随机过程 第四章

第四章信号检测的基本理论4.1统计检测的基本概念4.2贝叶斯准则（BayesCriterion)4.3派生贝叶斯准则

在许多场合，人们需要在几种可能发生的情况下做出选择。信号检测理论主要用于在某种最佳理论基础上进行选择，对信号进行有效的检测。例1：雷达信号检测。例2：数字通信接收机的信号检测。例3：语音信号的识别。例4：图象信号的识别等。4.1统计检测的基本概念4.1.1基本检测模型1.二元信号检测理论模型信源概率转移机构观测空间R判决准则H0或H1H0或H1基本检测理论模型二元信号检测应用：（1）二元数字通信，信源符号0和1；（2）雷达系统中，检测有或无目标；下面以二元数字通信为例来说明信号检测过程。信源说明：考虑二元信号的检测问题时，信源仅发出二元信号。当假设H0为真时，信源输出信号为-A，当假设H1为真时，信源输出信号为+A。+A、-A均为确定信号，n为随机信号，因此x也为随机信号，仅仅是均值发生偏移，即有：

转移概率机构：如果信道噪声n服从N（0，σn2）,概率转移结构使观测空间中的随机观测信号为（x|Hj)(j=0,1)。这样在两种假设情况下，观测信号的数学模型为x0P(n)+AxP(x|H1)-AxP(x|H0)显然，图中检测模型的观测空间由一维随机观测信号组成。一维随机观测信号特征：x是一维变量。说明：二元信号检测模型的观测空间也可以由多维随机观测信号组成。

对于信源的任何一个输出，让概率转移机构依次转移N次，则相当于观测信号的模型为：

即进行了N次观测，构成N维随机观测矢量其对应的观测空间就是N维的，N为有限值。

两种信号状态下N维观测信号矢量的N维联合概率密度为。信源概率转移机构观测空间R判决准则H0或H1H0或H1基本检测理论模型观测空间R：在信源不同输出下，在噪声的干扰背景中，由概率转移机构所形成的全部可能观测量的集合。观测量可以是一维的，也可以是N维矢量。

如果没有噪声的干扰，信源输出的某一种确知信号将映射到观测空间中的某一点，但在噪声干扰的情况下，他将以一定的概率映射到整个观测空间，观测空间某点的概率为。信源概率转移机构观测空间R判决准则H0或H1H0或H1基本检测理论模型判决准则：观测信号落入观测空间后，就可以用来推断哪一个假设成立是合理的，即判决信号属于哪种状态。为此需要建立一个判决准则，判决观测空间的每一个点对应着一个相应的假设Hi（i=0,1)。判决的结果就是选择假设H0成立，还是选择假设H1成立。2.M元信号检测理论模型

