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习题181研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1)解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[01)和(12]内是连续的在x1处因为f(1)1并且所以从而函数f(x)在x1处是连续的综上所述，函数f(x)在[02]上是连续函数(2)解只需考察函数在x1和x1处的连续性在x1处因为f(1)1并且所以函数在x1处间断但右连续在x1处因为f(1)1并且f(1)f(1)所以函数在x1处连续综合上述讨论函数在(1)和(1)内连续在x1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续(1)x1x2解因为函数在x2和x1处无定义所以x2和x1是函数的间断点因为所以x2是函数的第二类间断点因为所以x1是函数的第一类间断点并且是可去间断点在x1处令y2则函数在x1处成为连续的(2)xk(k012)解函数在点xk(kZ)和(kZ)处无定义因而这些点都是函数的间断点因(k0)故xk(k0)是第二类间断点因为(kZ)所以x0和(kZ)是第一类间断点且是可去间断点令y|x01则函数在x0处成为连续的令时y0则函数在处成为连续的(3)x0解因为函数在x0处无定义所以x0是函数的间断点又因为不存在所以x0是函数的第二类间断点(4)x1解因为所以x1是函数的第一类不可去间断点3讨论函数的连续性若有间断点判别其类型解在分段点x1处因为所以x1为函数的第一类不可去间断点在分段点x1处因为所以x1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0则存在x0的某一邻域U(x0)当xU(x0)时f(x)0证明不妨设f(x0)>0因为f(x)在x0连续所以由极限的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域使当x时f(x)>0从而当xU(x0)时f(x)>0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当xU(x0)时f(x)05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子(1)x012n是f(x)的所有间断点且它们都是无穷间断点解函数在点x012n处是间断的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续解函数在R上处处不连续但|f(x)|1

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