202X学年高中数学阶段质量检测（二）平面解析几何初步苏教版必修2

PAGE阶段质量检测（二）平面解析几何初步(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是()A．－1 B．3C．1 D．－3解析：选CkAB＝eq\f(m－4,－2－m)＝tan45°＝1，∴m＝1.2．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为()A．1 B．2C.eq\f(\r(2),2) D.eq\r(2)解析：选C由点到直线的距离公式d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2).3．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))解析：选A由题意得1＋1＋4m>0，解得m>－eq\f(1,2).4．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：选D圆的半径r＝eq\r(1－02＋1－02)＝eq\r(2)，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.5．若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的倾斜角的2倍，则()A．m＝－eq\r(3)，n＝1 B．m＝－eq\r(3)，n＝－3C．m＝eq\r(3)，n＝－3 D．m＝eq\r(3)，n＝1解析：选D依题意得：直线eq\r(3)x－y＝3eq\r(3)的斜率为eq\r(3)，∴其倾斜角为60°.∴－eq\f(3,n)＝－3，－eq\f(m,n)＝tan120°＝－eq\r(3)，得m＝eq\r(3)，n＝1.6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：选D直线方程为y＝eq\r(3)x，圆的方程化为x2＋(y－2)2＝4，∴r＝2，圆心(0,2)到直线y＝eq\r(3)x的距离为d＝1，∴弦长为2eq\r(22－1)＝2eq\r(3).7．已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0 解析：选B因为l的斜率为tan135°＝－1，所以l1的斜率为1，所以kAB＝eq\f(2－－1,3－a)＝1，解得a＝l1∥l2，所以－eq\f(2,b)＝1，解得b＝－2，所以a＋b＝－2，故选B.8．已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，则坐标(m，n)可能是()A．(1，－3) B．(3，－1)C．(－3,1) D．(－1,3)解析：选A由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得交点坐标M(1,2)，而M(1,2)又在直线mx＋ny＋5＝0上，∴m＋2n＋5＝0，结合选项可知选项A中m＝1，n＝－3符合方程．9．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝()A．－eq\f(1,2)B．1C．2 D．eq\f(1,2)解析：选C因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－eq\f(1,2)，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.10．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值为()A．5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D.eq\r(17)解析：选A圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则PM的最小值为PC1－1，同理PN的最小值为PC2－3，则PM＋PN的最小值为PC1＋PC2C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连结C1′C2，与x轴交于点P，连结PC1，可知PC1＋PC2的最小值为C1′C2＝eq\r(3－22＋4＋32)＝5eq\r(2)，则PM＋PN的最小值为5eq\r(2)－4.11．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0解析：选A设点P(3,1)，圆心C(1,0)．已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径．故四边形PACB的外接圆圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(3－12＋1－02)＝eq\f(\r(5),2).故此圆的方程为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(5,4).①圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.②①－②得2x＋y－3＝0，此即为直线AB的方程．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：选A由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径rl经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|0－1－1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以弦长AB＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).又坐标原点O到弦AB的距离为eq\f(|0＋0－1|,\r(2))＝eq\f(1,\r(2))，所以△OAB的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(1,\r(2))＝1.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c)．答案：(a，b，c)14．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y1＋y2,2)＝－1，又y1＝1，∴y2＝－3，代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3)，又eq\f(x1＋x2,2)＝1，∴x1＝－2，即A(－2,1)，∴kAB＝eq\f(－3－1,4－－2)＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)15．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.解析：∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，∴eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝－1，∴m＝1.答案：116．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则eq\r(a2＋b2)的最小值为________．解析：eq\r(a2＋b2)的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝eq\f(|0＋0－15|,\r(32＋42))＝3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求BG.解：∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,1)．∴G点的坐标为Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，\f(1,2)))∴BG＝eq\r(32＋32＋\f(1,4))＝eq\f(\r(73),2).18．(本小题满分12分)已知直线l的倾斜角为135°，且经过点P(1,1)．(1)求直线l的方程；(2)求点A(3,4)关于直线l的对称点A′的坐标．解：(1)∵k＝tan135°＝－1，∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)设A′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－3)×－1＝－1，,\f(a＋3,2)＋\f(b＋4,2)－2＝0，))解得a＝－2，b＝－1，∴A′的坐标为(－2，－1)．19．(本小题满分12分)已知直线l1：x－y－1＝0，直线l2：4x＋3y＋14＝0，直线l3：3x＋4y＋10＝0，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C(a，a－1)，半径为r，则点C到直线l2的距离d1＝eq\f(|4a＋3a－1＋14|,5)＝eq\f(|7a＋11|,5).点C到直线l3的距离是d2＝eq\f(|3a＋4a－1＋10|,5)＝eq\f(|7a＋6|,5).由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(|7a＋11|,5)＝r，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|7a＋6|,5)))2＋32＝r2.))解得a＝2，r＝5，即所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝25.20．(本小题满分12分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4,3)到直线l的距离为3eq\r(2)，求直线l的方程．解：若l在两坐标轴上截距为0，设l：y＝kx，即kx－y＝0，则eq\f(|4k－3|,\r(1＋k2))＝3eq\r(2).解得k＝－6±eq\f(3,2)eq\r(14).此时l的方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6±\f(3,2)\r(14)))x；若l在两坐标轴上截距不为0，设l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0，则eq\f(|4＋3－a|,\r(12＋12))＝3eq\r(2).解得a＝1或13.此时l的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.综上，直线l的方程为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6±\f(3,2)\r(14)))x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.21．(本小题满分12分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．解：(1)由题意可知，E为AB的中点，∴E(3,2)，且kCE＝－eq\f(1,kAB)＝1，∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，))得C(4,3)，∴AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝2.22．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，且OA⊥OB.设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0，①由eq\b\lc\