2020高中数学竞赛与自主招生专题讲义十六套

2016年竞赛与自主招生专题第一部分近年来自主招生数学试卷解读从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为,是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。总的来说，函数、方程'数列、不等式'排列组合等内容是高频考点。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60%左右。2、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主•探究和阅读材料,对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧°咼频考点一览:不等式均值不等式与柯西不等式的综合运用，凸函数的性质，证明不等式的常用方法杂题常见的组合数学问题（组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题）解析几何解析几何的基本运算、取值范围与最值问题以及探索性问题平面几何平面几何的基本计算和证明.三角形五心问题、图形变换函数函数的奇偶性.周期性.单调性的证明与应用三角函数一些具有技巧性的三角变换，三角恒等式和简单的三角不等式问题立体几何复杂的空间几何构型，空间范围内的旋转对称等变换问题排列组合比较具有技巧性的排列组合问题和一此复杂的概率问题方程和多项式高次方程，无壬里方程的技巧性处理，一些简单的多项式知识数列非等比等差数列的递推公式、通项公式、求和公式的常见解法一、试题特点分析:突出对思维能力的考查）L2014年北约】（2知兀＞0（/=1,2,.../?）,门兀=1•求证：门（运+兀）2迈+1「・/-Ir-i'【斛析】不等式；柯西不等式或AM平均不等式.法一：AM-GM不等式•调和平均值.0,=迈可得屈”彳巾咅(GJ,$1法一：AM-GM不等式•调和平均值.0,=迈可得屈”彳巾咅(GJ,$1兀,迈

M+兀口"+厂'•_+x,丿，-n述河屈兀)‘:打n(G+xj,馬莎j珂n(运+E(\/2+l)w上述两式相加得'7,曲柯西不寻式得(血+兀「迈+?卜，从而可设沪右n协(g)■即(迈+i)彳ne+xj,即(血+1)1门(血+占)法二：由n兀二1.及要证的结论分析r=iTOC\o"1-5"\h\z且flz=fl丄=1•从而本题也即证f](>/2+^)>(>/2+l)\/e|仕I兀1«1从而门(迈+兀)s/2+->(V2+lf，即门(运+兀)(724-x)>(V2+lf,/I俶设原式不成立，即门(血+兀)v(运+1)“•刘戶(逅+必)<(血+1)"・j-ij-i从而n(x/2+兀)(迈+牙)<(血+1广，矛盾•得证.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。[2014年北约】10.已知实系数二次函数/(X)与g(x),/(x)=g(x)和3/(x)+g(x)=()有两重根,/(x)有两相异实根,求证:g(x)没冇实根.【斛析】设f(x)=ax2+bx+cfg(x)=dx:+ex+ff则曲/(x)二g(x),可好

