《自动控制理论(第版)》邹伯敏课件第5章

2023/2/4第五章频率响应1第五章频率响应自动控制理论作者：浙江大学邹伯敏教授普通高等教育“十一五”国家级规划教材2023/2/4第五章频率响应2第一节频率特性令已知一、频率特性的基本概念自动控制理论2023/2/4第五章频率响应3

当t→∞时,

其中自动控制理论因为所以2023/2/4第五章频率响应4

图5-1频率响应示意图

图5-2R-C电路

例:自动控制理论2023/2/4第五章频率响应5自动控制理论

图5-3R-C电路频率特性2023/2/4第五章频率响应6二、由传递函数确定系统的频率响应

例5-1

试绘制系统的幅频和相频特性曲线。

解：令，。自动控制理论

图5-5在复平面上确定频率响应2023/2/4第五章频率响应7

图5-7例5-1的频率响应曲线自动控制理论2023/2/4第五章频率响应8第二节对数坐标图1.比例因子K

图5-8比例因子的伯德图2.一阶因子自动控制理论一、典型因子的伯德图2023/2/4第五章频率响应9

图5-9的对数幅频曲线、渐近线和相角曲线自动控制理论2023/2/4第五章频率响应10

图5-11的伯德图自动控制理论3.积分、微分因子1)积分因子2023/2/4第五章频率响应112)微分因子

图5-12对数幅频与相频曲线自动控制理论3)

图5-13的对数幅频特性曲线2023/2/4第五章频率响应124.二阶因子自动控制理论——低频渐近线2023/2/4第五章频率响应13

图5-14由式（5-26）给出的对数幅频曲线、渐近线和相频曲线自动控制理论

谐振峰值与谐振频率——高频渐近线2023/2/4第五章频率响应14自动控制理论

图5-16Mr与的关系曲线2023/2/4第五章频率响应15

图5-17滞后因子的相频特性5.滞后因子自动控制理论2023/2/4第五章频率响应16二、开环系统的伯德图

设开环传递函数

例5-2

绘制Bode图。

解：自动控制理论

（1）幅频特性2023/2/4第五章频率响应17

（2）相频特性自动控制理论特点：2023/2/4第五章频率响应18

图5-18例5-2的博德图自动控制理论2023/2/4第五章频率响应19三、最小相位系统与非最小相位系统

设a和b两个系统的传递函数和频率特性分别为:

这两个系统的幅频特性是相同的,即：自动控制理论2023/2/4第五章频率响应20

相频特性却不同,分别为:

图5-19系统a和b的零、极点分布自动控制理论2023/2/4第五章频率响应21

图5-20最小相位系统和非最小相位系统的博德图自动控制理论2023/2/4第五章频率响应22

结论:

最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势是相一致的，表示它们间有唯一的对应关系。1、0型系统自动控制理论四、系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系2023/2/4第五章频率响应230型系统对数幅频特性低频渐近线为一条20lgKdB的水平线。2、I型系统自动控制理论

低频渐近线斜率为-20db/dec开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的频率值。

低频渐近线（或延长线）在ω=1处的相交坐标值为20lgK。2023/2/4第五章频率响应243、Ⅱ型系统自动控制理论

低频渐近线的斜率为-40dB/dec。

低频渐近线（或延长线）在ω=1处的坐标值为20lgK。

开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点频率值的平方。2023/2/4第五章频率响应25第三节极坐标图

当输入信号的频率ω由0→∞变化时，向量G(jω)的端点在复平面上移动的轨迹叫极坐标图或称为乃氏图。1、比例因子K自动控制理论一、典型因子的乃氏图2023/2/4第五章频率响应26

图5-22比例、积分和微分因子的奈氏图2、积分和微分因子参考图5-22(a)参考图5-22(b)自动控制理论参考图5-22(c)2023/2/4第五章频率响应273、一阶因子自动控制理论

图5-23和因子的奈氏图2023/2/4第五章频率响应284、二阶因子自动控制理论2023/2/4第五章频率响应29

根据不同的ζ值，作出的乃氏图如图5-24所示。自动控制理论

图5-24式（5-43）的奈氏图2023/2/4第五章频率响应305、滞后因子自动控制理论

图5-24式（5-44）的奈氏图2023/2/4第五章频率响应31自动控制理论

图5-27的奈氏图

图5-28和的奈氏图2023/2/4第五章频率响应321.0型系统自动控制理论二、开环系统的乃氏图

绘制系统的乃氏图时，必须写出开环系统的相位表达式和幅频特性表达式2023/2/4第五章频率响应33例

图5-290型二阶系统的奈氏图自动控制理论2.Ⅰ型系统2023/2/4第五章频率响应34例自动控制理论2023/2/4第五章频率响应35

图5-30Ⅰ型二阶系统的奈氏图自动控制理论3.Ⅱ型系统2023/2/4第五章频率响应36例5-4自动控制理论

图5-31例5-4的奈氏图2023/2/4第五章频率响应37自动控制理论第四节用频率法辩识线性定常系统的数学模型一、由实验作出被测系统的博德图及对数幅频特性曲线的渐近线

