2019-2020新沪教版高一数学第一学期教学案20-期末复习-学生版

期末复习知识梳理一、会集与命题1区分会集中元素的形式:{x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}函数的定义域函数的值域函数图象上的点集2?研究会集一定注领悟集元素的特点，即会集元素的三性：确立性、互异性、无序性.3?会集的性质：①任何一个会集P都是它自己的子集，记为P?②空集是任何会集P的子集，记为09P?

??③空集是任何非空会集P的真子集，记为..uP?注意：若条件为A—B，在议论的时候不要忘记了A=的状况.会集的运算：④ABC二ABC、ABC二ABC;痧ADB=(uA)U(?uB)、痧AUB=(uA)Pl(?uB)?⑤AriB=A=AUB^BUA5B=SUB-uAuAPI?uB=二?⑥关于含有n个元素的有限会集M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数挨次2n、2n-1、2n_1、2n_2?为：4?命题是表达判断的语句?判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题.①命题的四种形式及其内在联系：原命题：若是：?，那么1;抗命题：若是［，那么〉；否命题：若是：?，那么〒；逆否命题：若是〒，那么1;②等价命题：关于甲、乙两个命题，若是从命题甲能够推出命题乙，同时从命题乙也能够推出命题甲，既“甲二乙”那么这样的两个命题叫做等价命题.③互为逆否命题必然是等价命题，但等价命题不必然是互为逆否命题.④当某个命题直接考虑有困难时，可经过它的逆否命题来考虑.?常有结论的否定形式：原结论是都是定p或qp且q大于小于否定形式不是不都是不必然p且qp或q不大于不小于原结论最少一个至多一个最少n个至多n个对全部x都成对任何x不成立立否定形式一个也最少两个至多nT个最少n+1存在某x不成存在某x成个没有立立16?充要条件:条件结论推导关系判断结果a=Pa是B的充分条件aPP=a□是B的必需条件anB且B二aa是B的充要条件在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：第一一定区分谁是条件、谁是结论，尔后由推导关系判断结果.、不等式1基天性质：（注意：不等式的运算重申加法运算与乘法运算）ab且bc=ac；i.ab且cd=acbd；②推论：i.a.b：=a_c?b±c；acbcc0③ab=ac二be=0c=0;ac::bcc::0④推论：i.ab0,cd0=acbd;11ii.a0b—0abbbm⑤ab0,m0=aa+m[AO[Aba-b*=0二a*=b；严0严b

ab且a、b同号=?1：：：1；abiii.a?b?0,用>0=a-Jb：,「a>普b；解不等式：（解集一定写成会集或区间的形式）①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：i.分解因式=找到零点；i.画数轴=标根=画波涛线；i.依据不等号，确立解集；注意点：i.分解因式所获得的每一个因式一定为X的一次式；i.每个因式中X的系数一定为正.②绝对值不重点>去绝对值:等式xca=—a￡xca(a>0)；f(xj>g(x)(g(x?O)=f(x)<—g(x诫f(x)>g(x)；f(xjcg(x戸-g(x)<f(x)cg(x)；③解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类议论是重点.而分类议论的重点在于“分界值”确实定以及注意解完此后要总结：综上所述④关于不等式恒成立问题，常用“函数思想”、“分别变量思想”以及“图象思想基本不等式：2①a,b?R，则a2?b2-2ab，当且仅当a二b时，等号成立.a,b，R?，则a，b-2、ab，当且仅当a二b时，等号成立.3*②若a,b?R:(ab)2综上，若a,b三R，贝Ua2b2_2ab，当且仅当当且仅当0,X::0,当且仅当X-1,即X=1时,等号成立XT与"0”比较大小T--1当且仅当X-1,即x=-1时，等号成立X不等式的证明：①比较法：作差T因式分解或配方②综合法：由因导果.③解析法：执果索因；基本步骤：要证④反证法：正难则反.⑤最值法：a■fxmax，则a-f(x)恒成立；a：：：fxmin，则a：：：f(x)恒成立.三、函数函数的因素：定义域、值域、对应法规①定义域：i.给出函数解析式，求函数的定义域(即求使函数解析式有意义的x的范围)(1)y二[f(x)]0=f(x)=O；(2)■^二Q(x)=O；(3)y=2nP(x)二P(x)一0.Q(x)使实责问题有意义的自变量的范围.