(a-d)x2+(b・e)x+(c・/)=O.A=[b-e)2-4(a・〃)(c・/)=0・曲3/(x)+g(x)=0可得(3</+J)x2+(3b+£)x+(3c+/)=O,A=(3A+e)'一4(3“+d)(3c+/)=0.化简得卫>?+F=]2ac+4df、即X-4df=3(牝<7-，)又少-4ac>0.・•・e-4df<0.Ag(x)没有实根.二、应试和准备策略注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵,行列式等也不可忽视。适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)一、知识补充：容斥原理基本公式：(1)card(AUB)=card(A)+card(B)—card(AAB)；(2)card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AClB)-card(AAC)-card(BClC)+card(AABnc)问题：开运动会时，•高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛,•有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少•人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设A=｛参加游泳比赛的同学｝,B=｛参加田径比赛的同学｝,C=｛参加球类比赛的同学｝•则card(A)=15>card(B)=8,card(C)=14,card(AUBUC)=28t且card(AAB)=3,card(ADC)=3,card(AABAC)=0,由公式②得28=15-8+14-3-3-card(Bnc)+0t即card(BQC)二3.所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15-3-3=9(人)二•抽•屉原理抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。证明：(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合，则毎个•集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素•此与共有nH个元素矛盾.故命题成立。例1.已知在边长为1的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(图1)o证丄明：至少有两个点之间的距离不大于无分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内(包括丄边界)有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于亍的两点”,则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长1为3的小等边三角形.则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中(包括边£界)，其距离便不大于亍。以上结论要由定理“三角形内(包括边界)任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定浬。如图2,设BC是△ABC的最大边，P,M是AABC内(包括边界)任意两点，连接PM,过P分别作BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N,那么ZPQN=.ZC,ZQNP=ZA因为BCMAB,所以ZA^ZC,则ZQNP^ZPQN,而ZQMP^ZQNP^ZPQN(三角形的外角大于不相邻的内角)，所以PQMPM。显然BCMPQ,故BCMPM。由此我们可以推知，边长为无的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于三、针对性训练对集合｛1,2,…，n｝及其毎一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合｛12469｝的“交替和”是9一6+4-2+1=6.6®的"交替和”是6-5=1,｛2｝的交替和是2。那么，对于沪7。求所有子集的“交替和”的总和。解：集合｛1,2,3,4,5,6,7）的子集中，除去｛7｝外还有27-2个非空子集合，把这2?-2个非空子集两两结组后分别计算毎一组中“交替和”之和，结组原则是设4=（7,^，•…），41=4-｛7）这是把4与4】结合为一组，显然，每组中，“交替和”之和应为7,共有（，-2）/2组.所以，所有“交替和”之和应该为7x（27-2）/2+7=448On元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子•集，求出与它不交的•子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。解：如果•子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若畏k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况畏2'*种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为种，那么k从。变到n,总的情况可能就是丫二戏’21=（1+2）”=3”。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则3"对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它3”个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子集对，因此有（罗T”2个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为⑶T"2+19+1”2分析二：我们可以从元素的角度•来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对的总数歹，以下同解法一。以某些整数为元素.的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数，有偶数；③一1GP;④若x,y^P.则x+yEP。试判断实数0和2与集合卩的关系。解：由④若x,yeP，则x+yep町知，若XGP,则仏wN)由①可设x,且x>0,y<0,则一yx=|jd；r(IyWN)故xy9—yxP9由④,・0=(—yx)+xyPc2«P。若2ep.则P中的负数全为偶数，不然的话，当一(2A+1)WP(&gN)时，一1=(一2k-1)+2AWP,与③矛盾。于是，由®^P中必有正奇数。设-2刖,2“-1wP(加,”wN),我们取适当正整数g,使(r\-2m|>2n-\9则负奇数-2qm+(In-1)€P。前后矛盾。4•若Sp52,53为非空集合.对于1,2,3的任意一个排列ij.k,若xeSnyeSj9则x-yeSk证明：三个集合中至少有两个相等。三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：(1)若则y-xeSi1(y-x)-y=-xeSl所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设Sp52,S3中的最小正元素为a,不妨设awS|,设〃为S2,Si中最小的非负元素,不妨设beS2^']b~a^S3O若6>0,则0Wb-aVb,与b的取法矛盾。所以b二0。任取xeSp因0GS2.故x-0=xWS3。所以S｝^Sy9同理S3cS|O所以S、=S30可能。例如5,=5\=｛奇数｝,•%=｛偶数｝显然满足条件，$和$2与S3都无公共元素。5•设S二｛123,…,200｝M=｛sa2，®・・・4oo｝uG,且A具有下列性质:(1)对KM)任1</<;<100,恒有a^a,*201；(2)=100800i-1100试证A中的元素为奇数的个数是4的倍数，且为定值.i=i证明：考虑&={1,200},={2」99},…Og={100,101},每个集合中取一个元素，但注意到2+4+—+200=10100^10080,不妨设不属于A的偶数为①卫”…卫—则相应的奇数201-^,201-^,--,201-a*应在A中，且对应差的和为20.6.(2010年江苏五校)已知集合A=[al9g角，aj,其中(1W/W/7,”>2),"/!)表示a+a.QWi<jS的所有不同值的个数.已知集合P={2,4,6,8}>0={2,4,8,16},分别求lg10；若集合A={2,4,8,…，2"),求证：KA)=n(n-l\2求“.4)的最小值.解：(1)由2+4=6,2+6=&2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14,得7(^=5,由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,得/(0=6・(2)证明：因为丿共有也二2项，所以"/1)W也二U・22又集合M={2,4,8,…，2“},不妨设名=2",加=1,2,…，n.巧+日戶日&+巧(1£/<丿W/7,1WAV/W/7),当j$l时，不妨设J<1,则国+码V2色=2片*印<咼+印，即刃+码工直+亦当j=l.ifk时.刃“因此，当且仅当i=k,/=/时，z+巧=么+亦即所有7+®(lW,V/W/7)的.值两两不同，因此1(A)不妨设厲<直<念<・・・<4，可得切+辺<&】+日SV'"<日1+&<屜+日”<日3+%<“・<亦+/,故%+a,aWi<jWn)中至少有2/7-3个不同•的数，即心)珈一3.事实上，设址，念，…，為成等差数列，考虑c+a,(lW,<jW/7),根据等差数列的性质，当i+jWn时・&+ay=ax4-a；+:当i-\-J>n时，殆+码.=巧+4”+%；因此每个和也+码(lWdVjWz?)等于笑+妆(2WWW/7)中的一个，或者等于血+aQWlWn—1)中的一个.故对这样的集合力，/U)=2/7-3,所以/(巾的最小值为2/7-3.数.7.通信工程中常用〃元数组(即吆他，……“”)表示信息，其中a产0或1,i、nwN.设u=(ava2,a3a”)，v=(b„3bn),d(u,v)表示"和v中相对•应的元素不同的个数.(1)u=(0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得d(w,v)=l；(2)u=(1,1,1,1,1)问存在多少个5元数组v使得d(“,v)=3；(3)令w=(0,0,0-•••••()),u-(a}ya2ta3a”)，v=(^,62,63b„).求证：/!个0d(u,h?)+d(v,m)>d(u.v)・解：(1)5；C；=10：记"、v中对应项同时为0的项的个数为"，对应项同时为1的项的个数为"，则对应项一个为1,—个为0的项的个数为n_p-q；(p、qwN,p+q<n)・d(“,w)即是"中1的个数，d(比w)即是v中1的个数•d(u,v)是依v中对应顶一个为1,—个为0的项的个数。于是有d(u,v)=n_p_q心v中1—共有2q+(〃一卩一彳)个，即d(",w)+d(片vv)=〃一p+g所以有d(“,w)+d(%w)-d(uyv)=2gn0于是d(“,w)+d(v9M)>J(M,V)・2016年竞赛与自主招生专题第二讲均值.柯西.排序不等式从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚岀时，很多人认为,是不是要在高考出分后再考自主招生，•是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%,其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。•—、知识精讲1•两个重要的不等式（二元均值不等式）：（d）a2+b2>2ah（a.beR）9当且仅当a=b时等.号成立。②学工应当且仅当a=b时等号成立。22•最值定理：若x,yeyx+y=S.xy=P9则:如果P是定值，那么当x=y时，S的值最小；如果S是定值，那.么当x=y时，P的值最大。注意：前提一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意毎处取等的条件是否一致。1・均值不等式:1・均值不等式:设ava1,a^-an是"个正实数，G严甌忑匕=,则Qfl>Afi>Gn>Hv9其中等号成立的

条件是再严…「比分别称为平方平均.算术平均.几何平均、

调和平均。2•柯西不等式：柯西不等式的二维形.式：若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd),当且仅当ad=bc时，等号成立。柯西不等式的一般形式:设⑷宀®,…,a”，妬,/>2，妬,...,仇是实数，则+a22+...+azl2).(/>,2+h22+...+bn2)+a2b2+...+afJhn)2,当且仅当bt=0(/=1、2,…或存在一个数斤,使得勺=kb.(/=1,2,・・・,〃)时，等号成立。3.柯西不等式的几个推论：(1)当b|=g=…卩=1时，柯西不等式即为n(a^+a^+--a^)>(ax+a2+--an)2,若aieR¥(i=1,2,-w),则卜2+aJ+・・・a”「n6—2+・・・+©,此即上面提到的平方平均n算术平均。\nn（3）当（3）当（玄+$+・・・+加）2（亦~+&?+•・•4•排序不等式(又称排序定理)：给定两组实数如切心;b”〃2,…，•如果a(<a2S…;b、»S・•那么+…切0M叭"扎+…+叭M砧心如+・・・+。人(反序和)(乱序和)(同序和)其中“心……，。是12……,n的一个排列.该不等式所表达的意义是和式£勺々在同序和反序时分别取得最大值和最小值・二.竞赛题目精练【2013江苏竞赛】13.设实数°,b0<a<—<h<1・证明：2(h-a)<cosna-cos・证明*设7(x22r+cams欲证不等式转化为f(b)itl于.厂(才)=2-TLSill7lXffn(x)=-K2CO.V7LV.・当xG(0.-)时・/7x)=-n2cosmc<09当xG(-J)时.f\x)=-it2cosnx>0.—2所以厂(x)在区间［0.|］上单调减，在区间［£.1］上单调增.因为厂(0)=广⑴=2和厂(*)=2-7T<0,所以存在0和“,0<»<扌<0<1,使得八a)=广(0)=0,f\x)<0当且仅当怕讪10分于绘函数/々)在区何［04］和［〃1］上单调增.在区间［a“］上单调减.因为/(0)=/(|)=/(1)=h故对于代［0冷怡/(泪，对于a-G［1l］^/(.r)<l.特别地，f{h)<\<f{a)20分三、典例精讲例1•证明柯两不等式►■证法一：若a}=a2=■-=an=0,则柯西不等式(67「+02?+…+a「)(护十b(+・・・b；)N("A+口厶+…+6九)°显然成工。若q不全为零，(j=1,2,・・・”)，令f{x)=(a{2+af+・・・町)“+2(的勺+a2b2+--+anbn)x+(b}2+b^+--bn)2。一方面，因f(X)=(a^x2+2afi{x+b{2)+(a?x2+2a2b2x+b/)+…+(a^x2+2ap^+b^)=+(a2x+b2)2+•••+(a/rv+dft)2>0(♦)另一方面，由+…>0,/(x)>0恒成立u>A=[2(%+冬①+…d/jF-4(aJ+aJ+…a/)(q2+»+…心')《0o(a点+aA+---+a^)2^(ol2+a/+---+a^)(/>12+/)/+---^2)■此即柯西不等式。由(*)知等号成立的条件为q=也(/=1,2,・・・刀)。•证法二：将平面向量、空问向量推广到〃维向量。令2=(⑷皿2,…卫”)，

