大学物理第14章振动

振动的形式是多种多样的，（简）谐振（动）是最简单、最基本的振动。弹簧振子就是最简单的谐振。（物理量在一个定值附近作周期性变化都为振动。机械振动：物体在平衡位置处作来回往复的运动）。如钟摆，活塞，声带的振动，耳膜的振动）。§14.1简谐振动的描述一、简谐振动的描述简谐振动物体对于平衡位置的位移随时间按余弦函数变化，这种振动称为简谐振动，简称谐振。（如：无阻尼的弹簧振子。）谐振方程振幅表示质点可能离开原点的最大距离，给出质点运动的范围。与能量E相关，也与初始条件相关。相位相位是描述质点振动状态的物理量。（相位确定，位移，速度和加速度，合外力等所有物理量都确定)。1.谐振方程初相即t=0时的相位，是简谐振动的初始状态(由初始条件决定）。全振动相位每变化，即运动完成完整的一次循环并回到初始状态，称为全振动。周期进行一次全振动所耗费的时间称为一个周期。频率在单位时间内完成全振动的次数称为振动的频率。显然：角频率角频率描述相位变化的速率，是描述简谐振动变化快慢的物理量。（相位的变化—相变可以通过角频率来表示。）称为描述简谐振动的三个特征量谐振曲线用振动曲线的方法表示简谐振动中位移与时间的函数关系，称为谐振曲线。2.谐振曲线从平衡位置引大小等于振幅的矢量。它以角频率作逆时针匀速转动，某一时刻与振动方向(x轴)间的夹角即为相位。3.旋转矢量(振幅矢量)旋转矢量旋转矢量矢端所描出的轨迹是半径为振幅的圆，称为参考圆。参考圆显然，矢端描出的运动学方程为：什么相位时，速度为零，什么相位时，速度最大。（旋转矢量与简谐振动相对应）例1、一质点在x轴上作简谐振动，振幅A，周期T，(1)当t=0时，质点对平衡位置偏移A/2，质点向x轴正向运动，求振动初相；(2)质点从x=0处运动到x=A/2处最少需要多少时间。解：由旋转矢量图（1）（2）例2、一质点作简谐振动的振动曲线及部分数据如图，求振动方程。解：先画出对应的旋转矢量图122二、同频率的简谐振动的相位差

相位概念用于比较两个同频率的简谐振动的步调。相位差振动的相位之差称为相位差，简称相差。同相相位差为零表明两振动同时达到自己的最大最小值，即步调始终一致，称为同相。对于同频率两个简谐振动，相位差为：显然，同频率简谐振动的相位差总等于初相差，与时间无关。反相相位差为π表明两振动中的一个到达自己的最大值，另一个将同时到达自己的最小值，即步调始终相反，称为反相。反相的两个振动超前与落后既非同相，亦非反相的两个振动称为不同相。若：称振动x2比x1超前称振动x2比x1落后振动x2比x1超前振动x2比x1落后三、简谐振动的速度与加速度振动速度振动加速度即：简谐振动的加速度和位移的大小成正比而方向相反。显然：讨论（1）简谐振动的位移、速度、加速度都是简谐模式，且角频率相同；（2）简谐振动的位移、速度、加速度的振幅分别为A、ωA、ω2A；（3）位移、速度、加速度的振动依此超前π/2。§14.2简谐振动的动力学一、简谐振动的微分方程1.谐振微分方程

从谐振位移与加速度的关系出发，可得到谐振微分方程。这是个二阶齐次微分方程，其通解就是：结论1任何满足谐振微分方程的物理量就是一个谐振量，它的运动是简谐振动。

2频率决定于方程，振幅和初相决定于初始条件。2.谐振的动力学特征

谐振运动的加速度来源于运动质点所受到的合力作用。对于一维谐振，根据牛顿第二定律：回复力作谐振运动的质点所受的合力的大小与对于平衡位置的位移成正比而与方向相反，称为正比回复力，简称回复力。(1)回复力谐振质点受到的合力是回复力，弹簧系统的弹力是典型的回复力。

