微分方程第七节

第七节可降阶的高阶微分方程2、型4、恰当导数方程5、齐次方程6、小结1、型3、型对于微分方程我们可以通过两边逐次积分把微分方程降阶，从而求得微分方程的通解。……(1)方程（1）两边积分得：两边再积分得：如此下去，便可以得到方程(1)的通解。一、的微分方程求微分方程的通解。解对上方程接连三次积分得：例1质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线运动。设力仅是时间t的函数：在开始时刻t=0时，随着时间t的增大，力F均匀地减少，当t=T时，F（T）=0。如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求质点的运动规律。解设x=x（t）表示时刻t时质点的位置，由牛顿第二定律得：……(1)例2由题设，力F(t)随t增大而均匀地减少，且t=0时，,所以设又t=T时，F(T)=0,代入上式得：方程（1）可表示为：……(2)方程的初始条件是：……(3)方程(2)两端积分得:……(4)把(3)代入(4)得:从而方程(4)变为:对上式积分得:把（3）代入上式得：于是质点的运动规律是：返回代入原方程,得解法：特点：P(x)的(n-k)阶方程可得通解.二、型求微分方程满足初始条件例3的特解。解该方程不显含y，所以令此时代入原方程得：或两边积分得：即把初始条件代入得：所以再积分得：把初始条件代入得：于是所求的特解为：例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索只受重力的作用而下垂。试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线。解设绳索的最底点为A。取Y轴通过点A铅直向上，并取X轴水平向右。且|OA|等于某个定值。设绳索曲线的方程是：y=y(x).oxyMHTA考察绳索上点A到另一点M(x,y)间的一段弧AM，设其长为s。假设绳索的单位长重为.则弧AM的重量为。由于弧AM的受力平衡，所以有：两式相除，得：由于代入上式得：两边微分得：设|OA|=a，则初始条件为：下面我们解方程。方程属于的类型。设则代入方程并分离变量得：两边积分，得：代入初始条件得：代入上式得：即两边积分，得：代入初始条件得：于是绳索的形状可有曲线方程来表示。这曲线叫做悬链线。返回三、型求得其解为原方程通解为特点：解法：例5求微分方程的通解。解该方程不明显的含自变量x，设则代入方程得：在时，约去p并分离变量得两边积分得即或再分离变量并积分得或例6一个离地面很高的物体，受地球的引力的作用由静止开始落向地面。求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）。解如右图所示，设物体的质量为m，物体开始下落时与地球中心的距离为l，地球的半径为R，在时刻t物体所在位置为y=y（t）。于是速度为：由万有引力定律得：或其中k、M分别是引力常数、地球的质量。由于地面的加速度为-g，即代入上式得于是方程变为：初始条件为：这是一个典型的不显含t的微分方程。令则……(*)代入(*)并分离变量得:两端积分，得：代入初始条件得：于是令y=R，就可以得到物体到达地面时的速度。负号表示速度方向与y轴方向相反。下面求物体到达地面所需的时间。分离变量得：两端积分（右端利用积分变换）得由初始条件得：于是令y=R便得到物体到达地面时所需的时间解代入原方程解线性方程,得两端积分,得原方程通解为例7解代入原方程得原方程通解为例8返回特点解法：类似于全微分方程可降低一阶再设法求解这个方程.四、恰当导数方程解将方程写成积分后得通解注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程.例9返回特点：解法：五、齐次方程解代入原方程,得原方程通解为例10返回六、小结解法通过代换将其化成较低阶的方程来求解