M元信号检测中，信源有M种可能的输出信号状态，分别记为Hj,(j=0,1,2,……,M-1)。

在噪声的干扰背景中，信源的每种输出信号经过概率转移机构生成随机观测量。M元信号检测的判决域1.二元信号的情况判决假设H0H1H0（H0|H0）（H0|H1）H1（H1|H0）（H1|H1）二元信号的判决结果。对于二元假设检验，判决结果必然是下面四中情况之一：(1)假设H0为真，判决假设H0成立，记为（H0|H0）；正确判断(2)假设H0为真，判决假设H1成立，记为（H1|H0）；错误判断(3)假设H1为真，判决假设H0成立，记为（H0|H1）；错误判断(4)假设H1为真，判决假设H1成立，记为（H1|H1）；正确判断4.1.2统计检测的结果和判决概率判决假设H0H1H0P（H0|H0）P（H0|H1）H1P（H1|H0）P（H1|H1）P(Hi|Hj)含义：在假设Hj为真的条件下，判决假设Hi成立的概率。在假设Hj为真的条件下，观测量落在Ri域判决Hi成立，有二元信号的判决概率。x0P(n)+AxP(x|H1)-AxP(x|H0)举例说明，当N=1时。二元信号检测的判决域划分与判决概率2.M元信号的情况P(Hi|Hj)含义：在假设Hj为真的条件下，判决假设Hi成立的概率。假设观测量落在Ri域判决Hi成立，则有显然将有M2种判决结果，其中只有M种判决是正确的。小结：为了获得某种意义上的最佳检测结果，需正确划分观测空间R中各个判决域Ri(i=0,1,2,…,M-1）。问题：需要寻求最佳检测准则，获得最佳检测结果。常用的信号检测准则贝叶斯准则（Bayes)极小化极大准则（minimax)奈曼-皮尔逊准则（Neymann-Pearson)……4.2贝叶斯准则（BayesCriterion)贝叶斯准则：就是在假设Hj的先验概率P(Hj)已知，各种判决代价因子Cij给定的情况下，使平均代价C最小的准则。1.概念代价因子Cij：表示假设Hj为真时，判决假设Hi成立所付出的代价。约束条件C10>C00，C01>C11。2.平均代价C的表达式假设Hj为真时判决所付出的条件平均代价为若Hj为真的概率P(Hj)已知，则判决所付出的总平均代价（也称为平均风险）为整理得：固定平均代价q(x)根据Bayes准则，应使C最小。判决域划分:在R0域内，q(x)<0.Bayes判决准则：即LRT其中：λ(x)称为似然比函数，η称为似然比检测门限。说明：似然比检验（LRT：likelihoodRatioTest)是似然比函数λ(x）于与检测门限η进行比较，λ(x）是一个依赖于观测量x的函数，因此是一个检验统计量。简化形式：如果似然函数含有指数形式，可以简化判决准则，即简化的贝叶斯准则为例题：在二元数字通信系统中，假设为H1时，信源输出为正电压A，假设为H0时，信源输出为零电平。信号在通信信道传输过程中叠加了高斯噪声n(t)；每种信源的持续时间为T，在接收端对接收到的信号x(t)在T时间内进行N次独立采样，样本为xk（k=1,2,…,N)。已知噪声样本nk是均值为零、方差为σn2的高斯噪声。（1)试建立信号检测系统的信号模型；（2）若似然检测门限已知，确定似然比检验的判决表达式；（3）计算判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)。解：（1）接收信号模型为：解：（1）接收信号模型为：在（0，T）内进行N次独立采样后，接收信号模型为：其中xk之间相互独立。（2）已知在两种假设情况下，似然函数为：由于N次采样的样本xk之间是独立同分布（iid)的，所以这样，似然比函数为似然比函数检验（LRT）为取对数进一步整理得检验统计量是N个信号的平均值，它是xk（k=1,2,…,N)的函数，是个随机变量。说明：由于N次采样的样本xk之间是独立同分布（iid)的，因此l(x)在两种假设情况下均服从高斯分布，均值和方差计算过程如下。假设H0情况下，均值和方差分别为：假设H1情况下，同样的方法计算均值和方差为：用l表示l(x)，有根据判决准则，解毕。例题：设二元假设检验的观测信号模型为其中n为均值为零，方差为0.5的高斯观测噪声。若两种假设是等先验概率的，代价因子分别为试求最佳（贝叶斯）判决表示式和平均代价C。解：似然比检测门限为Bayes判决表示式为两边取对数，得令l(x)=x在两种假设下，有说明：如果调整检测门限偏离了-0.1733，则计算出的C均大于1.8269，这从侧面验证了贝叶斯准则的却能使平均代价最小。4.3派生贝叶斯准则概念：在对各假设的先验概率P(Hj)和各种判决的代价因子Cij进行约束的条件下，将会得到它的派生准则。本节主要讨论二元信号情况下，贝叶斯派生的几种准则。1.最小平均错误概率准则派生过程：当C00=C11=0，C10=C01=1时，平均代价为最小平均错误概率准则：使平均错误概率最小的准则。（minimummeanprobabilityoferrorcriterion)类似于贝叶斯准则的分析方法，Pe表示为

为了使Pe最小，将所有满足q(x)<0的x划归R0域，判决假设H0成立。q(x)

这样，所有满足q(x)>0的划归R1域，判决假设H1成立。此时，LRT（似然比判决）式为LRT式的简化形式为2.最大似然准则(maximumlikelihoodcriterion)派生过程：当C00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5LRT为说明：最小平均错误概率准则和最大似然准则都是贝叶斯准则特例。例题3.4-1：在OOK通信系统中，两个假设下的观测信号模型为其中，观测噪声n~N(0,σn2)；信号A是常数，且A>0。若两个假设的先验概率P(Hj)相等，代价因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用最小平均错误概率准则，确定判决表示式，并求平均错误概率。解：在两个假设下，观测量x的概率密度函数分别为因为C00=C11=0，C10=C01=1，P(H0)=P(H1)=0.5经过化简整理得此时检验统计量l(x)=x满足根据检测准则，判决门限为A/2，所以两种错误检测概率为：这样平均错误概率为说明：显然信噪比越高，平均错误概率就越小，检测性能就越好。3.最大后验概率准则(maximumaposteriorprobabilitycriterion)派生过程：当C10-C00=C01-C11时，判决准则表达式为贝叶斯准则等价表示为说明：在已知观测量x条件下,假设H1和H0为真的概率称为后验概率。4.极小化极大准则贝叶斯准则应用条件：给定代价因子和先验概率。贝叶斯准则问题：当给定代价因子，而先验概率未知，此时判决门限η=η[P(H0)]是P(H0）的函数，如何检测？解决方法：当给定代价因子，而先验概率未知时，采用极小化极大准则。为了描述方便，现将有关符号改记如下：平均代价为：

