应用光学第六章

第六章

像差理论第六章像差理论慧差

2细光束场曲

4轴上点球差

31细光束像散

33第六章像差理论色差

6畸变

35第一节轴上点球差一、球差的概念和形成

在共轴球面系统中，轴上点和轴外点有不同的像差，轴上点因处于轴对称位置，具有最简单的像差形式。当轴上物点的物距L确定，并以宽光束孔径成像时，其像方截距随孔径角U（或孔径高度h）的变化而变化，因此轴上物点发出的具有一定孔径的同心光束，经光学系统成像后不复为同心光束，如图6-1所示。nn’图6-1物点的像方截距随孔径角变化

第一节轴上点球差在孔径角很小的近轴区域可以得到物点成像的理想位置l′，任意孔径角U的成像光线偏离理想像点与光轴相交的位置为L′。我们把轴上物点以某一孔径角U成像时，其像方截距L′与理想像点的位置l′之差称为轴上点球差，又称为轴向球差，用′表示（图6-2），即图6-2光学系统的球差

（6-1）-lA-U-dL'l'L'U'-dT'不同孔径角U（或孔径高度h）入射的光线有不同的球差值，如果轴上物点以最大孔径角Um成像，其球差称之为边光球差，用表示，如果以孔径角第一节轴上点球差成像，则相应的球差称之为0.707带球差，用表示，以此类推。轴上物点以充满入瞳的整个孔径光束成像时，根据不同孔径角（或孔径高度）得到的球差值可以作出系统的球差曲线，图6-3所示为某一系统的球差曲线图。

，这样的系统称之为消球差系统，如图6-3所示。若大部分光学系统只能对某一孔径高度校正球差，一般是对边光校正球差，即第一节轴上点球差，称之为球差校正不足，若，称之为球差过校正，如图6-4所示。

h0.707dL'mh1图6-3球差曲线0.707hhm1dL'h0.707dL'mh1图6-4球差校正不足和球差过校正由于共轴球面系统具有对称性，孔径角为U的整个圆形光锥面上的光线都具有相同的球差而交于同一点，延伸至理想像面上，将形成一个圆，其半径称为垂轴球差，如图6-2所示，垂轴球差与轴向球差之间关系为第一节轴上点球差

(6-2)

由于球面成像计算公式是严格按照几何光学的基本定律推导得出的，因此可以得出这样的结论，即球差的形成是折射球面系统成像的一种必然现象（个别特殊点除外），它是轴上物点以单色光成像时的唯一像差。

，故级数中不含常数项，如此，球差的级数可表示为第一节轴上点球差二、球差的级数展开式

（6-3）

球差随孔径角或孔径高度而变，为了研究球差的性质，分析如何使系统获得最小的剩余球差，我们可以将球差展开成U或h的幂级数。由于轴上物点的轴对称性，当U或h改变符号时，不变，故在级数中只含有U或h的偶次方项；而当U=0或h=0时，为近轴光线，有或

（6-4）

式中的U或h都采用相对值，最大孔径时取为1，A1、A2、…、B1、B2、…为各次项系数。式中第一项称为初级球差，第二项称为二级球差，二级及以上球差又统称为高级球差。大部分光学系统的孔径角都不太大，所以，二级以上的高级球差已属很小，可以忽略。对这类系统，其球差可用初级和二级两项来表示，即式（6-3）可写成第一节轴上点球差

（6-5）

第一节轴上点球差对于只含初级和二级球差（高级球差被忽略）的光学系统，只可能对一个孔径带消球差，光学设计通常对最大孔径角Um或最大孔径高度hm（即h=1）消球差，使，此时，由公式（6-5）得代入（6-5）得

（6-6）

第一节轴上点球差式（6-6）就是光学系统在边光消球差时的球差表达式，若要分析此时具有最大球差的孔径带，只要将式（6-6）对h求导，并令其为0，不难得到，在

孔径带处的光线具有最大的球差（称剩余球差），其值为即最大剩余球差为边光二级球差的四分之一。校正球差的目标就是要使最大的剩余球差校正到系统允许的公差之内。

。此时物点发出的所有光线将沿球面的法线方向入射，即入射角对单个折射球面，可以证明，有三个物体位置可以不产生轴上点球差。这三个位置是：1.物点位于球面的球心处，即第一节轴上点球差三、单个折射球面的齐明点根据折射定律，折射角也为0，光线无偏折地通过球面，像点也将位于球心处，即如图（6-5）所示。