1、在感兴趣的频率范围内，给被测系统输入不同频率的正弦信号。对于大时间常数的系统，一般取的频率范围为0.01～10Hz；对于小时间常数的系统，则应选择频率较高的正弦信号。在足够多的频率点上，测得被测系统稳态输出信号与输入信号的幅值比和相位差。据此，作出该系统的对数幅频特性和相频特性曲线。2、用斜率为0dB/dec、±20dB/dec、±40dB/dec、等直线段对所测的对数幅频特性曲线作近似处理，求出渐近线。3、根据低频渐近线的斜率，确定被测系统的类型，并由ω＝1处低频段的高度或低频段（或其延长线）与0dB线交点处的ω值，确定系统的开环增益值K。2023/2/4第五章频率响应38自动控制理论4、渐近线上每一个转折点为相应典型环节的转折频率，根据每个直线段斜率的变化量，确定相应串联的具体典型环节。例如：

若在转折频率了处，斜率减小20dB/dec，表示对应的环节为惯性环节，其传递函数。若在转折频率处，斜率减小20dB/dec，表示相应的环节为微分环节，其传递函数为。

若在转折频率了处，斜率减小40dB/dec，表示相应的环节为振荡环节，其传递函数为。

若在转折频率了处，斜率增加40dB/dec，表示相应的环节为二阶微分环节，其传递函数为了。二阶系统的阻尼比ξ，可根据所测幅频特性的谐振峰值求取。2023/2/4第五章频率响应39自动控制理论二、最小相位传递函数的确定

先假设被测系统最小相位系统，根据由实验绘制对数幅频特性曲线的渐近线，写出系统初步估计的传递函数和相位表达式。对于被辨识的系统是否为最小相位系统，可用下述任一种方法来判别。1）如果由实验所得的对数幅频特性与相频特性曲线随频率ω的变化趋势相一至，且当ω→∞时，相频特性曲线能趋向于-90°(n-m)，这表明被测系统是最小相位系统。反之，为非最小相位系统。2）根据所求的传递函数写出对应的相频特性表达式，经理论计算，画出相频特性曲线，将它与实验所得的相频特性曲线相比较，若两者能较好吻合，且在超低和超高频部分都严格相符合，这也表明被测系统是最小相位系统。2023/2/4第五章频率响应40自动控制理论三、非最小相位传递函数的确定

如果在高频的末端，由计算所得的相角比实验测得的相角值小180°，则表示在传递函数中一定有一个零点位于s平面的右方。因此，需修正上述初步估计出的传递函数分子中相关一阶因子的符号，即把（1+Ts）改为（1-Ts）。

如果在高频端，计算所得的相角与实验求得相角相差一个定常的相角变化率，则表明所测系统中存在着传递延迟或停歇时间。对此说明如下：假设被测系统的传递函数为，式中G(s)为s的两个多项式之比，于是得2023/2/4第五章频率响应41自动控制理论

