非参数假设检验

二、似然比检验样本容量n的确定

原假设和备择假设都是简单假设(即参数只取参数空间的一个点)时,寻找最小的样本容量,使得两类错误的概率控制在预制范围内.

1.总体方差已知时,正态总体均值的右边检验2.总体方差未知时,正态总体均值的右边检验3.总体期望未知时,正态总体方差的右边检验非正态总体参数的假设检验设总体X服从参数为p的(0—1)分布,即

设为X

的样本,

检验假设1．(0—1)分布参数的假设检验由于因此由中心极限定理可知,当成立且样本容量n充分大时，统计量服从标准正态分布N(0,1).=>该假设检验问题的拒绝域为近似地例1

某种产品在通常情况下次品率为5%.现在从生产出的一批产品中随机地抽取50件进行检验,发现有4件次品.问能否认为这批产品的次品率为5%?(α=0.05)解设这批产品的次品率为p.在这批产品中任任意取一件产品，定义随机变量X如下

检验假设该假设检验问题的拒绝域为现在统计量U的值为=>接受假设=>可以认为这批产品的次品率为5%2.总体均值的假设检验假设总体X的均值为μ,方差为为X的样本,检验假设由中心极限定理知，当样本容量n充分大时，近似地服从标准正态分布N(0,1)由于样本方差为的无偏估计量，=>可以用近似代替，并且当为真且样本容量n充分大时，统计量仍近似地服从标准正态分布N(0,1)=>该假设检验问题的拒绝域为例2

某电器元件的平均电阻一直保持在2.64Ω.

改变加工工艺后,测得100个元件的电阻,计算得平均电阻为2.58Ω,样本标准差为0.04Ω.在显著性水平α=0.05下,判断新工艺对此元件的平均电阻有无显著影响.解设该电器元件的电阻为X,其均值为μ

检验假设拒绝域为现在统计量U的值为

=>拒绝假设接受假设=>新工艺对电子元件的平均电阻有显著影响.3.两个总体均值的假设检验设总体和相互独立，的样本,是是Y的样本.记设总体X的均值为

，方差为总体Y的均值为，方差为的拒绝域.由中心极限定理知，当样本容量和都充分大时，近似地服从标准正态分布．由于样本方差和分别为和的无偏估计量，因此可以分别用和近似代替和，并且当求假设检验问题和近似地服从标准正态分布，从而当原假设成立时，统计量仍近似地服从标准正态分布.都充分大时，=>当成立且都充分大时，统计量U的值应该在零附近摆动，当过大时就认为不成立.=>该假设检验问题的拒绝域为例3

两台机床加工同一中轴承，现在从他们加工的轴承中分别随机地抽取200根和100根，测量其椭圆度（单位：mm），经计算得能否认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是相同的(α=0.05)解设这两台机床加工的轴承的椭圆度分别为X,Y

且检验假设由于题目给出的两个样本都是大样本，因此该假设检验问题的拒绝域为现在=>拒绝原假设即认为这两台机床加工的轴承的平均椭圆度是不相同的.§2分布拟合检验设总体X的实际分布函数为F(x),它是未知的.

为来自总体X的样本.根据这个样本来检验总体X的分布函数F(x)

是否等于某个给定的分布函数F0(x),即检验假设:注意:

若总体X为离散型的,则相当于总体X的分布律为若总体X为连续型的,则相当于总体X的

概率密度为f(x).（1）若中的分布函数不含未知参数.记为的所有可能取值的全体，将分为k个两两互不相交的子集以表示样本观察值中落入的个数,=>在n次试验中,事件Ai发生的频率为fi/n另一方面,当H0为真时,

可以根据H0所假设的X的分布函数来计算选取统计量来度量样本与H0中所假设的分布的吻合程度，hi是给定的常数。

一般选取则上述统计量变成定理1（皮尔逊）当H0为真且n充分大时,统计量

近似服从分布.由定理1,若给定显著性水平α,则前述假设检验问题的拒绝域为（2）若H0中X的的分布函数含有未知参数.此时,首先在假设下利用样本求出未知参数的最大似然估计,以估计值作为参数值,然后再根据H0中所假设的X的分布函数F(x)求出

pi的估计值并在中以代替,得到统计量为真且充分大时,统计量定理2

（皮尔逊）当

近似服从分布,其中r是X的分布函数F(x)包含的未知参数的个数.若给定显著性水平α,则前述假设检验问题的拒绝域为注意：运用检验法检验总体分布,把样本数据进（1）大样本,通常取（2）要求各组的理论频数或（3）一般数据分成7到14组.有时为了保证各组行分类时,组数可以少于7组例1

孟德尔在著名的豌豆杂交实验中,用结黄色圆形种子与结绿色皱形种子的纯种豌豆作为亲本进行杂交,将子一代进行自交得到子二代共556株豌豆,发现其中有四种类型植株（黄圆）（黄皱）（绿圆）（绿皱）

总计315株101株108株32株556株试问这些植株是否符合孟德尔所提出的的理论比例解

检验假设

这些植株符合的理论比例.这些植株不符合的理论比例.由由的理论比例可知由n=556,得而计算得由α=0.05,自由度查分布表得=>在α=0.05下接受=>这些植株是符合孟德尔所提出的的理论比例例2

某农科站为了考察某种大麦穗长的分布情况,在一块实验地里随机抽取了100个麦穗测量其长度,

得到数据如下（单位:cm)6.56.46.75.85.95.95.24.05.44.65.85.56.06.55.16.55.35.95.55.86.25.45.05.06.86.05.05.76.05.56.86.06.35.55.06.35.26.07.06.46.45.85.95.76.86.66.06.45.77.46.05.46.56.06.85.86.36.06.35.65.36.45.76.76.25.66.06.76.76.05.56.26.15.36.26.86.64.75.75.75.85.37.06.06.05.95.46.05.26.05.35.76.86.14.55.66.36.05.86.3试检验大麦穗长是否服从正态分布?(α=0.05)解检验假设X的概率密度为是未知的,所以应首先估计的最大似然估计为把X可能取值的全体划分为k=12个互不重叠的小区间:=>大麦穗长的频数、频率分布表3.95~4.254.25~4.554.55~4.854.85~5.155.15~5.455.45~5.755.75~6.056.05~6.356.35~6.656.65~6.956.95~7.257.25~7.55合计频率频数累计频率0.09

11152813110.110.150.280.130.110.200.350.630.760.871.00

1001.00由由此可计算

若则的值见下表的计算表

组号分组

频数

13.95~5.1590.099769.9760.0954925.15~5.45110.117411.740.0466435.45~5.75150.17217.20.281445.75~6.05280.193519.353.866856.05~6.35130.177917.791.2897266.35~6.65110.125812.580.1984476.65~7.55130.1096310.9630.37849合计1000.9959999.5996.15698由

k=7,r=2,得自由度

k-r-1=4,查表得而=>接受原假设,即在检验水平α=0.05下，下可认为大麦的穗长服从正态分布经验分布的基本理论经验分布函数的性质K-检验法设总体分布为F(x),对一个给定的的分布F0(x),考虑如下假设

H0:F(x)=F0(x),由格列汶科定理若Fn(x)为经验分布函数,则有因此,当H0为真时,Fn(x)和F0(x)的偏