定积分的定义与性质-李飞

第五章定积分及其应用第一节定积分的概念与性质主讲教师李飞5.1定积分的概念与性质5.2定积分的积分方法5.4复习题5.3定积分的应用第五章定积分及其应用

规则图形的面积

矩形的面积=长宽.

长宽高上底直角梯形的面积=

中位线,长为

直角梯形的面积可用矩形面积计算.下底一、定积分的概念那么,不规则图形的面积如何求呢?一、定积分的概念用若干条平行于轴及

轴的直线

将图形分割,所求面积应为被分割的

所有小面积之和.

如左图,将其放入平面直角坐标系中.

我们分析

:由三条直线和一条曲

线围成,其中两条直线互相平行,第三条

直线与这两条直线垂直,另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形.

对四周的不规则图形,面积怎么求?只要将其求出,则大的不规则图形面

积也即求出.??????????

求不规则图形的面积问题

其中,中间部分为矩形,易求面积.转化为

求曲边梯形的面积问题一、定积分的概念如何求曲边梯形的面积?将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线称为曲边梯形.

直线和(即轴)所围成的平面图形=面积一、定积分的概念一、定积分的概念

引例:

求曲线

y=x2、直线

x=1和x轴所围成的曲边三角形的面积x

yOy=x21观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．x

yOy=x21(4)取极限

取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和分割求和近似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”,求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值；一、定积分的概念二、定积分的问题举例直曲对立统一在区间上任意选取分点

…,

每个小区间的长度为其中最长的记作

==分成个小区间(1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形以直代曲1.求曲边梯形的面积

二、定积分的问题举例==

过每个分点()

作轴的垂线,把曲边梯形分成个窄曲边梯形.

用表示所求曲边梯形的面积.

表示第个小曲边梯形面积,则有:二、定积分的问题举例==(2)近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积

在每一个小区间上任选一点(),用与小曲边梯形同底,以为高的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,即

二、定积分的问题举例==(3)求和——求个小矩形面积之和

个小矩形构成的阶梯形的面积是,这是原曲边梯形面积的一个近似值.即二、定积分的问题举例(4)取极限——由近似值过渡到精确值

分割区间的点数越多,即越大,且每个小区间的长度越短,即分割越细,阶梯形的面积,即和数与曲边梯形面积的误差越小.

现将区间无限地细分下去,并使每个小区间的长度都趋于零,这时,和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值.

其中二、定积分的问题举例求得曲边梯形的面积:经(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.二、定积分的问题举例2.变速直线运动的路程

已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,

且v(t)0,

计算物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程S.(1)分割:

T1t0<t1<t2<<tn1<tnT2,

Dtititi1;(2)近似代替:

物体在时间段[ti1,

ti]内所经过的路程近似为DSiv(i)Dti(

ti1<

i<ti);物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程近似为(3)求和:

(4)取极限:

记max{Dt1,

Dt2,,

Dtn},物体所经过的路程为以不变代变三、定积分的定义定义5.1

用分点

设函数在闭区间上有定义,把区间分成个小区间

其长度

并记

在每一个小区间()上任选一点,作乘积的和式

当时,若上述和式的极限存在,且这极限与区间的分法无关,与点的取法无关,则称函数在上是可积的,并称此极限值为函数在上的定积分,记作

即

三、定积分的定义

积分上限积分下限

被积表达式

被积函数

积分变量

积分号称为积分区间.

由定积分定义知：三、定积分的定义定积分各部分的名称————积分符号,

f(x)———被积函数,

f(x)dx——被积表达式,

x————积分变量,

a

————积分下限,

b

————积分上限,

[a,

b]———积分区间，

———积分和.

三、定积分的定义说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,

而与积分变量的记法无关,

即由定积分定义还可知,案例中:三、定积分的定义注意:定积分与不定积分的区别定积分和不定积分是两个完全不同的概念.不定积分是微分的逆运算而定积分是一种特殊的和的极限函数f(x)的不定积分是(无穷多个)函数,而f(x)在[a,b]上的定积分是一个完全由被积函数f(x)的形式和积分区间[a,b]所确定的值.三、定积分的定义函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分存在,

则称f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理1

如果函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理2

如果函数f(x)在区间[a,

b]上有界,

且只有有限个间断点,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

三、定积分的定义由定积分定义知：

积分上限1.定积分是一个数值,该数值取决于被积函数和积分区间,与积分变量无关,即

积分下限2.交换定积分的上下限,定积分变号,即特别地,有三、定积分的定义

3.可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件．这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可积．4.可积的充分条件:，且只有有限个第一类函数在上连续在上可积。函数在上有界在上可积。间断点三、定积分的定义两点规定三、定积分的定义例1

用定积分表示极限解注:

设f(x)在[0,1]上连续,则有四、定积分的几何意义特别地,在区间上,若则由定积分的定义知面积四、定积分的几何意义在区间上,若四、定积分的几何意义

则图中阴影部分的面积为若有正有负,在区间上,四、定积分的几何意义

这是因为曲边梯形面积曲边梯形面积的负值四、定积分的几何意义各部分面积的代数和四、定积分的几何意义例2用几何图形说明下列等式成立:

(1)

(1)由定积分的几何意义,该面积就是作为曲边的函数在区间上的定积分,即上半单位圆的面积为解

四、定积分的几何意义(2)解

(2)由定积分的几何意义,该面积就是作为直线的函数在区间上的定积分,即该三角形的面积为五、定积分的性质性质1性质2性质3注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立，这条性质也称为积分区间的可加性。五、定积分的性质例4用几何图形说明下列等式成立:

解

(1)(1)由定积分对区间的可加性知

面积

由定积分的几何意义

==故

奇函数

五、定积分的性质解

(2)由定积分对区间的可加性知

面积

由定积分的几何意义

==故

(2)

偶函数

五、定积分的性质则结论则(1)若是奇函数,即设函数在对称区间上连续,

(2)若是偶函数,即五、定积分的性质性质1性质2性质3性质4五、定积分的性质推论1

如果在区间[a

b]上f(x)g(x)则

这是因为g(x)f(x)0

从而所以如果在区间[a

b]上f(x)0

则性质5

五、定积分的性质(比较性质)若函数和在闭区间上总有

则由图,两个曲边梯形的面积有关系:的面积的面积==五、定积分的性质例5比较下列积分值的大小

:

解

(1)与由定积分的比较性质(1)在区间上,因,五、定积分的性质解

由定积分的比较性质(2)在区间上,因,(2)与五、定积分的性质

这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以推论1

如果在区间[a

b]上f(x)g(x)则如果在区间[a

b]上f(x)0

则性质5

推论2

五、定积分的性质推论1

如果在区间[a

b]上f(x)g(x)

则如果在区间[a

b]上f(x)0

则性质5

推论2

性质6

（估值定理）设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值则五、定积分的性质例4

试证:证明

设则在上,有即故即五、定积分的性质

如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)

——