当代价因子确定，而先验概率未知，此时判决门限η是P1的函数，即η=η(P1)，则PF和PM也是P1的函数，整理C得：虚警概率：漏报概率：说明：可以证明，当似然比λ(x)

是严格单调的概率分布随机变量时，贝叶斯平均代价C是P1的上凸函数。如图中曲线a所示。平均代价C与P1的关系曲线分析：P1未知，为了仍能采用贝叶斯准则，只能假设一个先验概率P1g，得到贝叶斯准则的似然判决门限η=η（P1g），由此可以计算获得PM(P1g)和PF(P1g)

。

0P1gP1g*

1P1C(P1)aCmin平均代价C与P1的关系曲线C(P1)a0P1gP1g*

P111P1b分析：此时的平均代价与实际的先验概率之间的关系是一条直线，如图中曲线b所示。从图中可以观察到，除了P1g点外，其他的P1处b曲线的值均大于a曲线的值。如P1=P11时，实际的平均代价远大于最小平均代价Cmin。Cmin此时的平均代价有如关系：问题：既然无法预测P1g与实际的P1之间偏差的大小，如何避免产生过分大的代价？问题：既然无法预测P1g与实际的P1之间偏差的大小，如何避免产生过分大的代价？解决办法：使猜测先验概率为P1g*

，获得的平均代价曲线如c所示。虽然此处贝叶斯准则的平均代价最大，但此时无论实际的先验概率P1与P1g

*有多大的偏差，平均代价都等于Cminmax，不会产生更大的代价。

平均代价C与P1的关系曲线C(P1)a0P1gP1g*

P111P1bCminCminmaxcP1g*的求解方法如下。令整理得这就是极小化极大准则的极小化极大方程。解方程就可求得P1g

*，从而得到似然比门限η*。此时的平均代价：此时极小化极大代价就是平均错误概率。（极小化极大方程）（极小化极大方程）例题3.4-2：在OOK通信系统中，两个假设下的观测信号模型为其中，观测噪声n~N（0，σn2）;信号A是常数，且A>0。若两个假设的先验概率P(Hj)未知，代价因子C00=C11=0，C10=C01=1，采用极小化极大准则，试确定检测门限和平均错误概率。解：在两个假设下，观测量x的概率密度函数分别为似然比函数为假设判决门限为η，则化简得显然，检验统计量l(x)=x.因为C00=C11=0，C10=C01=1，X在两种假设情况均服从高斯分布，根据判决准则，有此时极小化极大方程为：PF=PM，即极小化极大方程为解得此时平均错误概率式中分析：

Cij未知，P(Hi)未知，判决门限无法确定。此时人们最关心的是判决概率P（H1|H0）和P（H1|H1）。5.奈曼-皮尔逊准则(Neyman-PearsonCriterion\N-P)(1)奈曼-皮尔逊准则的概念希望：P（H1|H0）小，P（H1|H1）大。xxP(x|Hj)P(x|H1)P(x|H0)R1R0P(H1|H1)P(H1|H0)P(x|H1)P(x|H0)ηN-P准则：在错误概率PF=P(H1|H0)=α

的约束条件下，使正确判决概率P(H1|H1)=最大的准则。N-P准则应用：雷达、声纳等信号的检测问题。PF=P(H1|H0)也称为虚警概率；PD=P(H1|H1)也称为检测概率。(2)奈曼-皮尔逊准则存在的说明说明：原则上判决域R0和R1有无限多种划分的方法，他们都可以在保证错误概率PF一定，但是他们的检测概率却是不同的。xP(x|H1)P(x|H0)R1R0P(H1|H1)方法一P(H1|H0)P(H1|H0)P(x|H0)R1R0方法三P(H1|H0)问题：在虚警概率PF=

P(H1|H0)相同的情况下，不同的判决准则将得到不同大小的检测概率PD。如何获得最大的PD？P(x|H0)R1R0R0(3)奈曼-皮尔逊准则的判决表达式目标：P(H1|H0)=α

，P(H1|H1)=最大，即J=P(H0|H1)最小。利用拉格朗日（Largrange)乘子μ（μ≥0），构造目标函数

固定、非负q(x)分析：要使J最小，将x满足q(x)<0的部分划给R0域，其余给R1