，，C-UA,A'图6-5物点位于球心处

第一节轴上点球差2.物点位于球面顶点，即。此时不论U角如何，所有入射光线射向此点，经折射后也都将经此点离开，即像点也位于顶点，，如图（6-6）所示

A'AOUnn'(>n)3.物点位于处。此时对于任意孔径角，有或，根据式（2-1）-

（2-4）计算得出，像点将位于处，与孔径角无关。如图（6-7）所示。

nA'-UCAn'(<n)I-I'图6-6物点位于顶点处

图6-7物点位于齐明点处

第一节轴上点球差上述不产生球差的物点位置，称为齐明点，结合1和3的两个齐明点位置可以构成无球差的齐明透镜。如图6-8所示为正、负齐明透镜。A'C2A,C1C1,AC2A'图6-8正、负齐明透镜第一节轴上点球差四、单透镜的球差对于单片薄透镜，其光焦度为透镜的光焦度是由成像要求决定的，当确定了透镜的光焦度后，根据上式，透镜的材料和曲率半径都是可以选择的。对于单透镜而言，减小球差的方法有两种，一是选择材料，二是改变透镜形状（或称透镜弯曲。）第一节轴上点球差由球差的形成可以得知，球面越弯曲，光线的入射角就越大，球差也就越大。例如，一个对无限远物体成像的凸平透镜，焦距为100mm，孔径高度取10mm，下表列出了三种不同折射率时的凸面半径及球差值单透镜焦距(mm)折射率凸面半径(mm)球差值(mm)1001.550-1.1751001.660-0.851001.770-0.68表6－1在保证光焦度不变的情况下，可以通过增加透镜的折射率来增大球面的曲率半径，因为选择高折射率的材料有利于减小球差。

第一节轴上点球差在材料选定后，要保证透镜的光焦度，必须为定值。保持该定值，如果改变，也随之变化，使得透镜的形状发生改变。或者说，同一光焦度的透镜可以有不同的形状。这种保持焦距不变而改变透镜形状的做法，称为透镜弯曲。

以物体在无穷远为例，图6-9给出了透镜不同形状下的球差变化曲线。可以看出，无论是正透镜还是负透镜，都存在一个最小球差的形状，称为透镜最优形式。第一节轴上点球差-5dL'001r32101r5dL'图6-9球差随透镜形状而变的曲线第一节轴上点球差同时从图6－9中还可以看到，正透镜总是产生负球差，负透镜产生正球差，单透镜是无法自身校正球差的，为获得消球差系统，必须采用正负透镜的组合，最简单的形式有双胶合透镜和双分离透镜，如图（6-10）所示。

图6-10双胶合透镜合双分离透镜

第二节慧差

一、慧差的概念和形成位于光轴以外的物点，由于偏离了共轴球面系统的对称轴位置，成像后的光束聚焦情况比轴上点要复杂得多。本节我们讨论由光束失对称所引起的像差—慧差。

为了清楚地了解慧差的概念和形成，我们从光束中选取两个互相垂直的平面光束来讨论，以此来近似说明整个光束的情况。其中之一是由光轴和主光线决定的面，称为子午面，另一个是过主光线并且与子午面垂直的面，称为弧矢面。如图6-11所示。

第二节慧差B弧矢面子午面z入瞳子午面是系统的对称面，也是光束的对称面，该平面内的光束经系统成像后仍位于该平面内。因此，可以用平面图形表示出子午光束的结构。图6-11轴外点的宽光束成像

第二节慧差图6-12中，轴外物点B发出充满入瞳的一束光，这束光以通过入瞳中心的主光线为对称中心。考察主光线z和一对上下光线a、b。折射前，上下光线相对于主光线对称，而折射后，上下光线不再对称于主光线，它们的相交点偏离了主光线。Bbz'a'az入瞳Y'bB'tb'cY'a-K't高斯像面Y'z图6-12子午慧差

第二节慧差为了分析这一原因，我们作一条连接轴外物点B和球心C的辅助光轴。显然，物点B可看作是辅助光轴上的一点，它发出的a、b光线对和主光线z对于辅助光轴相当于三条不同孔径角的入射光线，由于系统存在球差，三条光线不能交于一点，这就使得原本对称主光线的一对上下光线，出射后不再关于主光线对称。我们把这种上下光线对的交点到主光线的垂直距离称为子午慧差，记为KT′。它的大小反映了子午光束失对称的程度。第二节慧差由于a、b上下光线对的交点并不在理想像面上，为了计算上的方便，我们把上下光线对的交点高度用它们在像面上的各自交点的高度Ya′和Yb′的平均值代替，相应主光线的高度用主光线在像面上的高度YZ′表示，即子午慧差数学定义为