求复合函数的定义域：若fx的定义域为a,b1,贝Ufgx】的定义域由不等式a乞gx<b解出；若fgx的定义域为a,b1,则fX的定义域相当于Xa,b1时gX的值域.②值域：函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法？i.二次函数型或可化为二次函数型；ii.单调性；i.基本不等式；iv.换元法；v.数形结合;函数的基天性质：①奇偶性：定义判断奇偶性的步骤：(1)定义域D可否关于原点对称；(2)关于任意XD，判断f(-X)与f(X)的关系：4若f(-x)=f(x)，也即f(-x)-f(x)=O=y二f(x),x?D为偶函数；若f(-X)--f(x)，也即f(-x)f(x)=0y二f(x),xD为奇函数.ii.图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称=奇函数；函数图象关于y轴对称=偶函数;判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？5iv.若是奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.v.—个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为：f(x)=0,x?D(此中定义域D关于原点对称)vi.若是两个函数都是非零函数(定义域订交非空)，则有：奇+奇=?奇；奇+偶=?非奇非偶；偶+偶=?偶；奇X奇二.偶；奇X偶二.奇；偶^偶=偶.②单调性：设任意x1,x^D，且x1:x2，则f(xJ=f(X2)=无单调性f(xi).f(X2)=减函数-20；f(xj.f(X2)=增函数-20；在比较f(Xi)与f(X2)大小时，常用“作差法”，比较f(xJ-f(X2)与0的大小.i.奇函数的图象在y轴双侧的单调性一致；偶函数的图象在y轴双侧的单调性相反.互为反函数的单调性一致.增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数.V.复合函数单调性由“同增异减”判断.V.注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用(即怎样表现函数的“奇偶性”、“单调性”)四、幕函数①定义：一般地，形如y=xa(X?R)的函数称为幕函数。(此中x是自变量，〉是常数)②几个常有幕函数的图像及性质y=x2y31y=x=xy=x定义域RRR{x|x式0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第I象限的在第I象限单在第I象限单在第I象限单在第I象限单在第I象限单增减性调递加调递加调递加调递加调递减幕函数y=xa(X?R)的图像在第一象限的散布规律是:全部幕函数y=xa(x?R)的图像都过点(1,1)；当〉=1,2,3,1时函数y二xa的图像都过原点(0,0)；23)当〉=1时，y=xa的的图像在第一象限是第一象限的均分线(如C2);4)当〉=2,3时，y=xa的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如c,)5)当〉=丄时，y=xa的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如C3)26)当〉二-1时，y=xa的的图像但是原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线(如C4)③经过特别幕函数的图像与性质总结幕函数的图像:6当二=0时，幕函数y=xa有以下性质:71）图象都经过点0,0,1,1；2）在第一象限内都是增函数;（3）在第一象限内，：?.1时，图象是向下凹的；0=：：:1时，图象是向上凸的。当：?：：：0时，幕函数Y二X有以下性质:（在第一象限内|:?|越大，图象着落的速度越快）2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凹的。1）图象都经过点1,1；注意：无论：?取任何实数，幕函数y二xa的图象必然经过第一象限，而且必然不经过第四象限。五、指数函数①定义：一般地，函数y=ax（a>0,a?1）叫做指数函数.与幂函数不同样，在这个函数中，自变量x是指数，而底数a则是常数。②基天性质：1）函数的定义域为R；2）函数的值域为（0,?二）；3）当0：：：a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。