b=(b」2，・・・bj,«■<a・b=apx+a2d2+…+^丸。a-b=\a\-\b\cos(a,b),由于cos(a,6)|<1,故a•厶S|a|・|引o|qb|+a2b2+・・・aQ|S+aj+••・+〜7f+b、...+b:0((7^,+^A+---+«w6J2<(«I2+6r22+---+^/)(Z>12+/>22+---+6/)等号成立的条件是丽共线，即耳=砂(Ze/?)A注：柯西不等式的证明方法很多.，有十几种，以上两种方法是中学生比较容易接受的。例2.证明：对任意实数有石+£—A分析：由对称性，容易算出当a=b=2时等号成立，此时l2up—1)=4l2up—1)=4A证明：—+4(Z^-1)>2J—.4(b-1)b—1\b—1即—+4(/?-l)>4ab—1同理—+4(a-l)>4ba-\两同向不等式相加得—+—^8,a=b=2时等号成立.b-\a-1•说明：不等式中什么时候等号成立，应该看作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口.本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性.»链接：本题可以稍作引申：当a>\.b>\.c>l时，证明：—+—+—>126—1c-1a-1例3•设a>b>09那么亍+—-—的最小值是b(a-b)»分析：本题取自人教社版课本的一个习题(第二册(上))，题中有两个变量a,几解題时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问題，再证明它大于或等于一个常数.在这中问我们又注意到和a-b之和为因式

『“14»解：yjh(a-b)<-^>—一>—2b(a-b)tr]h(a-b)>a:+-^->4,因此入缶的最小值是心]h(a-b)>a:+-^->4,因此入缶的最小值是心时取得最小值.»说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演算过程中两次使用了平均值不等式.»链接：如果题目变为a>方>0.求/+=的最小值，你会做吗？Jb(a-b)例4・a、b为正的常数，0<x<l,/(x)=-+—,求/(x)的最小值.x1—x»分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不.等式取等号的条件•这个函数的解析式是两部分的和，可看作XI—Xa；、a；,如再能出现舁、b；,则可用，注意到1-.X+x=1.»解法一；用柯西不等式?+台十+1“)(？+在门(屁隹+R.任)2=(需+何，因此f(x)min=(4a+4b)z,当且仅当厂"严=/,即x=°7=时,V.v.VxVI-x.Vl-x>ia+>Jb取得最小值。A解法二：用平均值不等式-■¥—=(x+\-x)(-+—)=a^b+a^~X)+—>a+b+24ab,同时X1—XX\-XXI-X可以算得，当且仅当二卫=旦时，即Jh严时取得最小值。a1一兀Va^yjb»说明：解法一和解法二都作了凑配l-x+.r=l,凑配之后，才能用上相应的不等式。例5.(2011复旦千分考)设”是一个正整数，则函数x+侖在正实半轴上的最小值是()o

TOC\o"1-5"\h\z（A）—（B）—nn+\•分析与解：由”+1•个正实数的也宁5吋石知:1111、x+=—X+—x+・・•+—X+nnxn“〃斤nxn(C)—(D)11比(C)—(D)—x=,x=1时，nnxn故选C°例6.（2002交大）若满足关系：ajd+bjl-/二1,则a2十b‘=p•分析与解：a\/1一/时取等号,由柯固不等式，\=(a\l\-b2+b>J[-a2)<(a2+\-a2)(b2+\-b2)=\a\/1一/时取等号,2-12-1例7・（2009南大）P为MBC内一点、,它到三边BC,C4,B的距离分别为皿心S为M3C的面积。求证：4++—（这里cbc分别d、心dy28表示BC.CA.AB的长)。A分析与解：如图2-1,易见S=—ad、+、bd、+—cd、。2■2•由柯西不等式，(ad{+bd、+cJJ(—+—4-—)>(«+/>+c)2心%虫=>2S(—+—+—)>(£7+b+c):4%d3na+b+c〉(a+b+c)2=石+石+石-—2S—°例8.（2010浙大）有小于1的正.数若心,…兀，且斗+兀+兀+・・・+兀=1。求证:

33"r°召一召勺-兀X”-心»分析与解：解法一：由柯西不等式■■[（X|_西'）+任2_兀2‘）+・・心厂X,）]—-一"+••・+—-一~-》幵2.L^-X|勺一兀X厂X；」注意到：（X]-斗'）+（“2-*2‘）+・・・（・丫厂x「）=（X]+x2+…+兀）一（xj+璟+・・・+X；）=1一（帚+兀,+・・・亡）,而Ov兀<1,兀‘V兀（/=1,2,3-w）X}'+兀2‘+・・・xj<X|+七+•••+X”=1故l—（x,+x/+…xj）w（0,1）o1旺一片31旺一片3+X2-X2+・・・+显然n>2,故召一X,心一亡解法二：先证明一个局部不等式：—^>4^.(Z=1,2,3・・f)(*)兀一兀事实上，(♦)0124球一4球O佔4-佔2+200(2形2_])fo,显然成立。所以一+—-—+・・・+—-一~n4(西+禺+…+心)=4,当•且仅当旺-兀吃-勺x厂心x,=¥(，=1,2,…”)时等号成立。例9・设MBC的三内角人B、C所对的边分别为a、b、c,其周长为1・求证：丄+丄+丄3(—+—+—).ABCABC»分析：由问題的对称性，不妨设a>b>c.三角形中大边对大角.于是有A^B>C丄(这种形式是题目所需要的)。这样既不改变问题的实质，又增加CBA了.已知条件：两组有序实数a>b>c,及这就为应用排序原理创设了很好的情境。

