＝1时，f(x)有极小值为0，故选A.答案：A4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此应该从左到右找在导函数的图像上从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值范围为________．解析：y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．由题意知ln(－a)＞0，∴a＜－1.答案：(－∞，－1)6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x＝eq\f(3,2)时函数取得极小值；②函数有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：从图像上可以看到：当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，当x＝2时，函数取得极小值．当x＝1时，函数取得极大值．所以只有①不正确．答案：①三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解析：函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e－2.8．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值．解析：(1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又y＝a＋b即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝0，,a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9.))(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.∴当x＝0时，函数y取得极小值0.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)求a为何值时，使方程x3－3x2－a＝0恰有一个实根，两个不等实根，三个不等实根，无实根．解析：令f(x)＝x3－3x2，则f(x)的定义域为R.由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.∴当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0.函数f(x)在x＝0处有极大值0，在x＝2处有极小值－4.如图所示．方程x3－3x2－a＝0的根即