③函数图像:0<tJ<1a>l10]1）指数函数的图象都经过点（0,1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当0时，图象向左无穷凑近x轴，当a1时，图象向右无穷凑近x轴）；：：：Jza:::13）关于同样的a（a0,且a=1），函数y=ax与y=a」的图象关于y轴对称。④函数值的变化特点:0va<1a>1①x>0时0cyc1①x>0时y>1，②x=0时y=1②x=0时y=1③x<0时y>1③xv0时0vyc1六、指数与对数的观点指数：①分数指数幕m___1)a"=(a〉0,m,，且n^1)2)1(a-0,m,nN，且n1)mn②根式的性质1)(na)n=a82)当n为奇数时，^a^=a；当n为偶数时，好=|a|=-a,a<0③有理指数幕的运算性质aras=ar*(a>0,r,swQ)2)(ar)s=ars(a0,r,s二Q)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ)注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确立的实数?上述有理指数幕的运算性质，关于无理数指数幕都适用。对数：(1)对数的定义：若是ab=N(a0,且a")，那么幕指数b叫做以a为底N的对数。记作：loga^b,此中a叫做底数，N叫做真数。(2)指数式与对数式的互化式：ab二NulogaN=b(a.0,a=1,N■0)gmNa0,且a=1,m0,且m=1,N0)⑶对数的换底公式：logaN°(logma(4)对数恒等式：alogaN=N(a0,且a=1,N0)logaa=n(5)对数的四则运算法规：若a>0,1,M>0,N>0，贝U①loga(MN)=logaMlogaN源:学&科&网］N③logaMnlogaM(n=R);④logmNn=卫logaN(n,m^R)m常用对数和自然对数以10为底的对数logj，叫做常用对数，简记为lgx。以无理数e为底的对数叫做自然对数，记作logex,简记为Inx,此中e=2.718。温馨提示(1)当n为偶数时,盲=|a|(2)不要把loga(MN)TogaMlogaN记成了loga(MN^logaMlogaN等。方法总结1、解决指数问题时经常需要取对数，而解决对数问题又需要将它转变为指数问题，这类互化是数学解题的有力杠杆。我们在这里称之为“对指互化”。2、rmm1注意对数恒等式、对数换底公式以及恒等式loganb=—logab,logab=------------在解题中的灵便运用。bn3、关于对数连等式等问题，常需要引入参数，用参数作为桥梁。4、注意方程和方程组思想的有效运用。5、解对数和指数不等式，常用同底法，即把不等式的两边变为底数同样的对数和指数。3如：log2x3=log2xlog22。七、对数函数①定义：函数y=logaX(a0,且a=1)称对数函数,1)函数的定义域为(0,;2)函数的值域为R;93)当0：：：a.1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；对数函数y=logax与指数函数y二ax(a.0,且a=1)互为反函数。函数图像：对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限；2)对数函数都以y轴为渐近线(当0:::a:::1时，图象向上无穷凑近y轴；当a1时，图象向下无穷凑近y轴)；3)关于同样的a(a0,且a=1)，函数y=logax与log1x的图象关于x轴对称。a③函数值的变化特点：0cac1a>1①xa1时yc0①x=1时yA0②x=1时y=0②x=1时y=0③0cxc1时y>0③xc0时0cyc1程:①指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程;在对数符号后边含有未知数的方程，叫做对数方程。②解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。③指数方程的基本种类：(1)ax二c(a0,a=0,c0),其解为x=logac；(2)af(x)=ag(x)(a0,^=1)，转变为代数方程f(x)二g(x)求解；(3)af(x^bg(x)(a0,a",b0,b=1)，转变为代数方程f(x)lga=g(x)lgb求解;(4)F(ax)=0(a?0,a=0)，用换元法先求方程F(y)=0的解，再解指数方程ax=y。