证法-：用排序原理。不妨设如*于是有02C#寺十。由排序不等式a・丄+c•丄ha•丄+c•丄(同序和大于或等于反序和)，也就是CAACacace泗bc、bcahah證—+—>—+—,同理一+—»—+—,—+—>—+—,相加得CAACCBBCBAABa+ba+cb+c、2a2b2c才越扌#、石冃4abc#、片左却——+——+—>—+—+—,不等式两边同加—+—+—,并汪意到CdAABCABCa+b+c=\,就得丄+丄+丄>3(—+—+—)ABCABCTOC\o"1-5"\h\z证法二：比较z111、“abc、b七c一2aa+c-2ba+b-2c(-+—+—)-3(—+—+—)=++ABCABCABC昇+〒)(b-a)+(c-a)(a-b)+(c-b)(a-c)+(b-c)b_aa_bc-aa-c一A*B*C一~T*B*昇+〒)*_b,b—c、(a—bgB)((a—c)(S—C).(b—cNB—C)、。+(+)=++>0,BCABACBC因此丄+丄+丄n3(—+—+—)。ABCABC»说明：利用排序原理证明其他不等式时，必须制逍出两个合适的有序数组。五、真题训练TOC\o"1-5"\h\z<2009复旦)设w>0满足砂+y+z=12,则log4x+log2v+log2z的最大值是()(A)3(B)4(C)5(D)6(2009复旦)设实数血吐工0,—成等差数列，则下列一定成立的是abc()(A)\b\<\ac\(B)b2>\ac\(C)a2<b2<c2(D)(2007复旦)当a和b取遍所有实数时，函数=(fl+5-31cos|)2+(a-21sin^|)2所能取到的最小值为(;(A)1・(B〉2(C)3(D)4(2007复旦)给定正整数“和正常数a,对于满足不等式亦的所有等差数列即％%…和式£耳的最大值为()。j=/i+i（A）（A）字（”+l）（B）晋•”（C）孕（〃+l）（D）年n5.（2005交大）方程x2-px-一=0的两根西£满足x「+x「S2+迈，则卩=2p・.（.peR）22（2003交大）已知x.yeR¥,x+2y=l,则-+-的最小值xy是。（2002交大）若x,y,z>0且x2+y2+z2=1,则A+A+A的最小值fy才为O&（2001交大）xeR\求f（x）&（2001交大）xeR\求f（x）=X>的最小值。9.（2009清华）已知x,y,z>0,a,b、c是x,y,z的一个排列。^<11—+—+—>3«xyz10.（2004复旦）比较1og2425与嗨26的大小。【参考答案】A\2=xyz+y+z>3^x）^2z2<64>故log4x+log2y+log2z=log4x）^2z2<Iog464=3>当x=^.y=z=4时取等号。4D显然—^，―同号，不妨设a.b.oO.^a=\.b=—,c=—9知A错误。TOC\o"1-5"\h\zabc23取=72,6=1,e=—.知BC不对。下证/><纟竺。32由题意，2•竺=竺+啖,而匕型，故有

bac4吐fnFnbM叱，得证。2B由柯西不等式，（均值不等式）

/(«,/>)=(^+5-31cos/)|)2+(<?-21sin/?|)2>-^(5-3|cos/)|4-2|sin/)|)2>^-(5-3)2=2,当a=_\、b=0时取等号。A童咲今（〃+甘屮（讪），由柯西不等式(3%t-q)*(32+门・苗+如2)§%昭i=-3q,q'+昭i=-3q,q'+绻时取等号）,从而£s的最大值是导（”+i）。”讪25.±^=o由韦达定理知5.±^=o由韦达定理知•x}+x2=p,故A：：+兀2=(西+X2)‘_2*$2=/?2+Ag=叶+彳）2_世=（尸+严余2+归八余迈皿,故炜等号在几步时取到，即皿,故炜等号在几步时取到，即"土存*7*7996+4x/2由柯西不等式，一+—=(一+—)(*+2刃》(迈十2)2=6+4运，当且xyxy仅当x=y/2-\,y=\-^时取等号。9由柯西不等式-4+-V+-V=(A：2+y2+z2)(-^-+-^+-4-)^9,当X，y・J-x・y・二・x=y=z=£时取等号。8.6设ux+丄22,则疋+亠=仗+丄)'一3(天+丄)=”一3/,XXXXXX/(X)=Z-(Z^33)-2-2=3/>6,即/(X)的最小值是6,当且仅当*=1时取r+r-3i

最小值。9•由均值不等式.-+-4-£^34-.---=3,得证。xyz\xyz10.分析与解：解法一：先作差并化为同底，log”25-10%26=Ig25lg25_IgI2log”25-10%26=Ig25lg25_IgI225-lg241g26莎Ig24-lg25下而比较lg225与Ig24-lg26的大小，由均值不等式，7lg24.ig26<塩24+览26_lg(24-26)_lg(25-1)(25+1)=嗽25一)<lg25<|g25故Ig241g26<lgIog24->log25-,所以bg2425>logIog24->log25-,所以bg2425>log2526o注：此题的结论可推广为logx(x+1)>log(x+0(x+2)(x>1)o解法二：log%25=1+log,4罠1%26=1+log巧当，而^7>^7>1>所以24•2524252016年竞赛与自主招生专题第三讲不等式的性质及证明从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为,是不是要在高考岀分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，貝自参考价值。在近年自主招生试题中，不等式部分通常占10%-15%,其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。一、知识精讲基本不等式：a2+b2>2ab(a.beR)9当且仅当a=b时等号成立。亦当且仅当a=b时等号成立。自主招生中涉及到不等式的问题主要分为三类：不等式的证明、解不等式、不等式的应用，其中“不等式的证明”是难点。证明不等式没有固定的程序.证法因题而异，而且灵活多样、技巧性强一个不等式的证法常不止一种。证明不等式的基本方法主要有：比较法：在证明A>B或A〈B时利用A-B与0比较大小，或把万(A,B>0)与1比较大小，最后得出结论；放缩法:(为了证明A<B,引进一些中间量如CQ,依次证明A<C.C<DyD<B等)；分析法：即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。反证法、数学归纳法、变量代换法■构造法(如构造函数、构造图形)等。二、竞赛题精练(2014年华约］6.已知数列｛a”｝满足：q=0,a”.|=np"+qa..⑴若<7=1,求a”：(2)若IPI<LI<7I<1•求证：数列｛a9｝有界.6..【解】(1)当g=l时,■则碣-a-=S_l)p“S22)由累加法得+代」一乞.2+…+。2-6+4(nX2),即=p+2p2+3p'+•••+(/?-l)pv*(/?>2)(1)

当〃=|叭a”=当"=1时，q=0也适合；当pxl时，pg=p'+2p'+・・・+S-l)pQ(2)由(1)-(2)得代一py二“+〃'+〃'+・・・+一(幵一1)，,以1二矿“)1-p以1二矿“)1-p1一"(zj-l)p"*1-npn+p

