初、高中数学衔接

初、高中数学衔接

问题研究连春兴我准备与大家交流三个问题：一、初高中不衔接原因分析二、数学后进生成因分析三、初中教师应该具备怎样的数学素养一、初高中不衔接原因分析高一新生不适应高中数学的学习，大量产生高一数学差生，两极分化严重，这是一个长期困扰教师的问题.经过我多年的观察，它涉及的因素很多，现罗列几个，不全、不对处请各位老师指正。1不当的数学观经过初中三年、特别是中考前的强化训练，学生普遍认为，数学由公式、概念、定理组成，背好公式，大量做题就行了.而对数学知识背后所蕴含的思想方法，如函数与方程、划归、数形结合、随机、统计等数学思想，知之甚少。如用一个定长的铁丝做一个矩形，边长多少时，面积最大？把函数思想方法分解：定一个边长，得一个面积----对应思想；用解析式刻画-------建模思想；配方求最大值-------优化思想；有没有最小值-------极限思想。如果这个过程，被一个顶点坐标公式所替代-----学生绝对不会去欣赏数学，也不会解决了这个问题后，骄傲的认为自己能力的精进，一定把数学看成是公式的组合，自己只不过是套了一步公式而已。2不良习惯有一批学生认为，自己在初中时，初一、二虽然没好好念，初三最后几个月拼一把，就考上了高中。读高中不过如此，高三再下功夫。结果因为初、高中课堂知识容量、难度等方面的差异，想法落空。这从一个角度反映出初中吃不饱，高中吃不了问题严重。3初高中数学知识对思维水平的要求差异初中：抽象思维水平以“经验型”占主导；高一：抽象思维水平从“经验型”占主导，逐步过渡、发展到“理论型”占主导。主要表现在逻辑思维、空间想象、符号系统的准确运用等。高中数学相比初中数学，对同学们理性思维水平的要求，可谓爬了一个“陡坡”。思维水平的神奇发展，不是天上掉下来的，需要“客观”的引导，更需要“主观”的努力，相当一部分学生过渡的不好。学习困难集中表现在高一数学的学习上。4初高中学习环境的差异高中是非义务教育阶段，教师的管理一般没有初中老师“细”，更多时候靠自觉，靠学习主动性。初中课堂教学一般知识容量小，有时间重复练习，所以，对不理解的知识依靠记忆、模仿训练，可以过关。学高中数学虽然还离不开记忆与模仿，但更需要“深入理解”。升入高一后，课堂教学容量、知识难度，与初中教学相比，是一个大的飞跃。一方面，重复练习时间比初中少；另一方面，即使重复练习也不如初中管用。由此导致许多同学不适应。我们把“用结论”喻为“打枪”，把“推导结论”喻为“造枪”，在初中阶段，如果学习标准不高，凭着会“打枪”，也许能考一个过得去的成绩。但要学好高中数学，能熟练的“打枪”固然重要，更需要的却是富于创意的“造枪”。譬如配方法，在用它造出“一元二次方程求根公式”和“二次函数图象的顶点坐标公式”这两把“枪”后，学生就把关注点放在了“打枪”上，却把“造枪过程”束之高阁了。而高中则必然，“造枪”能力的考查比比皆是。运用该定理如何“造枪”？5初高中技能要求的差异如十字相乘方法因式分解；运用韦达定理解决问题；等。二、数学后进生成因分析高一出现大量后进生，固然有上述主观与客观方面的原因。但在学生的学习过程中，一个学生，从上小学到高中十年，即使不在初高中衔接阶段，也有许多学习后进生出现。这些后进生，我们可以说出许多差，如：学习基础差------

很多学习新知需要的知识是空白；解题技能差-------简单问题不知从哪里下手；学习方法差--------不会听课，不会问问题；学习习惯差------贪玩，不爱动脑筋，不及时写作业…；等等。其实，对一个有良好学习愿望的同学来说，他核心的差应该表现在对基础知识理解不到位而产生的思维活动的盲目性上，即“不会想”。在数学差生形成过程中，我们往往：采取“补课”，希望解决学习基础差；通过大量“练题”，希望解决解题技能差；但这样的补课有一个致命的弊端，就是“强化技能，忽视理解”（社会上各种“强化班”大多没有摆脱这个弊端）。