④对数方程的基本种类：(1)logax=b(a0,a=1),其解为x=ab；卩(x)=g(x)(2)logaf(x)=logag(x)(a>0,a工1)，转变为*f(x)>0求解；g(x)>0(3)F(logaX)=0(a?0,a=0)，用换元法先求方程F(y)=0的解，再解对数方程logay。⑤指数方程和对数方程的近似解10利用函数图象和二分法能够求指数方程和对数方程的近似解例题解析、会集不等式【例1】若会集A-[x2a1<x<3a-5?,B-[x3<x<22｝，则能使A二B成立的全部实数a的会集是( )A.!a1_a_9fB.!a6_a_9jC.laa_9fD.J【例2】用会集的交、并、补关系将右图中的暗影部分表示出来【例3】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）全部男生都不爱踢足球；（3）最少有一个男生不爱踢足球；（4）全部女生都爱踢足球；此中是命题全部男生都爱踢足球”的否定是________【例4】设会集M={1,2,3,4,5,6},Sj,S2」|（,Sk都是M的含两个元素的子集，且知足：对任意的S={a,b},Sj二佝,bj}（i=j,i、j{1,2,3,,I,k}）,都有min旦，—=min，—（min{x,y}表示两个数x,yWaJ[6ajj中的较小者），则k的最大值是__________________.【例5】若实数a,b,c同时知足以下条件：(1)abc0；(2)abc0；(3)ab■c；(4)abbcc^0,则以下判断正确的选项是_____.(将正确的序号都填上)(1)a0,(2)b0,(3)c0,(4)ab,(5)a2c2.11x>0(2)2x-1-xc|x+3+13—x2—x!---->------3+x2+x2{-2}，务实数k的取值范围.【例】关于x的不等式组x—x—2>0的整数解的会集为72x12(2k5)x5k：：0【例6】解以下不等式（组）【例8】设0：：：b：：：1?ax的不等式x-b2>axj3个，则（），若关于（的解集中的整数解恰有-Va<0B.0a<1C.1<a3D.3a6【例9】（1）当0<x<2时，函数y=2x（1-2x）的最大值为________1219(2)已知x>0,y>0,且x+y=1,求x+y的最小值_____________51(3)已知x<-，求函数y=4x—2+---------的最大值44x—5(4)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,贝Ux+2y的最小值是_________16(5)已知a>b>0,则a+占的最小值是----------------------【例10】以下列图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上,且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米.要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值.13【牢固训练】1会集x^R,y^R二A=女2+x+1,_x,_x_1!B=』一y,_*,y+1?,A=B，求x,y.2?已知会集A=?—2k+6<xvk2—3>,B=｛x—k<xvk｝，若A三B,务实数k的取值范围.以下说法：若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不必然是真命题；②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的抗命题是真命题，则这个命题不必然是真命题；④若一个命题的抗命题和否命题都是真命题，则这个命题必然是真命题.此中正确的说法是（）A.①②B.①③④C.②③④D.①②③4?S为会集｛1,2,3^1,50｝的一个子集，且S中任意两个元素之和不能够被7整除，则S中元素最多有多少设个.5.已知X，R，以下不等式中正确的选项是（）1111C.1111->—22222x_x1xx1x1x22|x|x12x3x146.不等式x2-mx-2m兰0有实数解，且关于任意的实数解Xi,X2恒有Xi-x?兰3,务实数m的取值范围.7?已知会集A={x|(|x—3)(x2+|x—2)兰0,x壬R,B={x|x2—ax—12兰0,x?R，若AGB，则实数a的取值范围是_______________.8.