(1_仍厂，当并=1时，s二0也适合;P=\P=\P$\2-(/?_1)//“+p(1-P)2⑵由|j冃npM+qaa\^npn\^\qa^n\p\,+\aa\'所以叽|-|讣川卩「,于是i<(H-i)iPr'(w>2)由累加法得a.=q-兔.]+4—_。“・2+…+勺一4+陽(“-2)故|讣“|+2|p|2+...+(_1)|川化壯叽牛早將边,(iTpl)•而(n-l)|pr-/!|pr<(n-l)|p|"-n|p|=-|pP<0,于是当心2时.有ax—•显然耳=0也成立.(1TpI)・于是乞有上界.[2014年华约】7.已知neN\x<n9求证：…(1■分n1.【证明】原不等式等价于//-r<//((i--)-e'y・n当/>，n±述不等式左边.非正，不等式成立；当x2<n时，由&>1+y(y>0)及贝努力不等式(1+y)n>\+ny(n>Ly>-V)9从而〃((1一艺)・0：)"»((1—£)(1+.)"»(1—»(1—“・g=“一x，,即证nnnn2n*三、例题精讲例].(2011复旦千分考)设有集合5={x|logt(3x2-4x)>2,x>0|,T={x\\^iax1-k2x）>2,x>0}满足S匸丁・则实数A曲取值范围是（>2⑻k2>2⑻k252(C)Jk>V2(E)a-<75•答案B許分析与解善：•答案B許分析与解善：先螂不等丈［帼⑶？-4巧三2oFT:或3工"-4x>x"*2'解得：220<-4x<.r-即S={x\x>2}即S={x\x>2}；再解不等式logT(2x!-A\)>2o0<.r<]D<2x2-k2x^xf10<^<1『f[■X>|x(jf-A2)<0,o厂、或*\x>kx(2x-k2)>0■'■'若k2>2t则T：x>k2不满足条件;若1<若k2>2t则T：x>k2不满足条件;2条件；若V<1,T:XAl或—<x<k2满-足条件；若后=2,则T;22一满足条件；若八=1’则2T：el或I满足条件.综上，A2<2.例2.<2010复旦）设实数x,y>Q,且满足2x十尸5，则函数f(x,^)=x'+xy+2x+2y的最丸值恳(九C.A)97T(B)195(D)C.A)97T(B)195(D)—静礬案c■分析与解磐占由于jc,y>0,y=S-2x,所以0亘兀兰彳+■分析与解磐占^(xty)=x;+^'+2jc+2y=jt?十5x-2a2十戈兀十10—4工4Q491=-x2+3x+10=-(a——『H<—,当且仅当x=—ty=2时取.等号442((2)例3・(2004同济)求证：对于任何实数a、b,三个数|a+兀|。-兀|1-叫中至少有一个不小于丄。2A分析与解答：解法一：用反证法。|a+61<—,|a-b\<—9\1—a|<—»则-—<a+bv丄,22,1—<a—b<―、21|122.由①+②得：冷<吨。由③得：l<a<|,矛盾!由绝对值不等式性质\a+b\+\a-b\+\\-a\+\\-a\>\a+b+a-h+\-a+\-a\=2•^\a+b\,\a-b\,\\-a\中至少有一个不.小于£。2p数列｛兀｝满足x讪例4.(2011“华约”)/(x)=2^,/(l)=l,ax+bfM9且刃=2°(1)求兀的通项;(2)求证：x“・・・x>—o2e»分析与解答：⑴心汾"(扣亡#22x~x+T所以I丄=*(1+丄)。G2斗計“心叫5(扩,*-2*-2*&・・£＞丄0（1+（异）（1+（｝）…（1+（新J）v2e2e222o（l+g）（l+》…（1+占）＜e。n＞1时由均值不彳（i+》（彳（i+》（T•••（】+£）＜1+丄+1+丄+・・・+1+厶242心”一1＜三土丄1+丄。所以（1+2）（1+4），，'（1+Fr）＜（U7^）\注意到＜（1+丄）"],1-1n-\[nJ单调递增，且lim（l+丄丫二e。所以（1+丄）（1+丄）・・・（1+厶）＜5刀”n242AFDEx.AnAFDEx.例5.（2011"华约”）如图：=”二-=夕Sg・=4,且y+z-x=ABACDFMBC求ABDE面积的最大值。（原题为选择题））丁八；，即y=z=|,x=iy+二一x=l334®）丁八；，即y=z=|,x=iy+二一x=l334®乂327DEBDAF亦.乔.acSaasc等号成立时,例6・（2008复旦）设/（x）=x8-x5+x2-x+l,则/（x）有性质（）（A）对任何实数x,/（x）总是大于0（B）对•任何•实数I/（Q总是小于0>-1>-1当x>0时，/(x)<0以上均不对»分析与解答：解法一：注意到含x的偶次方幕的项，其系数为正；含x的奇次方幕的项，其系数为负，故xMO时./(x)=xs+x12+1-X5-x>0显然成立。再注意到对Vxg/?,x2-a+1>0,而x8-.?=x5(x3-l),故当x»l时，x2>xs,\>Xx"-xx2>xs,\>X最后当()<x<1时，/(x)=兀“一x°+x‘一x+l=xs+(x?-xs)+(l-x),故f(x)>0仍成立。综上.对PxwR、f(x)>0,选力。解法二：配方法TOC\o"1-5"\h\z/(x)=X8-X5+X2-X+1=(X4-丄X)2+-X2-X+\24=(.r4--x)2+-(x--)2+->->0o274V366注：配方法是最基本的方法，尤其在证明/(x)n0时常用。例7.设X”2"・・E€R「且X]+兀2十…+£=1，求证£+仝+・・・+£n丄1+X|1+x21+X力M+lA分析与解答:[(1+xj+(l+兀2)+・••+(】+兀)]・(一■+•••+产—)》1+X|I+x21+X"+)2,也即、.」—...+J]+X”.5+1)(丄二亠主+・・1+兀]1+x2・+心)na】+x=+…+兀)2•因此1+心例8.(201.1“北约”)求/(x)=jx-l|+|2x-l|+•••+!201lx-l|的最小值。•分析与解答：首先设ax<a2f(x)=\x-ax\+\x-a2\+--+\x-a」。则由绝对值的几何意义知，n为奇数时，当x=ana时，/(x)有最小值；n为偶数时，当xw任何值时，/(x)有最小值。回到原题，/(x)^x-l|+|x-^|+|x-||+|x-j|+|x-^|+|x-j|+--H-|x-^Y|+---4-|x-^-j42011个1+2+---2011=2012x201*=2023066个点。设2,111q=1®之严亍4二@❻=亍…叹23血=苛因为沁”。2现在求^1011533和的值。设^1011533=7»f11+2+•••+/>1011533>1+2+…十/-1<1011533。