自动控制原理 第5章 频率法-3

5-3控制系统的开环频率特性典型环节频率特性(7种)幅相曲线伯德图开环系统频率特性幅相曲线伯德图15.3.1幅相曲线(开环极坐标图)在掌握了典型环节频率特性的基础上，可以作出系统的开环频率特性曲线，进而利用它进行系统分析。幅相曲线的绘制方法：

（1）描点法（根据幅频/相频，或者实频/虚频特性，取不同w值，描点后连线）（2）由零点-极点分布图绘制2（3）概略绘图法，大致确定幅相曲线的一些基本特征，只适用于最小相位系统。通常只画出w=0+的部分，并用箭头标明w增大的方向。3假设最小相位系统的开环频率特性表示为：其中：K为开环增益

g为积分环节个数，即系统类型41.幅相曲线的起点幅相曲线的起点即w→0时，G(jw)在复平面上的位置可见幅相曲线的起始段取决于：开环传函中积分环节的个数（系统类型）开环增益K50ReImg=1g=0Kg=2g=0，幅相曲线起始于正实轴上的一点Kg=1，幅相曲线起始于与负虚轴平行的渐近线（根据实频特性在w=0时的符号确定位置）g=2，幅相曲线起始于与负实轴平行的渐近线（根据虚频特性在w=0时的符号确定位置）6幅相曲线的终点即w→+∞时，G(jw)在复平面上的位置即幅相曲线的终点是原点，趋向于原点的角度为-(n-m)×90°2.幅相曲线的终点70ReImn-m=1幅相曲线的终点n-m=2n-m=38由于在利用Nyquist判据分析稳定性时，幅相曲线与负实轴的交点是一个关键点。令Im[G(jw)H(jw)]=0求出与负实轴交点的频率w，再代入Re[G(jw)H(jw)]求出交点坐标3.与负实轴的交点94.幅相曲线形状上的特点若开环传函中不含一阶微分环节，即m=0，则当w=0→+∞时，幅值连续衰减，相角持续滞后，幅相曲线连续、平滑。当包含（ts+1）环节时，则在某些频段范围内出现相位超前量，幅值放大，幅相曲线上出现凹凸。105.非最小相位系统幅相曲线的绘制对于非最小相位系统，幅相曲线的绘制不能再沿用上述规则，而必须根据频率特性的表达式，分析幅相曲线的起点、终点等特征，从而绘制出曲线。11假设开环传递函数可表示为n个典型环节串联的形式，即：则开环对数幅频特性为相频特性为5.3.2开环对数频率特性曲线(Bode图)可见，开环对数幅频、相频特性分别是各个组成环节对数幅频、相频特性的叠加。12绘制对数幅频曲线时，通常先画出渐近线，然后在有必要时进行修正，从而得到较精确的曲线。13假设低频段频率特性为：可见，这是一个直线方程，斜率为-20g(dB/dec)，且通过w=1,L(w)=20lgK这一点（或者说通过w轴上这一点）。1、低频段主要取决于开环系统中所含积分环节的个数以及开环增益K。w20lgK0型系统wI型系统20lgK1KwII型系统20lgK1-20dB/dec-40dB/dec142、完成低频段渐近线后，再继续绘制中、高频段渐近线以为例（设K>1,T>1）①先画低频段渐近线②再画出惯性环节的渐近线w20lgK1-20dB/dec0①②1/T③将曲线①和②叠加③熟练后，可直接先画曲线①，当延伸到w=1/T时，再将斜率下降-20dB/dec即可。15绘制步骤：将开环传递整理为时间常数的标准形式，确定开环增益Ｋ；确定各环节的转折频率w1

,w2

,…，并由小到大依次标注在w轴上；画L(w)的低频段（w<w1），其斜率取决于积分环节个数；随着w增加，L(w)向中、高频段延伸，每经过一个转折频率，渐近线的斜率便改变一次，改变多少取决于该转折频率所属典型环节的种类；16如有必要，对渐近线上各转折频率附近进行修正，则可得到L(w)的精确曲线。重要概念：开环截止角频率（穿越频率）wc

，即

L(w)曲线穿过0dB线的频率。对数相频特性：逐个作出各典型环节的对数相频特性，然后进行叠加即可得到开环系统对数相频特性j(w)。对于最小相位系统，当w→∞时，j(w)→－(n-m)×90°1740db0.1110w已知开环传递函数20db1000db-20db-40db302[-20][-40][-20][-40]低频段：时为38db转折频率：0.5230斜率：-40-20-40时为52db18例：绘制的对数曲线。解：对数幅频：低频段：-20dB/dec 转折频率：1510 斜率：-400-40修正值：

对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。 环节角度：191101000db20db40db-20db--40db5-90-180-114.7-93.7-137.5对数幅频：低频段：20/s 转折频率：1510 斜率：-400-40修正值：