（6-7）

第二节慧差再看弧矢面的情况，图6-13所示的是物点B以弧矢光线成像的立体图，弧矢面内有一对前、后光线c、d，它们对称于主光线，因此也对称于子午面，因此，成像后的交点也必然在子午面内。这对光线在入射前虽然对称于主光线，但是它们的折射情况与主光线不同。B'cBzdc入瞳-K'sd'z'c'B'sB'zZ'高斯像面Y'zY'zB'dY'图6-13弧矢慧差

第二节慧差主光线在子午面内折射，而c、d光线在由入射光线和入射点法线所决定的平面内折射，因此它们虽相交在子午面内，但并没有交在主光线上，这样也使得这对光线出射后不再关于主光线对称，它们的交点到主光线的垂直距离称为弧矢慧差，记为KS′。同样也在像面上度量，即

（6-8）

式中各符号的意义与式（6-7）类似。

第二节慧差慧差是轴外物点以宽光束成像的一种失对称的垂轴像差，除了子午和弧矢两个截面外，其它截面也都有不同形式的失对称。如果入瞳为一圆环，轴外点进入系统的光线就是以物点为顶点、以主光线为对称中心的圆锥面光束，不同的孔径对应于不同大小的光锥。此光束经系统后，由于存在慧差，不复为对称于主光线的圆锥面光束，也不再会聚于一点，它与高斯像面相交成一封闭的复杂曲线，曲线的形状对称于子午面。光锥角度越大，失对称的程度也越大。整个入瞳可以看成由无数个大小不等的圆环组成，由轴外物点发出的所有通过这些圆环的圆锥面光束，经系统后在高斯像面上截得大小不等、形状不一、并在垂轴方向上相互错开的封闭曲线，最终叠加成一个形状复杂、对称于子午面的弥散斑。第二节慧差图6-14表示了某系统仅含初级慧差时的轴外物点所成的弥散斑图像，从图6-14的初级慧差图形中看到，主光线偏到了弥散斑的一边，在主光线与像面的交点处，聚集的能量最多，因此也最亮，在主光线以外，能量逐渐散开，光斑变暗，所以，整个弥散斑形成了一个以主光线的交点为顶点的锥形弥散斑，其形状像拖着尾巴的彗星，故得名慧差。显然，慧差影响了轴外物点成像的清晰度。B'z图6-14慧差图形慧差是轴外点以大孔径成像时的像差，不仅随孔径增大而增大，视场越大，慧差也越大，初级慧差与视场的一次方成正比。对于小视场大孔径的光学系统，一般采用相对慧差来表示，即小视场的慧差可用第二节慧差二、正弦差、等晕条件和正弦条件表示

（6-9）称为正弦差。正弦差的计算公式为其中，、是轴上点实际光线的入射、出射孔径角，、是相应的近轴光线孔径角，和分别是实际光线和近轴光线的像距，是入瞳的像距。

（6-10）（即系统轴上点的球差也为0）时，则有第二节慧差当正弦差为0，我们称此时系统满足等晕条件，显然，正弦差就是系统不满足等晕条件的标志。等晕条件可写成若系统满足等晕条件，则表明系统在小视场范围内的宽光束成像也同轴上点一样具有对称的结构，如果此时轴上点存在球差，近轴小视场也只存在球差而不存在慧差。当满足等晕条件（6-11）的同时又有利用拉赫公式，上式又可表示为或

（6-12）称为正弦条件。

（6-11）第二节慧差三、孔径光阑对慧差的影响慧差是由于轴外点宽光束的主光线与球面对称轴不重合，而由折射球面的球差引起的。如果将入瞳设置在球面的球心处（如图6-15所示），则通过入瞳的主光线与辅助光轴重合，此时轴外点同轴上点一样，入射的上下光线对将对称于该辅助光轴，出射光线也一定对称于辅轴，球面将不产生慧差。入瞳偏离球心越远，失对称的现象越严重，慧差也就越大。

a-yBAzbbazC图6-15入瞳设在球心处不产生慧差

第二节慧差由于慧差是垂轴像差，当系统结构完全对称，孔径光阑置于系统的中央，且物像放大率时，整个光束结构关于系统的中心点对称（如图6-16所示），系统前半部产生的慧差与后半部产生的慧差绝对值相同、符号相反，慧差完全自动消除。由于一般光学系统的放大率不等于－1，因此，绝对的对称结构并不适合，根据实际系统的物像关系，设计接近对称结构的光学系统，将有利于自动校正慧差。图6-16全对称结构慧差自动消除