(1)x3x3，此时x二x：：：2，则-的最大值为已知—211(3)已知x,yR，且x2y=3,则—-的最小值为x22y1(2)若x2y2=1，贝Hxy的取值范围_________________________(4)已知x■0,y1，且x(y-1)=2，则2xy的最小值_____________________________15(5)设x,y都是正数，且使xy=kxy，则实数k的最大值_____________________设正数a、b知足2a+3b=ab，贝ya+b的最小值是_________(7)_________________________________________________若a、b是正数，则(3a+1)2+(3b+1)2的最小值为_________________________________________________________.ba二、函数的观点【例11】函数=y二.kx2_6xk8的定义域为R，则k的取值范围是__________________【例12］已知f(x)为二次函数，且f(x-2)=f(-x-2)，且f0=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式.16【例13】设f」x为fx=2x-x?1.0,21的反函数，则【例14】设定义在D上的两个函数f(x)、g(x)，其值域挨次是①若ad，则对任意x2?D，f(xj.g(x2)恒成立；②若存在为、x2?D，使f(xj?g(x2)成立，则必有ad③若对任意D，f(x)g(x)恒成立，则必有ad；④若ad，则对任意D，f(x)g(x)恒成立.此中正确的命题是_______(请写出全部正确命题的序号).1xx1【例15】已知f(x)2-2的反函数为f(x)，则不等式211【例16】fX=x2-X2(1)证明：函数fX有反函数，并求出反函数

1y=fxf~x的最大值为a,b］和［c,d］，有以下4个命题:f'(x)a1的解集为__________(2)反函数的图像可否经过点(0,1)?反函数的图像与yx有无交点?(3)设反函数y=f'(x)，求不等式f'(x)-0的解集.17【牢固训练】1定义两种运算a-b—.a2-b2,--------x匸2—2aba-b|，则函数f(x)的解析式是()xx心厂，-Bf(x—E，x(-2,2).A°C.(-叫-：：.x2)(2,?)2十xf(x)x(Y,_2)(2,?:).f(x)=：2?若函数f(x)的定义域为1-2,2],则函数f(x)的定义域是x-1求y=二在x?[2,4]上的最大值和最小值.+2x4.已知函数f屮的值域为丨-1,4丨，务实数a,b的值.x+1y=f'(X1)，则f2016185?已知函数f(x)定义在R上，存在反函数，且f(9)=18，若y=f(xV)的反函数是三、函数的性质【例17】若函数y=f(x),x?D，为非奇非偶函数，则有(关于任意的xD，都有f(-x；)=f(xj且f(-xj-f(x)；存在xD，使f(-X；)=f(x.)且f(-xj=-f(无)；(C)存在Xi,X2D，使f(-Xi)=f(xi)且f(_X2)=-f(X2)；(D)关于任意的xD，都有f(「X：)=f(x)或f(「X-,)=-f(X,)-【例18】已知f(x、g(x)的定义域均为R,f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=2X*，则fx二______,gX二_______』1【例19】f的单调递加区间____________x-2x【例20】已知函数f(x)=x2?旦，(x=0,R)，若函数f(x)在2,上为增函数，求a的取值范围.x19_2+a【例21】已知定义在R上的函数f(x)刁(a,b为实常数)，2^+b当a=b=1时，证明：f(x)不是奇函数；设f(x)是奇函数，求a与b的值；(3)当f(x)是奇函数时，证明对任何实数x，c都有f(x)：：：C2-3C3成立.【例22】若f(x)是R上的奇函数，且f(x)在［0,；)上单调递加，则以下结论：①y=|f(x)|是偶函数；②对任意的xR都有f(-x)|f(x)|=0；③y=f(-x)在(-二,0］上单调递加；④y=f(x)f(-x)在(-：：,0］上单调递加?此中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4【牢固训练】x1.设a>0,f(x)=e+段是R上的偶函数，贝Ua=______________ae202?f(x)R,f(1h2(x2)=f(x)f(2)，求f(5)的值.设函数是定义域为的奇函数13.已知函数二1+log.X2?X<]?(主)=口1叭片+2)———(GER),x>If+1若对任意的.1(.■，均有.：「：_：2、；，则实数的取值范围是4.已知会集M是知足以下两个条件的函数f(x)的全体：①f(x)在定义域上是单调函数；②在f(x)的定义域内存在闭区间［a,b］,使f(x)在［a,b］上的值域为|，2?