若质点受到的合力满足回复力的定义，则：(2)合力是回复力的运动是谐振令：这正是谐振微分方程，其解就是：固有频率角频率是由振动系统本身的力学性质决定的，称为固有频率。若质点的合力是正比回复力，则其运动是谐振，这是谐振的动力学定义。固有周期周期也是由振动系统本身的力学性质决定的，称为固有周期。

若刚体受到的合力矩是回复力矩，则：(3)合力矩是回复力矩的运动是谐振令：这也是谐振微分方程，其解仍具有谐振模式：其中，Θ是谐振的振幅，即最大角位移。固有角频率、固有周期分别为：(4)谐振实例弹簧振子质点受合力为：则：在平衡位置：又：即：这是谐振微分方程，其解是：固有角频率：固有周期：（正比回复力）单摆对转心o,质点受合力矩为：（小角度摆动）谐振微分方程的解为：固有角频率：固有周期：3.振幅和初相的确定(1)由初始运动状态量（位移、速度、加速度）来确定由：初始条件得：两式联立得：（振幅与初始位置、速度有关）(2)由旋转矢量来确定初相实际解题过程中，先根据初始条件确定振幅A再根据初始位置x0和速度的方向确定初相例3、一轻质量弹簧下悬挂m0=100克的砝码时，弹簧伸长8cm，现在此弹簧下悬挂m=250克的物体，构成振动系统，将物体从平衡位置向下拉离4cm，并给以向上的初始速度21cm/s，以此时作为计时起点(t=0)，若选向下为x轴正向，求质点的振动方程。解：由先求振动固有频率再求振幅或由能量守恒画出旋转矢量图，求初相最后写出振动方程初始时刻速度向上小于零4.谐振的能量

对于无阻尼情况，谐振弹簧的势能可由下式计算：(1)谐振的势能

任何一个做简谐振动的系统都受到回复力（力矩），继而都相当于一个弹簧振子，因此可以用弹簧振子为例来讨论谐振的能量。

对于无阻尼情况，谐振弹簧的动能可由下式计算：(2)谐振的动能

对于无阻尼情况，谐振弹簧的机械能即：(3)谐振的机械能无阻尼谐振的机械能守恒。[1]无阻尼谐振的势能、动能也是谐振模式。[2]无阻尼谐振的势能、动能的谐振频率和初相比位移谐振大一倍。[3]无阻尼谐振的势能、动能的振幅是。例1、底面积为S的长方形木块，浮于水面，水面下a，用手按下x后释放，证明木块运动为谐振动，其周期为：思考题证明：平衡时在水面下任意位置x处，合力显然，合力为回复力，运动为谐振。例2、假设沿地球直径打一孔，物体从孔中落下。证明：物体作谐振动。证明：物体受万有引力与内层质量有关显然，合力为回复力，运动为谐振。例3、两个弹簧构成的弹簧系统，劲度系数分别为k1、k2，求振动频率。解：m位移x,两弹簧伸长各为x1、x2，因为是轻质弹簧，则即：显然，合力为回复力，运动为谐振，谐振频率为：（即两个弹簧串联的劲度系数）例4、一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点(t=0)，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm。求:(1)质点的振动方程；(2)质点在A点处的速率。解：由旋转矢量图（1）t=0时,t=2s时,由上两式可解得：（2）

谐振是振动或周期运动中的一种，许多实际的周期运动并非谐振。我们熟知的各种乐器的振动大多不属于谐振。例如，小提琴的振动有如图示的锯齿形。

这种情况似乎要求我们把振动按其形式分为多种类型来建立理论。

其实不然，因为各种周期运动都由简谐振动组成。容易证明，任一周期为T的振动可展开为Fourier余弦（正弦）级数：§14.5简谐振动的合成式中，，系数A1、A2决定于F(t)的具体形式。

可见，任一周期为T的振动可以看成是周期为T、T/2、T/3的一系列谐振的合成。

所谓音色，就决定于各个谐振的振幅之比，声音是否和谐也取决于这些比例。小提琴的一系列谐振的振幅之比具有非常简单而有规律的比例1/1、1/2、1/3

，这是小提琴音色优美动听的物理原因。一、同方向、同频率的谐振合成

对于同方向、同频率的两个谐振：总位移为：是简谐振动吗?令：则有：合运动的确是简谐振动，且频率不变!其中：1.代数方法2.旋转矢量法

由于两分振动有相同的频率，因此合振动的旋转矢量A仍以相同的角速度旋转，初始时刻与X轴的夹角为21。旋转矢量A的X轴分量——即合振动方程为：可见，合振动是同频率、同方向的谐振动。①当时,