我们在教学中，如果不能纠正“强化技能，忽视理解”的教学弊端，就难以解决学生“不会想”的问题。下面通过一组题目对学生“程序性操作水平与理解层次”的考查，看解题教学中，如何让学生在亲身参与，学会思考。三、初中教师应该具备怎样的数学素养大家都知道教书的“一杯水”与“一桶水”的关系，要教会学生“想”，如何积累“一桶水”？在初高中衔接的困难中，来自代数方面的困难更严重，所以，我就几个代数问题谈谈我的理解。1．如何认识字母表示数？其实，字母表示数还有两个重要作用：其一，设而必求----设未知数，寻求等量关系，列方程，求未知数；其二，设而不求----为方便，设未知数表示某些量，最终的求解与未知数无关。本题如何解决才是合理的教学过程？那就是，应该把“用字母表示数”当成策略性知识来教。什么是平均速度？是（10+15）/2吗？非，应为“行驶总路程÷行驶总时间”.那么它们总路程、总时间如何表示？“用字母表示数”又成无奈中被迫选择的策略，因为只有设出单程，才能表示时间。教学中要注意挖掘数学的美育元素，观察不难发现“a”在功成后隐退，不留名份的情操时，则对“用字母表示数”的解题策略理解更深刻，更乐于运用，甚至体会到“用字母表示数”的优越，生成对知识、策略初步的评价意识。2．如何认识数轴与平面直角坐标系？从功能看它们的核心作用在于给一维、二维空间的点定位，为解析几何奠基；从数学发展的需求看，当数字较少时（如只有正整数时）把数串起来的作用、意义不明显。但初一学了有理数以后，把数找一个从小到大的模型串起来，就很直观方便，类似于“糖葫芦”，好拿、好看、好吃。从高中学习的需求看，如果学生情况容许，解决下面问题对高中进一步学习是有益的。例2（1）在平面上一个动点的坐标是（x，3）,另一个动点的坐标是（2，y），这两个动点轨迹是什么？是否有公共点？如有坐标是什么？（2）在平面上一个动点的坐标总相等，动点的轨迹是什么？动点的坐标总相反呢？3．如何认识“绝对值”把“绝对值”和“距离”联系起来，不仅直观解决了绝对值非负的问题，还使后续学习深深受益，解决如下问题易如反掌。例3.（1）求函数y=︱x-2︱的最小值；（2）若︱x+2︱+︱x-3︱是常数，求x的取值范围。（3）若A(a,3),B(b,3),求AB长。4.如何认识无理数无理数是超越现实的理性思维的产物，古希腊有一个著名的数学学派——毕达哥拉斯学派认为世界上只有整数和分数，任何线段的长度都可以用两个整数的商表示出来，但他的学生希帕苏斯却发现了正方形的对角线是个例外。课堂上，我们不可能重复前人的发现，但我们可以在无理数的教学中，渗透理性精神。（5）这样的数如此之多，有必要分成一类。如果把有限小数(循环节为0)和无限循环小数都视为无限循环小数，那么我们学过的数就可分为两类：我们既然称无限循环小数为有理数，就可称无限不循环小数为无理数，它们统称实数。有了实数，才建立了数轴上任意点与实数之间的一一对应，否则数轴千疮百孔。5.如何认识比例与方程组6.如何认识因式分解把代数式“和差化积”，是乘法的逆向变形，其主要目的有二：（1）约分、化简；（加减法不能约分）（2）解方程，找函数零点。从目的不难看出因式分解的的重要，特别是分解二次三项式，不论教材、课标如何定位，高中数学绝对离不开。建议分两个层次掌握十字相乘方法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd7.如何认识一元二次方程的判别式8.如何认识韦达定理(1)对称与和谐挖掘数学美感，是激发学生学习兴趣，提升学习效率，增强美育熏陶的重要举措，通常提数学美感，考虑“形”的方面多一些，考虑“数”的方面少一些。谈美感，离不开“对称”，“形的对称”有轴对称、中心对称.那么，“数的对称”如何理解？韦达定理怎样体现出数学美感与“数的对称”？(2)实用与高效庞加莱曾这样论述过数学和美学：“数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感。”在使用韦达定理解决一些问题时，数学规律所表现出的美妙往往震撼我们心灵。例9.已知x+y=a+b,x2+y2=a2+b2，求证：xn+yn=an+bn解法分析方法1：运用代入消元法解关于x,y的二元方程组，然后证明；（或关于a,b的方程组）方法2：运用配方得xy,构造以x,y为根的二次方程，得x,y.(3)拓展与推广韦达---生活在16世纪的法国，后世尊称“代数之父”，他发现了代数方程的根系关系。关于一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0，1779年，高斯证明了代数基本定理：该方程在复数域内存在n的根。关于n个根的韦达定理是：9.如何认识条件极值例10.x,y,z是非负有理数，且3x+2y+z=5,x+y-z=2,求s=2x+y-z的最大、最小值。方法1：把三个方程视为三元一次方程组，解出x,y,z(用s表示)，然后利用是非负有理数，联立不等式组，解出s的最大、最小值。方法2：联立前两个方程，解出y,z(用x表示)，代入S的表达式，构成x的函数，利用y,z是非负有理数，联立不等式组，得到x的取值范围（定义域），根据函数图像意义，找到s的最大、最小值。例11.已知x-y=1,求x2+y2的最小值。方法1：代入消元得二次函数“x2+(x-1)2=2（x-1/2)2+1/2”,求得最小值1/2。方法2：把“x-y=1”视为直线（一次函数y=x-1的图像）,设a2=x2+y2,则a为以原点为心的同心圆的半径，于是，a由大变小，圆与直线由相交变为相切时，a2为取到的最小值1/2.10.如何认识函数图像的作用11.如何认识初高中函数概念的异同①两种函数的定义初中函数定义----“变量说”：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，都有唯一的y值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中函数定义---“集合对应说”：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。相同点：比对两个定义，当高中函数定义去掉“两个数集”外衣后，可以发现它们的本质是一致的。都是对于x的每一个确定的值，都有唯一的y值与之对应。不同点：