可得21422。且如533叫g二需■•，故X二嵩•时'/(X)的值最小。八侖)八需亠”需+...+IS需+M23x廿I+...+20山需皿2菩14Q例9•已知=且x+y+二=1,求一+—+—.的最小值。xyz•分析与解答：14<)方法(一)利用(-+-+-XX+J+Z),再用基本不等式即可证明。xyz方法(二)设2>(),故有久(x+y+二一1)=0。149代+严>25/z+4x/I+6x/I-/l=12VI-/lo当且仅当丄=Zx,-=^-=Zr同xyz时成立时上述不等式取“=S・旳1旳123即2眾沪忑"忑代入x+y+z=1・,1271-2=36,故-+-+-的聂小值为36。xyz1010例10.(2012“华约”)已知实数^€[-6,10],工兀=50,21、2S・・rl(),当工x：j=ij=i取到最大值时，有多少个-6?»分析与解答：设耳=兀+6设耳=兀+6>则atg[0J6]t且iaioioio=Z<+12Xx>+DT10,360=Yx.2360=Yx.2+960。/•i(»i/-i10于是原问题转化为当£©2取最大值时，有几个0=0。i=l当q中有不少于两个数，且同时不等于0,不等于16时,设为p.qo①p+q>\6时，则16‘十(卩十§一16)‘一(//+q')=2xl6‘一32p—32c/+2pg=2xl6‘+2(g-16)“-32g>2xl6‘+2(g-16)xl6-32g(看作一个关于”的一次函数，g-16<0,单调递减)=0C即162+(“+q-16)2>//+g‘,故不改变其他数字，用16代替八"十q-16代替q，工增大；mi®p+q<16时，则O'+(p+q)，+q')=2pq>0。故用0代替p,p+q代10替s£可增大。/=!1010综上，当工a；取最大值时，至多只有一个耳工0,且匕工16。1201(c)20<^<211201(c)20<^<21(D)22<学丄ajyfk<23而110=16x6+14,故q中应取6个16,1个14,3个0,即有3个-6.五、真題精练1.（2009复旦）若实数X满足：对任意正数a>0,均有x2<l+a,则X的取值范国是（•）(A)(71)<B)[-1,1](C)(-J1+a.yji+a)(D)不能确定2.(2007复旦)设a、b、c为非负实数，且满足方程4如9卄一68x2®“卄+256=0,则a+b+c的最大值和最小值（)o（A）互为倒数（B）其和为13（C）其乘枳为4(D)均不存在3.（2006复旦）下列不等式中正确的是（)120](A)16<》頁<17(B)12(114.（2004交大〉已知x.y.z是非负整数，且x+y+==10,x+2y十3二=3（）,则x+5y+3=的取值范围是x2+\l2ax+52—5.（2009交大）已知不等式组、有唯一解，则5.（2009交大）已知不等式组、有唯一解，则a7x2+^2ax+5<—26.（2003复旦）即冬…心是各不相同的自然数，求证：a4-riY4-...4-•IE丿227⑵。5复旦）”满足何条件，可使涪誇°恒成立？8沁复旦）求证小治8沁复旦）求证小治9.（2000交大）已知正整数列a},a2i---an,对大于1的"，有①+©+…+a”一丰"，p试证：。［心‘…心中至少有一个小于1。【参考答案】1.Bo对X/a>0,有x2<l+a,故F<(1+“)亦，即x*l,从而re[-11]<>2.Co(2血"貝“一勺(2血皿从一64)=0,所以5a+9b+4c=4或36。从而44(a+b+c)W36、9(a+b+c)n4,所以-<a+b+c<99当且仅当c=9、a=b=0时4取最大值.b=©,a=c=0时取最小值。3.Co因为后T-JT=3.Co因为后T-JT=<<VT+x/rTi2皿+1201所以2o=2(ll-l)=2(^/^IT-^A^+>Aii^-^^T?+…+返一/)<£-^<2(VfiS-x/n?+…+屁/)+1二>^-1<x/S§i-l=214.{30}。0=3(x+y+z)-(x+2y+3r)=2x+y>0,故x=y=0,z=10t所以x+5y+3z=30o5.±巧。由条件,卜5.±巧。由条件,卜5+护§"今5+非，所以押舟得:a=±\/3o諾八($+…+($*冷諾八($+…+($*冷+...+_!_・1_一1+(!_厶+.・・+(_L)-i+i—L<2n-1n12n-1nn7.a=2.0<b<2o因为x，+2x+2=(x+l)，+1>0,所以*+2x+2>|x?+ox+b|,即F+2x+2+ox+bJ.x2+2x+2>-(x2+ax+b)。由前一式得a=2且bv2；由后一式得2工+(2+o)x+2+/)>(),A=(c+2)2—4x2x(/>+2)v()•得：b>0。所以a=2,0<b<2o所以原式&11二二1[_所以原式2n4n4nJn-'Qn-]+乔)yjn(n-1)Jti_\G<39•若结论不成立.则对任总212…n有4»1。设qi+勺，则^>0,R勺+2+…+4吵&+1）（0+1）"0+1）=¥,而（勺+1）…（你+1）=1+（人+•••+〃“）+•••21+（勺+•••+方”）=1+彳〉今，孑盾。2016年竞赛与自主招生专题第四讲函数的性质从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为,是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，貝自参考价值。在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%-30%o热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题(值域)、函数的性质(如周期、有界性等)函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、函数的图像及解析式等。而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。一、知识精讲设函数y=f(x)的定义域为Q单调性：(1)传统定义:在区间［gb］上，若a<x}<x2<b.如果.则/(x)在区间［gb］递增;如果.则/⑴在区间⑷切递减；(2)导数.定义：在区间⑷切上，如果/(x)>0,则/(x)在区间⑷b］递增;如果/(xJ7g旳一七比一*2/(x)<0,则/(x)在区间［他对递减；/(xJ7g旳一七比一*2v()u>/⑴在^上为减函数减函数+减函数二减函数