合振动为二分振动之和，称这样的二分振动同相(步调一致)。讨论②当时,

合振动为二分振动之差，称这样的二分振动反相(步调相反)。若例：两同方向、同频率谐振动合成，求：合成谐振动方程。解：合成后不变，直接代入公式：合振动方程例：两同方向、同频率谐振动合成，其合振幅A=20cm，与第一个简谐振动相位差，若第一个简谐振动振幅为cm，求解：画出振动矢量合成图，

这种振动的合成一般比较复杂，这里只讨论两谐振动的频率1、2较大；两谐振动的频率相差很小。

振动合成后，振幅出现时而加强，时而减弱的有规律地交替变化的现象——拍现象。

由于二分振动频率不同，因此不能由旋转矢量确定合振动。二、同方向、异频率的谐振合成设：合振动：随t变化很缓慢随t变化较快合振动为变振幅的同频率振动。振幅：振幅的频率：拍振幅变化的周期性导致振动的忽强忽弱，称为节拍，简称拍。合振幅变化频率------“拍频”。讨论拍频单位时间内振动加强或减弱的次数称为拍频。显然：

Lissajouplot（质点运动轨迹）

同频率相互垂直的简谐振动合成

Lissajouplot（质点运动轨迹）

不同频率相互垂直的简谐振动合成§14.3阻尼振动一、无阻尼振动二、阻尼振动没有考虑阻力作用的谐振，称为无阻尼振动，也称为自由振动。无阻尼振动无阻尼振动没有机械能的损耗，能量只在势能、动能之间转化。

实际振动过程总存在着阻力，在流体中的阻力称为粘滞力。当物体低速运动时，阻力当物体高速运动时，阻力弹簧、单摆振动过程，受到的阻力与速度正比反向。子弹运动、卫星发射过程，受到的阻力与速度平方正比反向。1.阻尼振动微分方程（低速）

对于一维低速情况：阻尼系数反应了相对运动系统的内在属性，其大小由物体形状、大小、表面状况以及介质的性质决定。阻尼系数在回复力与阻力的共同作用下，由牛顿第二定律：即：其中：分别称为固有角频率与阻尼因子。

若阻尼作用较小，上述微分方程的解为：2.欠阻尼振动即：这是类似于谐振过程的振动方程，称为欠阻尼振动，其振动曲线如右图。振幅项随时间衰减。振动周期3.临界阻尼运动

若阻尼作用大至临界阻尼，上述微分方程的解为：即：这是按照指数快速衰减的方程，称为临界阻尼运动，其曲线如右图所示。这个过程并非振动过程，是非周期运动。常用临界阻尼的特性来制作能快速恢复平衡位置的仪表。4.过阻尼运动

若阻尼作用超过临界阻尼，上述微分方程的解为：即：两项都按照指数衰减，此方程代表的运动称为过阻尼运动，其曲线如右图所示。这个过程也并非振动过程，是非周期运动。过阻尼运动回到平衡位置的时间比临界阻尼情况要长。欠阻尼过阻尼临界阻尼三种阻尼运动图象的比较§14.4受迫振动共振一、受迫振动施加给振动系统的周期性外力，称为驱动力。驱动力

阻力的存在会消耗系统的能量，使得振动最终停止下来。要能在阻力存在的情况下获得稳定的振动，必须给系统补充必要的能量。通常采用的做法是施加周期性的外力。在周期性外力驱动下的振动，称为受迫振动。受迫振动1.受迫振动微分方程

若驱动力为简谐力：在回复力、阻力、驱动力共同存在的情况下，由牛顿第二定律：即：其中：2.受迫振动运动方程

上述微分方程的解为：第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。第二项为驱动力产生的周期振动。当第一项衰减为0后，只作受迫振动，振动频率