第一，“集合与对应说”强调“两个数集”，且对两个数集的要求也不同，对自变量的取值范围集合A是唯一确定的，而对值域所在的集合B，要求则很宽泛，通常取实数集R即可，相当于打靶，靶子大点没关系。第二，“变量说”称一个变量是另一个变量的函数；“集合与对应说”则称两数集A,B之间的对应关系“f”是集合A到集合B的函数。②为什么高中要更换定义？在我们认识函数的过程中，初中函数定义----“变量说”,为我们认识变量之间的依赖关系，提供了一个朴实自然的角度:在一个变化过程中，什么量不变，什么量改变，哪个量是主动变化的，变化的量之间有没有依赖关系，能否用解析式表达，…这诸多的思考，几乎都蕴涵在“变量说”中，这样认识函数，不论是运用函数工具解决实际问题，还是在中学、大学函数的学习中，都是很重要的。那么，高中为什么还要更换定义，学习函数的“集合与对应说”？

几个重要原因：①初中定义中没有定义域约束自变量，要出问题。例：一枚炮弹发射后，炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h=130t-5t2.请大家计算，当t=30s时，h的值。有学生算得h=-600m,这是一个荒唐的结果。因为炮弹从发射到落地爆炸只经历26s，当t=30s时，炮弹早已爆炸，即使没有地球阻力，h=-600m也是不可能的。③“集合与对应说”带来的好处好处之四，把数集A到B的对应关系抽象表达为“f”，“f(x)”表示“f”作用到“x”身上的一种变换，而非相乘关系，是学生理解的难点。我们可以利用它表示函数值和区别函数的优势，来提升学习者的情感认同度。关于函数概念中，一个需要澄清的问题：

既然