-20-40-4020例：已知系统的开环传递函数为要求绘制Bode图。

可视为四个典型环节串联。21例：已知系统的频率特性函数为

绘制Bode图按特征频率递增的顺序，可将各个典型环节依次排列如下：

可视为5个典型环节串联。22例

由Bode图确定开环传递函数。40db-20db-40db023-40db-20db-40db0例

由Bode图确定开环传递函数。245.3.3最小相位与非最小相位系统例:已知两个系统的开环传递函数分别为试作出两系统的Bode图零点s=1非最小相位系统25ReIm0零点-极点分布图ReIm026幅频特性相同相频特性不同27285.4Nyquist稳定判据1932年，美国Bell实验室的Nyquist提出了一种根据开环频率特性曲线，判定闭环系统的稳定性的方法，被称为Nyquist判据。Nyquist判据的理论基础是幅角原理。295.4.1S平面上的围线映射当复变量s沿S平面上的闭合曲线运动时，函数F(s)会将它映射为F平面上的闭合曲线。ss平面FF(s)平面305.4.2幅角原理R=P-ZsFF(s)映射曲线F逆时针包围原点的次数封闭曲线S包围F(s)的极点数封闭曲线S包围F(s)的零点数当s沿闭合曲线s以顺时针方向转过一周时R>0，逆时针包围R=0，不包围R<0，顺时针包围3132Z=0P=1R=P-Z=1-0=133Z=3P=1R=P-Z=1-3=-2

345.4.3Nyquist稳定性判据假设开环传递函数为闭环传递函数:定义辅助函数:开环特征多项式闭环特征多项式闭环特征多项式与开环特征多项式之比35辅助函数F(s)的特点如下：其零点为闭环极点，极点为开环极点；零、极点个数相同，均为n；F(s)与G(S)H(S)只相差常数1两个平面存在平移关系；

F围线与GH围线之间的关系1GHFF平面的原点(0,0)相当于GH平面的（-1，j0）点36Nyquist判据已知G(s)H(s)，在S平面上选择一条封闭曲线S映射曲线GH逆时针包围(-1,j0)点的次数S包围F(s)的极点，即开环极点数S包围F(s)的零点，即闭环极点数37(1)0型系统选择S为包围整个右半S平面的无穷大半圆，则P为位于右半S平面的开环极点数，而计算得到的Z就是右半S平面的闭极点数。

S在GH平面上的映射就是系统的幅相曲线，w=-∞→+∞。

应用判据的关键：确定幅相曲线对(-1,j0)点的包围次数R=-=+=038奈氏判据（一）:0型系统

如果开环频率特性曲线G(jw)H(jw)当w=-∞→+∞时逆时针包围(-1,j0)点的次数R等于位于右半S平面的开环极点数P，则闭环系统是稳定的。(Z=0)

如果R≠P，则闭环系统不稳定，且位于右半S平面的闭环极点数Z=P-R。如果G(jw)H(jw)

曲线正好通过(-1,j0)点，表明系统临界稳定，存在虚轴上的闭环极点。39应用奈氏判据（一）的具体步骤:(1)绘制开环频率特性曲线，即幅相曲线，先作出w=0→+∞部分，然后以实轴为对称，做出w=-∞→0部分，构成闭合曲线。(2)计算当w=-∞→+∞时，奈氏曲线对(-1,j0)点逆时针包围次数R，方法有以下两种：①作矢量法②计算正负穿越次数，R=R+-R-(3)由给定的开环传递函数确定位于右半S平面上的开环极点数P(4)根据判据，若R=P，则闭环系统稳定；若R≠P，则闭环系统不稳定，且不稳定极点Z=P-R。40由于I、II型系统存在原点处的开环极点，故在选择S时要避开原点，如下图所示，图中：S的①

②③段的映射与0型系统相同。④为以原点为圆心，半径无限小的一个右半圆，接下来分析它的映射。=-=+=0-③①②④=0+(2)奈氏判据（二）:I、II型系统41小半圆上的点可表示为

e→0,-90°≤q≤90°假设系统的开环传递函数为：且为最小相位系统，将代入上式，得可见，右半圆的映射是半径无穷大的圆弧，从+g·90°的点开始，经0°到-g·90°点终止。j0_的映射点j0+的映射点42右小半圆在GH平面上的映射为顺时针旋转弧度的无穷大圆弧。如下图（a）、（b）分别表示当g=1和g=2时系统的奈氏曲线，其中虚线部分是右小半圆在GH平面上的映射。s增补段增补段43对于I、II型系统，在做出幅相曲线w=0+→+∞以及对称部分w=-∞→0-之后，必须再做增补段，从而构成闭合曲线，再根据Z=P-R分析闭环系统的稳定性。增补段做法如下：从w=0-点开始，按顺时针方向经0°做半径无穷大的圆弧，最后到w=0+点终止。应用奈氏判据（二）的具体步骤:445.4.4Nyquist判据在Bode图上的应用根据Bode图判断稳定性时，主要任务是确定包围次数R，方法如下：定义在L(w)>0的频段内，相频曲线自上向下穿越-180°线为负穿越（相角减小），记作R-’自下向上穿越-180°线为正穿越（相角增加），记作R+’则R’=R+’－R-’

R=2R’45当开环系统包含积分环节时，应当在相频曲线w=0+处，自下向上补画g·90°的垂直虚线作为辅助线，然后再确定j(w)对-180°线的穿越情况。46一个反馈控制系统，其位于右半平面的闭环极点数Z，可以根据右半平面开环极点数P和在L(w)>0频段范围内，j(w)曲线与-180°线的正、负穿越次数之差确定：

Z=P-2R’对数频率稳定判据：475.5稳定裕度在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。48例如，图（a）和（b）所示的两个最小相位系统的开环频率特性曲线（实线）没有包围(-1,j0)点，由奈氏判据知它们都是稳定的