高二（上学期）期末考试（文科）数学试卷

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页高二（上学期）期末考试（文科）数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．下列说法正确的是（

）A．，B．，C．设，则“”是“”的充分不必要条件D．、是非零实数，“”是“”的充要条件4．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．5．从2名男同学和3名女同学中任选3人参加社区服务，则选中的3人中恰有2名女同学的概率为（

）A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.26．在中，若.且，则为（

）A．8 B．10 C．8或10 D．67．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．8．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．10．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为A． B． C． D．11．已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（

）A． B． C． D．12．已知双曲线分别为的左，右焦点，分别为的左，右顶点，且.点在双曲线右支上，若的最大值为，则的焦距的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题13．抛物线的准线方程为，则______．14．曲线在点处的切线的斜率为，则________.15．已知不等式组所表示的平面区域被直线y=kx分成面积相等的两部分，则k的值为________.16．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为___________.三、解答题17．在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．18．已知数列的前n项和为，且．（1）求出数列的通项公式；（2）设数列满足，若对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．19．如图，四棱锥中，，，，，点是线段的中点.(1)求证：；(2)若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.20．已知抛物线，O是坐标原点，F是C的焦点，M是C上一点，，．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点在C上，过Q作两条互相垂直的直线，分别交C于A，B两点（异于Q点）．证明：直线恒过定点．21．如图所示，圆与圆的半径都是1，，过动点分别作圆、圆的切线（为切点），使得，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．22．已知函数，.(1)求函数的单调区间和最值；(2)求证：当时；当时，；(3)若存在，使得，证明.参考答案：1．D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D2．D【分析】先由求得，再去求即可.【详解】，故选：D3．C【分析】举反例，可判断A，B，D不正确；解出不等式，有或，可判断C【详解】当时，，A项错误；当时，，所以B项错误；

当时，，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，C项正确；当时有，但是；当时有，但是因此“”是“”的既不充分也不必要条件，D项错误.故选：C4．D【分析】求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在上有交点，即求.【详解】函数的定义域为，，令，若在上不单调，则函数与x轴在上有交点，又，则，解得，故在上不单调的一个充分不必要条件是．故选：D．5．A【分析】用列举法结合古典概型的概率公式求解即可【详解】设2名男生为，3名女生为，则任选3人的种数为，，共10种，其中恰有2名女生的有，，共6种，故恰有一名女同学的概率.故选：A．6．C【分析】根据余弦定理列出关于BC的方程，解得答案.【详解】由余弦定理可得：,即,解得或10，经验证，或10符合题意，故答案为：C7．D【分析】构造函数，利用导数得到其单调性即可解出．【详解】构造函数，则，当时，；当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减．∵，，∴，即．故选：D．8．D【分析】根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.【详解】因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，故，又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，故选：D9．C【分析】由该几何体是圆柱挖去两个全等的圆锥，可求得几何体的体积.【详解】解：该几何体是圆柱挖去两个全等的圆锥，故体积.故选：C.10．D【详解】试题分析：由题得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的体积为，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为，故选D．考点：组合几何体的面积、体积问题11．B【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减，且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以.故选：B.12．D【解析】方法1：根据双曲线的定义，把式子化简成关于的代数式，利用基本不等式可以求出的值，再利用，最后求出焦距的取值范围；方法2：设，利用配方法，结合的最大值为，可以求出的值，再利用，最后求出焦距的取值范围；【详解】方法1：设双曲线的焦距为，因为点在双曲线右支上，所以，即，所以有当且仅当，即时取等号，所以，解得.因为，所以，所以，即双曲线的焦距的取值范围为.故选：D方法2：因为，所以，所以.设，则，所以，所以，所以双曲线的焦距的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查双曲线的定义，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了数学运算能力.13．-2【分析】根据抛物线的准线方程公式列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值.【详解】∵抛物线的准线方程为，∴，解得：，故答案为：.【点睛】此题考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的准线方程公式是解本题的关键，属于基础题.14．-4【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】因为，所以，当时，，因为曲线在点处的切线的斜率为，所以，解得，故答案为：-415．2【分析】由不等式组，画出可行域，根据可行域是一个三角形，直线过了一个顶点，且平分区域，则必过对应边的中点求解.【详解】由不等式组，画出可行域如图所示阴影部分：解得A(4，1)，B(0，7)，AB中点C（2，4），因为直线过了可行点（0,0），且平分区域OAB，则必过C点，所以k=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查简单线性规划问题，还考查了数形结合的思想与方法，属于基础题.16．【分析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，又点，所以，直线的方程为：，由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程:.故答案为：.17．（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.18．（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由已知，令可得，又，知数列是等比数列，写出通项公式；（2）已知可求得，当时，，所以数列是递减数列，此时，当时，，又，所以数列中最大的项是，从而即可．试题解析：（1）由已知，令可得，又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以．（2）有已知可求得，所以，则．考点：1、数列的递推关系；2、等比数列的通项；3、作差比较大小；4、恒成立问题．19．(1)证明见解析(2)【分析】小问1：首先由空间中的平行与垂直的性质与判定定理，证明垂直关系，然后直接建立空间直角坐标系，利用向量的数量积即可判断出；小问2：通过平面与平面所成锐二面角的余弦值为，可以求出S点的坐标，然后带入体积公式就能得到答案.(1)取、、的中点、、，连接、、.在中，、分别为、的中点，.在中，、分别为、的中点，.，.又，.在中，，为的中点，，且，平面SOE，.在中，，为的中点，，且，平面ABCD如图，以为坐标原点，延长，以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系则，，，，设，∴，，∵，∴(2)∵为的中点，∴，，设平面的一个法向量则有取平面的一个法向量取平面的一个法向量，则∴，这时，.20．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由及抛物线的性质可得的横坐标，再由．可得的纵坐标，将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程；（2）由题意可得直线的斜率不为0，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积的表达式，由数量积为0可得参数的关系，代入直线的方程可得直线恒过定点．（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以抛物线的方程为：．（2）解:由题意可得，直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，由，得，从而，则．所以，，∵，∴，故，整理得．即，从而或，即或．若，则，过定点，与Q点重合，不符合；若，则，过定点．综上，直线过异于Q点的定点．21．（或）.【分析】建立直角坐标系，设P点坐标，根据几何关系列方程，化简即可得到结果.【详解】以的中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设点.由已知，得.因为两圆的半径均为1，所以，则，即，所以点的轨迹方程为（或）.【点睛】本题主要考查了与圆相关的动点轨迹方程，考查学生计算能力和转化能力，熟练运用数形结合的思想是本题的关键.22．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为，无最小值(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得答案；（2）设，求导，根据导数的正负，判断的单调性，结合，即可证明结论；（3）作出函数，的大致图象，数形结合，利用函数的图象，根据函数值判断根的情况，从而证明结论.(1)∵，∴当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为.∴函数的最大值为，无最小值.(