因此，当信号频率ω趋于无穷大时，由实验所得相频特性的相角变化率，就可确定延迟因子的延迟时间τ。

具体做法是：先按最小相位系统写出相频特性的表达式，据此，画出相频特性曲线，并将它与实验所得的相频特性曲线在高频末端某一频率ω1处相比较，求出两者的角差φε，于是得四、几点说明1）由于测量的是被测系统稳态输出的幅值与相位，因而该系统必须是稳定的。2023/2/4第五章频率响应42自动控制理论2）基于物理系统可能有某些非线性元件存在，因而在实验时应认真选取合适的正弦输入信号的幅值。如果输入信号的幅值过大，将使系统饱和，导致频率响应实验给出不正确的结果。如果输入信号的幅值过小，如系统中含有死区非线性特性时，就会使实验所得的结果有误差。在实验期间，必须认真观测系统每一个稳态输出波形是否为正弦，以此判别所选输入正弦信号的幅值是否合适和系统是否工作在线性工作范围内。3）由于测量被测系统稳态输出的幅值的测试设备应具有较宽和较平坦的幅频特性曲线，以保证所测数据的真实性。4）如果被测系统不能停止工作进行实验，则需将实验的正弦信号叠加在系统正常的输入信号上。即对于线性系统而言，由实验信号引起系统的输出量将叠加在系统正常的输出信号上。在系统处于正常工作状态时，为了确定其传递函数，在控制工程中常采用白噪声信号，并利用相关函数处理的方法方法辨识系统的传递函数。2023/2/4第五章频率响应43自动控制理论〖例5-5〗由实验求得被测系统的对数幅频特性曲线如图5-34中的实线所示。解试估计该系统的传递函数。1）以标准斜率的直线与实验求得的对数幅频特性曲线相比拟，求得对数幅频特性曲线的渐近线，如图中的虚线所示。由图可见，低频渐近线具有-20dB/dec的斜率，将其延长使之与0dB线相交，求得相交点的ω=5s-1。由此得出低频渐近线对应的因子为5/jω2）根据所作的渐近线，求得各转折频率为ω1=2s-1

、ω2=10s-1和ω3=50s-1。在第一个转折频率ω1处，渐近线的斜率减小了20dB/dec；而在第二个转折频率ω2处，渐近线的斜率减小了20dB/dec。这表明在传递函数中含有和的因子。在ω=ω3处，曲线的斜率减小40dB/dec，且在这个频率点上实验曲线与渐近线之间的误差为4dB，这表示该传递函数中还含有一个的二阶因子。式中ζ=0.3是根据图5-15所示的误差曲线在误差为4dB时求得的。2023/2/4第五章频率响应44自动控制理论3）根据渐近线求得被测系统的频率特性为或写作

当ω→∞时，由上式求得φ(ω)=-270°=-90°(4-1)，这个结果与实验所求得的相角吻合，从而表明被测系统是一个最小相位系统。2023/2/4第五章频率响应45自动控制理论

图5-34由实验获得的博德图2023/2/4第五章频率响应46第五节奈奎斯特稳定判据自动控制理论一、幅角原理2023/2/4第五章频率响应47

图5-35s平面上的围线Cs及其在F(s)平面上的映射曲线Cf自动控制理论若在S平面上任取一封闭曲线Cs,且令S以顺时针方向沿着Cs变化,则上式求得其在F(S)平面上的映射曲线CF。2023/2/4第五章频率响应481）围线Cs围绕F(S)的一个零点自动控制理论结论:Cs按顺时针方向围绕F(S)的一个零点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF亦按顺时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一周.

图5-36s平面上的图形在F(s)平面上的映射（1）2023/2/4第五章频率响应492）围线Cs的顺时针方向围绕F（S）的一个极点自动控制理论结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF亦按逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一周.

图5-36s平面上的图形在F(s)平面上的映射（1）2023/2/4第五章频率响应50

幅角原理：如果S平面上的闭合曲线Cs以顺时针方向围绕F(S)的z个零点和p个极点，则其在F(S)平面上的映射曲线CF围绕F(S)平面的坐标原点旋转N周。自动控制理论2023/2/4第五章频率响应51

取S平面上封闭围线Cs为图5-40所示。

图5-40s平面上的封闭曲线Cs

若围线Cs以顺时针方向包围了F(S)的z个零点和p个极点，由幅角原理可知，在F(jω)平面上的映射曲线CF将按顺时针方向围绕坐标原点旋转N周。自动控制理论二、乃氏稳定判断由于2023/2/4第五章频率响应52

映射曲线CF围绕F(S)平面的坐标原点等价于G(jω)H(jω)对GH平面上的(-1,j0)点围绕。

图5-41G（jw）h(jw)曲线与1+G（jw）h(jw)曲线的关系自动控制理论2023/2/4第五章频率响应53例5-6自动控制理论

图5-42s平面上的奈氏途径2023/2/4第五章频率响应54自动控制理论

图5-43例5-7的奈氏图2023/2/4第五章频率响应55

图5-45s平面上的奈氏途径自动控制理论2023/2/4第五章频率响应56自动控制理论

图5-47例5-9的奈氏图2023/2/4第五章频率响应57自动控制理论

图5-48例5-10的奈氏图2023/2/4第五章频率响应58自动控制理论2023/2/4第五章频率响应59

图5-49例5-11的奈氏图自动控制理论2023/2/4第五章频率响应60

图5-51博德图上的正、负穿越

图5-50奈氏图上的正、负穿越自动控制理论三、乃氏判据在对数坐标图上的应用2023/2/4第五章频率响应61

图5-52例5-12的博德图自动控制理论四、乃氏判据在滞后系统中的应用2023/2/4第五章频率响应62

图5-55图5-53的临界轨迹和G1(jw)