第三节细光束像散

当轴外物点发出一束很细的光束通过入瞳进入系统时，成对的宽光束光线之间的失对称现象将被忽略，球差也不会对细光束有大的影响。但是，光束各截面之间仍然存在着失对称现象，且随着视场的增大而愈加明显。如图6-17所示，轴外B点发出细光束在球面上所截得的曲面显然已不是一个对称的回转曲面，它在不同截面方向上有不同的曲率，并在子午和弧矢这两个相互垂直的截面方向上具有最大或最小的曲率，表现出最大的曲率差。子午和弧矢面上的细光束，虽然各自能会聚于主光线上的一点，但相互并不重合，即一个轴外物点以细光束成像，被聚焦为子午和弧矢两个像，这种像差我们称其为细光束像散。第三节细光束像散zAB入瞳光轴折射面a0d0b0c0dbca图6-17轴外细光束成像

在包括子午和弧矢的各个截面方向上的折射半径都相同，成像后将会聚于像方光轴上的同一点。轴外物点B发出的细光束交于折射球面的上方，考察相交的小区域第三节细光束像散为了分析像散形成的原因，我们来比较轴上物点和轴外物点的成像情况。图6-17中，轴上物点A发出的细光束对称于光轴，光束与折射球面相交所截得的曲面，在子午面上的光线以曲线段相交于球面，并按该曲线段的曲率半径（犹如地球的径度方向）折射，因此，具有光束中绝对值最大的曲率半径。而在弧矢面上的光线以

曲线段相交于球面，并按该曲线段的曲率半径（犹如地球的纬度方向）折射，具有光束中绝对值最小的曲率半径。同一束光相对于折射面上不同的曲率半径折射，因此它们将聚焦在不同的位置。

第三节细光束像散B-lA入瞳sl'l'tt's'tB'sB'CB'A'图6-18弧矢像点和子午像点第三节细光束像散如果我们用和分别表示子午和弧氏光线的物距，和分别表示子午和弧氏光线的像距（图6-18），则它们各自的物像关系由以下杨氏公式计算得到

（6-13）其中，和是主光线在球面上的入射角和折射角。

（6-14）子午像点到弧矢像点都位于主光线上，通常将子午像距和弧氏像距投影到光轴上（如图6-18所示），

得和，并以两者之间的距离来表示像散，用符号来表示。即

（6-15）

，而弧矢分量将光束聚焦在弧矢像面上，形成子午面内的垂轴短焦线分别光滑地连接在一起，就构成了子午像面和弧矢像面。像散的存在使轴外物点成像时分别在子午像面和弧矢像面上各有一次聚焦，光束中的光线若按子午和弧矢方位分解，其中的子午分量将光束聚焦在子午像面上，形成垂直于子午面的短焦线第三节细光束像散将各个视场的和，在两次聚焦之间是连续的由线元到椭圆到圆再到椭圆再到线元的弥散斑变化(如图6-19所示)。

第三节细光束像散T'入瞳S'T'S'Y'z图6-19弧矢像面和子午像面第三节细光束像散如果被成像的物体由一些线条组成，经系统后，在子午像面上，这些线条在水平方向的分量聚焦得很清晰，而垂直方向的分量则看上去是模糊的；在弧矢像面上，这些线条在垂直方向的分量被清晰聚焦，而水平分量则显得模糊，如图6-20所示。因此，在有像散的情况下，接收器在像方找不到同时能让各个方向的线条都清晰成像的单一像面位置。

3子午像21物弧矢像图6-20有像散时的成像

第三节细光束像散通过对像散的形成的分析，不难想象，如果我们同对待慧差一样将入瞳置于球面的球心处（图6-21），那么，轴外点也同轴上点一样，整个细光束将对称于通过轴外物点的辅助光轴，光束的各个截面将具有相同的曲率半径，折射后将会聚于同一点，此时，像散为0。A入瞳BC图6-21入瞳位于球心处的球面不存在像散第四节细光束场曲

如果连接所有子午像点将得到一个弯曲的子午像面，连接所有的弧矢像点也可得到一个弯曲的弧矢像面。在视场中心处（即轴上像点），像散为0，细光束理想成像，因此子午像面和弧矢像面在视场中心处重合且与理想像面相切，如图6-22所示。这样，一个平面的垂轴物体，将形成两个弯曲的像面。RT图6-22子午场曲和弧矢场曲