若函数g(x)，g(x)M，则实数m的取值范围是_________________.21YY5?设函数g(x)=3,h(x)=9.g(x),q(x)g(x).3(2)令p(x)，求证:h(x)3(1)解方程:xlog3(2g(x)-8)=log3(h(x)9)；12P( )-P(-2014)--P(竺)PC2013)=q(丄)q』)m2012)q(竺)；2014201420142014201420142014(3)若f(x)=:也是实数集*上的奇函数，且f(h(x)-1)?f(2-k?g(x)).0对任意实数x恒成g(x)+b立，务实数k的取值范围.6?问题求方程3x4^5x的解”有以下的思路：方程3x4^5x可变为(5)x(5)^1,察看函数f(x)二(5)x(5)x可知，f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减，???原方程有唯一解x=2?模拟此解法可获得不等式：22x6—(2x+3)A(2X+3)3—x2的解是________?23四、幕指对函数2【例23】已知幕函数y=xm之心(m^Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.【例24】已知函数f(x)=abx?c(b.0,b=1),x?［0,；)，若其值域为［-2,3)，则该函数的一个解析式能够为f(x)=_________.【例25】若是函数f(x)=|lg|2x-1||在定义域的某个子区间(k-1,k1)上不存在反函数，则k的取值范围是_________.【例26】函数f(x)=log22x1的反函数为y=f'(x)，若关于x的方程「(x)二m，f(x)在［1,2］上有解,则实数m的取值范围是_______.241【例27】已知aR，函数f(x)=log2(a).x当a=5时，解不等式f(x)0；(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x?2a-5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；1(3)设a?0,若对任意r[-,1]，函数f(x)在区间[t,t1]上的最大值与最小值的差不高出1,求a的取值范围.【牢固训练】.以下命题中：⑴幕函数的图像不行能出现在第四象限;⑵当n=0时，y=xn的图像是一条直线；⑶幕函数的图像都经过点(0,0)、(1,1);⑷若幕函数y=xn为奇函数，贝Uy二xn在定义域内为增函数f(x)=xa-2x122.,a?T，求值域，议论奇偶性.此中正确的命题序号是_____________.253.若y=loga(2-ax)在］0,1］上是减函数，贝Ua的取值范围是_________4?若方程(lgax)(lgax2)=4全部的解都大于1，求a的取值范围5?设m、R，定义在区间［m,n］上的函数f(x)=log?(4-|x|)的值域是［0,2］，若关于t的方程口］+m+1=0(WR)有实数解，则m+n的取值范围是______________________2基本不等式.(1)应用公式的条件：a2b2-2ab的条件是a,b?R；.ab的条件是a,bR.22(2)3?函数定义域是研究函数的前提.

2a+bJ—取等号的条件：ab-2ab和ab取等号的条件都是a=b.24.判断函数奇偶性能够直接用定义，而在某些状况下判断f(x)-f(-x)可否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断?要清楚认识奇偶性与周期的判断方法(有形用形，没形用代数式即定义证明)?应用方面：形--对称作图、平移作图；数--f(x)与f(-x)互求、f(x+T)与f(x)互求，提高理解为x,y二者具备必然量关系的互求.265?函数单调性判断的依据是定义，复合函数结论。应用方向：比较大小，求最值值域(x的大小与y的大小的互求)27课后练习「111.已知A-;xa2x5b=0?，且A\B.，则AUB=______________y=ig(x-i)2?函数43.已知x1，则函数y=3x1的最小值是__________________—14.已知fg^XX-1J,f(2x)=5(此中x0)，则x二_______________4x2-X十15.若x1，则函数y_____的最小值为xT6?函数f（X）=1-■X-1（X-2）的反函数是______7?函数y=fx的反函数为y=f'x，若是函数y=fx的图像过点2,-2，那么函数y=f一1-2x1的图像必然过点.28