减函数-增函数二减函数减函数+减函数二减函数

减函数-增函数二减函数减函数X减函数二减函数减函数一增函数二减函数增函数+増函数二增函数增函数-减函数二增函数对于取值恒为非负数的函数增函数X增函数二增函数增函数十减函数二増函数(3)若/(x)、(3)若/(x)、g(x)都是增(减)函数,则/(g(E)为増函数;若/(X)、g(x)—个增函数,一个减函数，则/(g(x))为减函数。简称“同增异减”奇偶性：若函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x)(xeD),则/(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称；若函数y=/(.v)满足f(-x)=f(x)(xgD),则/(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称；周期性：在函数/(x)的定义域上恒有f(x+T)=f(x)(7*0的常数)，则/'(x)叫做周期函数，T为周期；T的最小正值叫做/(X)的最小正周期，简称周期函数的性质在自主招生考试中占有相当的比例，函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性、麗期性、有界性等。函数的对称性(分函数图像的自对称及函数图像的互对称)函数y=/(x)满足/(a+x)=f(b-x)时，函数y=f(x)的图像关于直线"畔对称。特别•的，a=b=0^9该函数为偶函数。2证明:在函数y=/(x)上任取一点(和必)，则必=/(斗)，点(首切)关于直线X二畔的对称点为2(a+6-曲切)。f(a+b-xl)=f[a-¥(b-xl)]=f[b-(b-xi)]=f(xi)=y{,故点(a+b-X|j)也在函数y=f(x)的图像上。由于点(x】j)是图像上任意一点，因此，函数的图像关于直线x=学对称。2函数y=/(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c时，函数y=f(x)的图像关于点"畔自对称。特别地，当d"之时，函数为奇函数。I22)证明：在函数y-f(x)上任取一点(£』),则”=/(兀)•点(斗』|)关于点(a+b-X|,c-x)。/(a+b-X|)=c-/[b-(b-X|)]=c-/(X|)=c-y|.即点(a+b-x"-”)在y=f(x)的图像上。由于点(斗』)是函数y=f(x)上任意一点，因此，函数y=f(x)关于点(字,对称。函数尹=/("+x)的图像与y=f(b-x)的图像关于直线x=¥对称。证明：在函数y=f(a+x)±任取一点(X*),则H=/(a+xJ,点(旺,开)关于直线X~~Y~对称的点为(方-4-X]』)。由于f[(b-(b-a-xi)]=f(b-b+a+xi)=f(a+xi)=y],故点(b-a-xiyy^在函数y=/(0-x)上。由于点(X|,yj是y=f(a+x)±任意一点,因此y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线"竽对称。函数的周期性■一般地.对于函数/(X).如果存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的每—个值时，都有/(x+C=/(x),那么函数/(X)就叫做周期函数。非零常数7*叫做这个函数的周期。对于非零常数/,若函数y=f(x)满足f(x+A)=-f(x),则函数y=f(x)必有一个周期为2Jo证明；/(x+2//)=/H+(x+/f)]=-/(.丫+/1)=-[一/(x)]=/(x),所以函数y=/(x)的一个周期为2/1o•对于非零常数函数『=/仕)满足/(x+/)二则函数y=f(X)的一个/(X)周期为2AO•对于非零常数昇，函数y=f(x)满足f(x)=-一,则函数y=f(x)的一个周期为2Jo函数周期性和对称性之间的联系1.设/(X)是定义在/?上的函数，其图像关于直线X=d和x=对称，则/(X)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。证明：/(x)•关于直线x=a和x=b对称，故f(x)=f(2a-x),f(x)=f{2h-x\xeR,从而/(2f/-x)=f(2b-x),xeRo将上式的-x以x代换，得f(2a+x)^f(2b+x\xeR。所以f[x+2(b-a)]=f[(x-2a)+2b]=f[(x-2a)+2a]=/(.x),xeR即/(x)是人上的周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。设/(x)是定乂在R上的函数，其图像关于点A/(o,0)中心•对称，且其图像关于直线x=b(b^a)对称，则函数/(X)是周期函数，且4(b-a)是它的一个周期。证明：/(x)关于点M(a.O)对称，故/(2a-x)=-f(x),xwR,/(x)关于直线x=b对称，故f(x)=f(2b-x\xeR,从而有f(2b-x)=-f(2a-x),xeRa将上式中的一x以x代换，得/(2b+x)=-/(2a+x),xwR«所以/[x+4(b-a)]=f[2b+(x+2b-4a)]=-f[2a+(x+2b-4a)]=-f[2b+(x-2a)]=/[2a+(x-2a)]=/(.v),jeR,即/(x)是上的周期函数，且4(b-a)是它的一个周期。设/(x)是定义在R上的函数，其图像关于点M(a,儿)和N(6,几)(“b)对称,则/(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。证明:f(x)关于点M(a,y0)和N(b,y0)(ahb)对称，故f(2a-x)=2y0-f(x),/(lb-x)=2y0-/(x),xgR,从而有f(2a-x)=f(2b-x),xeRQ将上式中的-x由x替换，得f(2a+x)=f(2b+x\xeR所以/[x+2(h-a)]=f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x-2a)]=/(x),xgR,即/(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期。抽象函数问题的解法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如给出函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔接点。由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此研究起来比较困难。但由于此类试题既能考查函数的概念和性质.又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐。那么，怎样求解抽象函数问题呢？我们可以利用函数性质法、特殊化方法等多种方法从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题。1•函数性质法函数的侍征是通过其性质（如奇偶性.单调性.周期性等）反映出来的。抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活地进行等价转化，才能将抽象函数问题化难为易。常用的方法有：①利用奇偶性整体思考;②利用单调性等价转化；③利用周围性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点列方程。2・特殊化方法在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将.丫换成7或将X换成其他字母等；在求函数值时，可用侍殊值代入研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题.填空题，或通过具体模型函数为解答综合题提供思路和方法。有界函数：定义1:设/（X）为定义在D上的函数，若存在常数M、L,使得对每一个有/（x）<A/（/（x）>L）侧称/（x）为D上的有上（下）界函数，MQ）称为/（x）为定义在Q上的.上（下）界。根据定义，/（.丫）在Q上的有.上（下）界，意味着值域是一个有上下界的数集。又若M（厶）为/（X）在D上的上（下）界，则任何大于（小于,）M（JL）的数也是/（切在£>上的上（下）界。定义2：设/（X）为定义在。上的函数，若存在正数使得对每一个xeD都有\f（x）\<M,则称/（x）为D上的有界函数。根据定义，/（x）在。上的有界，意味着值域是一有界集"又按定义不难验证：/（x）在Q上的有界的充要条件是/（x）在Q上的既有上界又有下界。|/（x）|<A/的几何意义是：若/（X）在D上的有界函数，则/（x）的图象完全落在直线y=M与y=-M之间。

二、竞赛题目精练典例精讲例1.(2008复旦)设“>0,工1,函数f(x)=dX~a\g(x)=(6r71)X，则()2a-1(A)/(x)和g(*)均为奇函数(B)/(x)和g(x)均为偶函数(C)/(x)是偶函数，但g(x)是奇函数(1))/(x)是奇函数，但g(x)是偶函数A答案：D»分析与解答：/(兀)的定义域(一卩炖)，且/(-x)=a丁”=_/(x):g(x)的定义域(-oo,0)U(0,+oo)•且心“字罕L号乎弋⑴。从而如、蚱)分别是奇函数、偶函数。例2.(2009复旦)设例2.(2009复旦)设a>0.(心1函数f(x)=log在(1,+乂)上鱼调递减,则f(x)()在(-叫-1)上单调递减，在(-U)上单调递增在(-co,-l)上单调递增,在(-1,1)上单调递减在(-8,-1)上单调递増，在(-1,1)上单调递増在上单调递减,在(-1,1)上单调递减•答案A»分析与解答：XW(l,+8),7^令g(x)=l,它在(1,+8)上卑调递增・。1+XX+\X+\X+\而/(•V)=iog<rM在仏收)上单调递减•故由复合函数单调性有关知识得1+X0<a<lo当XW(-8,-l)时，_=^—；,它在(-8,-1)上单调递增，从而/(X)在|l+x|x+\(-8,-1)上单调递減；XG(—1,1)时，|~~I=-~~»它在(-1,1)上单调递减，从而/(X)在(-1,1)±单调递增。例3.(2010复旦)参数方程zW—smf),(八0)所表示的•函数尸/(X)是y=°(1—cos/),()o(A)图像关于原点对称(B)图像关于直线X5对称(C)周期为加兀的周期函数(【))周期为2龙的周期函数A分析与解答：经过尝试，此参数方程不能转化为普通方程。故本题只能用逐项排除的方法。对于选项A,f用-/代换，x变为•-x,但此时y的值并不改变，故选项八不正确；对于选项B,设A/(a(/0-sin/0),a(I-cosr0))是图像上的一点，M关于直线X=7T的对称点M\2tt-a(tQ-sinr0),a{1-cos/0)),显然不一定恒在y=f(x)的图像上,故选项B不正确；对于选项C,设A/(a(/0-sinr0),a(l-cos/0))是y=/(x)图象上的一点，由于2a冗+a(tQ-sin/0)=a^ln+f0-sin/0)=a[(2^+Zo)一sin(2^+/0)l而a(\-cosz0)=6/(1-cos(2^+z0)]即％用2/r+fo代替后的点Mf(a(2^+r0-sin(2^+Z0)),a(l-cos(2^+/0)))也在y=/(x)的图像上，且这里g是任意实数，故选项C正确。例4.(2001交大)已知函数/(x)=x2+2x+2,X6[M+1]的最小值是g(f),试写出g(/)的解析表达式。»分析与解答：f(x)=x2+2x+2=(x+})2+1,其对称轴为”=一1。