图5-54的奈氏图自动控制理论2023/2/4第五章频率响应63第六节相对稳定性分析一、增益裕量Kg二、相位裕量γ自动控制理论

图5-59Ⅰ型系统的奈氏图2023/2/4第五章频率响应64

图5-58稳定和不稳定系统的相位裕量和增益裕量自动控制理论2023/2/4第五章频率响应65自动控制理论2023/2/4第五章频率响应66自动控制理论2023/2/4第五章频率响应67自动控制理论2023/2/4第五章频率响应68

图5-59最小相位系统的开环对数幅频特性自动控制理论三、相对稳定性与对数幅频特性中频段斜率关系2023/2/4第五章频率响应69自动控制理论2023/2/4第五章频率响应70自动控制理论2023/2/4第五章频率响应71自动控制理论2023/2/4第五章频率响应72第七节频域性能指标与时域性能指标间的关系一、闭环频率特性及其特征量

图5-60表示截止频率带宽的对数坐标图自动控制理论2023/2/4第五章频率响应73

图5-61两系统动态特性的比较自动控制理论2023/2/4第五章频率响应74

图5-62二阶系统自动控制理论二、二阶系统时域响应与频域响应的关系2023/2/4第五章频率响应75自动控制理论2023/2/4第五章频率响应76

图5-63二阶系统的Mr和Mp与ξ的关系曲线自动控制理论2023/2/4第五章频率响应77自动控制理论2023/2/4第五章频率响应78

图5-64图5-62所示系统的r与ξ的关系曲线自动控制理论2023/2/4第五章频率响应79第八节MATLAB在频率响应法中的应用一、用MATLAB绘制伯德图例5-16功能指令：bode(num,den)num=[0110]；

den=[0.510]；若要具体给出bode图的频率ω范围，需用以下指令:logspace和bode(num,den,w)自动控制理论%MATLAB程序5-1num=[110];2023/2/4第五章频率响应80自动控制理论

图5-65例5-16的博德图title(‘BodeDiagramofG(S)=10(1+0.1S)/[S(1+0.5S)]’)Gridon;bode(num,den,w);%绘制0.01S-1～1000S-1的bode图。den=[0.5110];w=logspace(-2,3,100);%给出w值的范围。2023/2/4第五章频率响应81若需要幅值和相位角的范围时，需用下面的功能指令：

[mag,phase,w]=bode(num,den,w)%MATLAB程序5-2num[630];den[1161000];w=logspace(-2,3,100)[mag,phase,w]=bode(num,den,w);subplot(211)semilgx(w,20*lg10(mag));自动控制理论2023/2/4第五章频率响应82gridonxlabel(‘w/s-1-1’);ylabel(‘φ(0°)L(w)/dB’)title(‘BodeDiagramofG(S)=30(1+0.1S)/[S(S^2+16S+100)]subplot(212)semilgx(w,phase);gridonxlabel(‘w/s-1-1’);ylabel(‘φ(0°)L(w)/dB’)自动控制理论2023/2/4第五章频率响应83

图5-66例5-17的博德图自动控制理论2023/2/4第五章频率响应84二、用MATLAB绘制乃氏图例5-18%MATLAB程序5-3num=[0001];den=[11.81.81];nyquist(num,den)v=[-2–2–22];axis(v);gridontitle(‘nyquistofG(S)=1/(S^3+1.8S^2+1.8S+1)’)自动控制理论2023/2/4第五章频率响应85

图5-67例5-18的奈氏图自动控制理论2023/2/4第五章频率响应86[Re,Im,w]=nyquist(num,den)或[Re,im,w]=nyquist(num,den,w)plot(Re,Im)v=(-xx–yy)例5-19如图5-68所示,试用MATLAB绘的制该系统的奈氏图。%MATLAB5-4num=[002010];den=[111100];w1=0.1:0.1:10;w2=10:2:100;自动控制理论

图5-68控制系统2023/2/4第五章频率响应87w3=100:5:500;W=[w1w2w3];[Re,Im]=nyquist(num,den,w)plot(Re(:,:),Im(:,:),Te(:,:),-Im(:,:))v=[-33–33];axis(v)gridontitle(‘