多元非线性回归

§3.5回归模型的其他函数形式

一、模型的类型与变换二、非线性回归实例

前面我们学习的线性回归模型，解释变量和被解释变量之间都呈现线性关系，但社会经济现象是极其复杂的，有时解释变量和被解释变量之间的依存关系不一定是线性的，而可能存在某种非线性关系。

如著名的恩格尔曲线(Englecurves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillipscuves）表现为双曲线形式等。

这时，就需要选择适当类型的曲线模型拟合这种关系，这就是非线性回归模型或曲线回归模型。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。

一、模型的类型与变换1、直接置换法

这类模型通过简单的变量换元可直接化为线性回归模型。由于这类模型的被解释变量没有变形，所以可直接采用OLS估计回归系数并进行检验和预测。

例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线

s=a+br+cr2+μ

，c<0

s：税收；r：税率，

设X1=r，X2=r2，则原方程变换为

s=a+bX1+cX2+μ

，c<0.（1）多项式模型设原方程变换为

例如，Y

：儿童死亡率；X：人均GDP。（2）双曲线模型

设原方程变换为

用于测量许多经济变量的增长率，故又称增长模型。

设

则原方程变换为（3）对数模型半对数模型

双对数模型

双对数模型由于弹性为常数β1

，故称为不变弹性模型，应用非常广泛。2、间接置换法

这类模型经常通过对数代换间接地化为线性回归模型。由于这类模型在对数代换过程中改变了因变量的形态，使得变形后模型的OLS估计失去了原模型的残差平方和最小的意义，从而估计不到原模型的最佳回归系数，可能造成回归模型与原数据之间的较大偏差。（1）指数函数模型两边取对数，

例如，Cobb-Dauglas生产函数模型

Q=AKLeμ,Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动

方程两边取对数：

lnQ=lnA+lnK+lnL+μ.（2）幂函数模型两边取对数，3、复杂函数模型与级数展开法

有些模型非但不是线性的，而且也无法采取变量替换的方法化为线性形式，如

对这类模型的参数估计，一般采用高斯-牛顿迭代法。即先将非线性模型在初始值处展开成泰勒级数，略去高次项，用低次项近似替代，然后用OLS法估计参数。重复上述两个步骤，得到参数估计值的收敛点列，将收敛点列的极限作为最后估计的结果。方程两边取对数后，得到：Q:产出量,K:资本,L:劳动,:替代参数,:分配参数。

例如，常替代弹性CES生产函数模型

设其在ρ=0处展开，有于是

利用OLS估计参数δ1，ρ1，再以δ1，ρ1为初始值，待入迭代方程，得到δ2，ρ2，如此循环，得到两组参数估计的点列{δi}，{ρi}。若点列收敛，则停止，极限值即为估计值；若发散，则重选初始值。

二、非线性回归实例

例3.5.1

建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。

根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1:食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。

零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变。(*)(**)

为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。

根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:

首先,确定具体的函数形式：对数变换:考虑到零阶齐次性时，(***)(****)(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P1：居民食品消费价格缩减指数（1990=100中国城镇居民人均食品消费特征：消费行为在1981~1995年间表现出较强的一致性1995年之后呈现出另外一种变动特征。建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:(9.03)(25.35)(-2.28)