当宀-1时，/(X)在2+1］上单调递增，从而g(/)=/(z)=r2+2/+2；当f+lS-l时，即"-2时，/(X)在［M+1］上单调递减，从而g(i)=/(/+1)=(/+1)2+2(z+1)+2=/2+4/+5；当_2v/v_l时，g(t)=/(-1)=(-1)2+2x(-1)+2=1。f°+2/十2,11[―1,+e),故g(f)—1,故g(f)—厂+4/+5,tg(*-oo,—2].例5.(2012“卓越联盟”)函数/(对=竺也@>0)。例5.(1)求(1)求/(x)的单调区间;(2)a>O.Xj+x2>0,x2+x3>0,xt+xy>O,|xJ>-i(/(2)求证；f(Xy)+f(X2)+/(,Vj)>0(3)如果/(x)有极小值^=/(1)=2,试证明|厂(x)H/(x")22"-2。»分析与解答：(1)皿治V)。么=0时，f(x)=--丄，由于b>0,故兀在(y>,0)和(0,+oo)上单调递减;bxa>0时，由耐克函数的性质知：a>0时，由耐克函数的性质知：X在0,［o,士］上单调递减；X在单调递增；X在-8,7=•上单调递增；X在a<0时，x在(一8,0)和(0,+8)上单调递减。(2)显然中至多一个是负的・。若X|,x2,x3均为正数，则a;>J=(/=1,2,3).由⑴知/(.\)>

/Cyj)+/(x2)+/（旺）需>7^:bb若xpx2,x3中有一个负的'不妨设兀<0,则由x2+x3>0有x,>-x3>0,且£>-Xj>扌=,从而/(x2)>/(一兀)>f(+}再注意到/(X)为奇函数，所以/（勺）+/（兀）>0。而/（若）>/（±）=彳需，所以/(K)+/(E)+/(xJ>?需。D综上.f(xx)+f(x2)+f(x3)>7成立。0(3)由于/'(x)的极小值为/(l)=2o故-^=1,且^-=2=>a=l,b=l。所以/(x)=^-=x十丄。TIE：/(x)=^-=x十丄。TIE：XX/1X*X+—-lr+丄kX丿n2"—2。令g(x)二卜£）］-卜吕’则g⑴为偶函数’故只考虑-v>0的情况。x>0x+-X)1Y令g(x)二卜£）］-卜吕’则g⑴为偶函数’故只考虑-v>0的情况。x>0x+-X)1Yx+—_

X)+・・•+=cy<^c；.x/r-1=C：x“2+C；x"4+-.-+C；'1・xT_打•vKJ注意到：C：x心+C^lx-(^2)=cy-2+cy{n-1}>2C\:cy+C：J=Cy-4+C；r<^)n2C：；C：*g)+c\xn'2yg'+C：~lx^2>2C；-1；故2(C：x"+C；x”~4+・・・+C；7x”F)r2(C：+C：+•••+(?,「)即C；x"+c；x"4+…+C；y2nc：+C：+…+C；“=21-2。例6・(2009年上海高考)已知函数y=f(x)的反函数。定义：若对给定的实数a(dHO),函数y=/(x+a)与，=f~l(x+a)互为反函数，则称y=/(x)满足"a和性.质”;若函数y=f(ar)与丁=:厂(ar)互为反函数,则称y=f(x)满足“a积性质”。判断函数g(x)=x2+\(x>0)是否满足“1和性质"，并说明理由；.求所有满足“2和性质”的一次函数；设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0,满足“a积性质”。求y=/(x)的表达式。»分析与解答：函数g(X)=X：+l(X>0)的反函数是g''(X)=yJx-l(X>l),g_,(x+l)=>/x(.v>0),而g(x4-1)=(.V+l)2+l(x>-1),其反函数为y=\Jx-\-l(x>1)故函数g(x)=x2+l(x>0)不满足“1和性质"设函数f(x)=kx±b(xER)满足“2和性质”，“0。厂(x)=芋(xeR),/-'(x+2)=^|^芝一h—2&而f(x+2)=k(x+2)+b(xeR)，得反函数——戸二kk+2-bx—b—2k由“2和性质”定义可知对(xeR)恒成立。/.k=-1,6gR,即所求一次函数/(x)=-x+/>(/>€R).设a>O,xo>0,且点任0，儿)在尹=/(ax)图像上，则(儿，x°)在函数y=f~'(ax)图像上，由叹丁、"故可得ay0=f(x0)=af(ax{t),If⑷5)=兀令at0=x,则a二兰，则/(x0)=—/(x),即/⑴二也3TOC\o"1-5"\h\z心兀x综上所述，/(.r)=-(A^O),此时/(av)=—,其反函数是y=—,而厂(ax)-—。故y=f(ax)Ljy=/'(av)axaxax互为反函数。例7.(2004复旦)若存在使对任意xeD(D为函数/(对的定义域)，都有|f(x)|<M,则称函数/(x)有界。问函数/(x)=-sin丄在xw(0丄)上是否有xx2界？A分析与解答：令—=/•则/g(2,+oo)>—sin—=/sinf©若令t=2k/r+—•keZ^.k>\9则当xxx2\i**At+s时，sin/=sin2k?r+—=1,/T+oo,故/(x)=—sin—在xw(0,—)上无I2丿xx2界。注：本题中的/有无穷多个赋值方式，如令/=2炽+彳,2炽+彳,2炽+升..，事实上，只要使sin/#0均可。例8・定义在D上的函数/(x),如果满足：对任意xeD.存在常数M>0,都有|/(x)|wM成立，则称/(X)是Q上的有界函数，其中M称为函数/(x)的上界.如果对于函数/(*)的所有上界中有一个最小的上界，就称其为函数/(兀)的上确界.已知函数心+4$+份,g(小需.<1)当a=l时，求函数/(x)在(-90)上的值域，并判断函数/(X)在(-oo,0)±是否为有界函数，请说明理由；若函数/(x)在［0,+8)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；若/«>0,求函数g(x)在［0,