自动控制原理第七章z变换

线性离散系统的分析与校正第七章在线性连续系统中，连续时间函数f(t)的拉氏变换为F(s);同样在线性离散系统中，也可以对采样信号f*(t)作拉氏变换。课前复习-z变换的定义采样信号f*(t)拉氏变换课前复习-z变换的级数求和法z变换的级数求和法例

求指数函数f（t）的z变换解：课前复习-级数求和法7.1z变换与反变换

z变换部分分式法

z变换留数法

z变换性质z反变换方法（部分分式、幂级数法、留数法）7.1.2、z变换-部分分式法设连续信号f(t)没有直接给出，但给出了f(t)的拉氏变换式F(s)，求它所对应的z变换式F(z)。首先为了进行拉氏变换，将F(s)写成部分分式之和的形式，即：式中，n为F(s)的极点数目；Ai为常数，Si为F(s)的极点。然后，由拉氏反变换得出f(t)为对上式中的每一项，都可以利用指数函数的z变换直接写出它所对应的z变换式，这样就得到了F(z)如下：指数函数z变换7.1.2、z变换-部分分式法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：由可得7.1.2、z变换-部分分式法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：7.1.2、z变换-部分分式法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：7.1.2、z变换-部分分式法7.1.3、z变换-留数法若已知连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及全部极点si，则f(t)的z变换可用留数计算法求取，即：式中，为F(s)的n1个单极点；

为F(s)的n-n1个重极点；

为重极点的阶数；T为采样周期；

为极点处的留数。7.1.3、z变换-留数法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：7.1.3、z变换-留数法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：7.1.3、z变换-留数法例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：7.1.3、z变换-留数法7.1.3、z变换7.1.4、z变换性质1线性定理若相加与相乘乘以后的z变换？证明：2.实数平移定理（位移定理）证明：令滞后超前7.1.4、z变换性质例：求、、和的z变换。

是向左移了n个采样周期的序列（时间超前）

是向右移了n个采样周期的序列（时间滞后）7.1.4、z变换性质3.复数平移定理证明：7.1.4、z变换性质例：求的z变换。7.1.4、z变换性质4.初值定理5.终值定理

假设当k<0时f(k)=0，它的z变换F(z)的所有极点都在单位圆内，可能的例外是在单位圆上z=1处有单极点。7.1.4、z变换性质例：如果的z变换由下式给出，试确定其初始值f(0)。例：用终值定理确定下式的终值f()。7.1.4、z变换性质小结-z变换方法与性质z变换的部分分式法z变换的留数法Z变换线性性质z变换实数、复数位移定理z变换初值、终值定理7.1.5、z反变换z变换在离散控制系统中所起的作用与拉氏变换在连续控制相同中所起的作用是同样的。z反变换的符号为。F(z)的z反变换产生相应的时间序列f(k)。注意：由z反变换获得的仅是在采样瞬时的时间序列。因而，F(z)的z反变换获得的仅是单值的f(k)，而不是单值的f(t)。Z反变换的方法

1部分分式法（查表法）

2幂级数法（综合除法）

3留数法（反演积分法）首先，对F(z)的分母多项式进行因式分解，并求其极点：注意：若分母和分子多项式的系数都是实数的话，那么任何一个复数极点或复数零点，都分别伴有共扼复数的极点或零点。7.1.5、z反变换-部分分式法当F(z)的极点全部是低阶极点，并且至少有一个零点是在坐标原点（即bm=0）时，一般采用的反变换求解步骤是，用z去除F(z)表达式的两端，然后将F(z)/z展开成部分分式。展开后的F(z)/z，将是下列形式单极点7.1.5、z反变换-部分分式法若F(z)/z有多重极点，例如，在处有二重极点且无其他极点，那么F(z)/z将有如下形式：二重极点7.1.5、z反变换-部分分式法例：试求F(z)反变换f(k)。解：7.1.5、z反变换-部分分式法例：已知z变换式中，a为常数，且T为采样周期，试用部分分式展开法求解它的z反变换f(kT)。解：7.1.5、z反变换-部分分式法例：已知z变换求解它的z反变换f(kT)。注意：在z=0处，F(z)有双重极点。7.1.5、z反变换-部分分式法7.1.5、z反变换-部分分式法7.1.6、z反变换-幂级数法把F(z)展开成z-1的无穷幂级数，以获取z反变换。特点：在确定z反变换闭合表达式较困难的场合，以及只求取f(k)的前几项时，直接除法是很有效的。例：试求F(z)反变换f(k)，k=0,1,2,3,4将F(z)写成的多项式之比7.1.6、z反变换-幂级数法由上例可见，如果仅仅希望求取序列的前几项，直接除法可用手算来实现。直接除法一般不产生f(k)的闭合表达式。7.1.6、z反变换-幂级数法若f(t)的z变换为F(z)，则例：7.1.6、z反变换-幂级数法例：求的z反变换。解：7.1.6、z反变换-幂级数法7.1.7、关于z变换的说明z

变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此z

变换与原连续时间函数并非一一对应，而只是与采样序列相对应。z变换的非唯一性z变换的收敛区间对于拉氏变换，其存在的条件是下列绝对积分收敛：z

变换也有存在性问题，通常，z

变换定义为令因为则若上式满足，则z变换一致收敛，的z变换存在。上述级数收敛的条件是：于是则有若令，工程中通常有它是单边的，且为有理分式函数。所以，

z变换的收敛区间与的零极点分布有关。7.1.7、关于z变换的说明发散区收敛区|a|Z平面ImRe例如：上式只有当