第四节细光束场曲我们把平面物体成弯曲像面的这种成像缺陷统称为场曲，用它们与高斯像面的轴向距离来度量。对应地，子午像面为子午场曲，弧矢像面为弧矢场曲。它们分别用和表示，即

（6-16）

第四节细光束场曲在图6-23中，设球面物体Q与折射球面R同心。由分析可知，垂轴平面上的物体不可能成像在理想的垂轴像平面上，这种偏离现象随视场的增大而逐渐加大，使得垂直于光轴的平面物体经球面成像后变得弯曲。这种弯曲并没有考虑像散的影响，相当于像散为0时的情况，我们把这种没有像散时的像面弯曲称为匹兹伐场曲，用表示。

BAB1CA'B'B'1B'0图6-23像面弯曲

第四节细光束场曲在有一定视场的光学系统中，子午像面、弧矢像面和匹兹伐像面各不重合，如图6-24所示，并且面和面总在面的同侧，且面比面更远离由于面是像散为0时的场曲，而一般情况下像散总是存在的，因此匹兹伐面常不单独存在，而是附加在子午场曲和弧矢场曲中，实际得到的只能是子午和弧矢两个像面。

面。x'x',s't'pstOy/ymt's'px',tOx'sy/ym图6-24场曲

第四节细光束场曲场曲的存在使得实际像面总是弯曲的，用平面接收屏无法获得平面物体在整个视场范围的清晰成像，或是视场中心清晰而边缘模糊，或是边缘清晰，中心模糊（如图6-25所示）。图6-25场曲的成像第五节畸变

理想光学系统中，物像共轭面上的垂轴放大率为常数，所以像与物总是相似的。但在实际光学系统中，只有在近轴区域才有这样的性质。一般情况下，一对共轭面上的放大率并不是常数，随视场的增大而变化，即轴上物点与视场边缘具有不同的放大率，物和像因此不再完全相似，这种像对物的变形像差我们称为畸变。

第五节畸变在图6-26中，B点是平面物体的任一轴外点，过B点所作的辅助光轴与像面交于B0′，B0′点即为B点的理想像点。B点以细光束成像时交于辅轴上的B′点，B′B0′为B点的匹兹伐场曲。当B点以主光线成像时，交辅轴于B1′点，B1′B′为B点的球差，这是因为由B点发出的主光线相对于辅轴有一定孔径角，将产生球差。所以，主光线最终经B1′点交像面于BZ′点，偏离了理想像点B0′，产生畸变。再看看位于光轴上的A点，主光线与光轴重合，主光线的像点与理想像点在像面的中心点A′重合，因此轴上点不存在畸变。第五节畸变BA入瞳CB'y'zA'B'0y'图6-26主光线畸变由以上分析可以看出，畸变的形成既有场曲的因素也有球差的因素。第五节畸变畸变的度量有两种方式，一种是绝对畸变，又称线畸变，它表示主光线像点的高度与理想像点的高度之差，即另一种是相对畸变，即相对于理想像高的绝对畸变，通常用百分率表示，即

（6-18）

（6-17）第五节畸变一般情况下，畸变随视场增大呈单调变化，可在物面上取若干个视场点，计算出各个视场的畸变，并以视场为纵坐标，畸变值为横坐标，做出像面的畸变曲线，如图6－27所示。a)b)c)图6-27畸变图形

第五节畸变畸变的校正与光阑位置有关，常作为校正畸变的手段。对于单个折射面，由前面讨论的畸变的形成我们看出，如果将光阑设在球心处（如图6-28），主光线将沿辅轴通过球心（单个球面的节点），又沿着辅轴交于像面的B0′点，与理想像点重合，不产生畸变。对于单个薄透镜或薄透镜组，当孔径光阑与之重合时（如图6-29），也不产生畸变，这是因为此时的主光线通过透镜的主点（也是节点），沿理想光线出射之故。

图6-28光阑设在球心处不产生畸变

图6-29光阑与透镜重合处不产生畸变

第五节畸变当孔径光阑置于透镜的前方（图6-30），由主光线折射可以看出，B点成像得到负畸变，而当孔径光阑置于透镜的后方（图6-31），B点成像将得到正畸变。如果将孔径光阑置于两个透镜之间，由此不难分析，对前一个透镜成像，产生正畸变，而对后一个透镜成像则产生负畸变，两者可以部分抵消，故对于结构完全对称的光学系统，以成像时，畸变自动消除。事实上，凡对称式光学系统且以倍率成像时，所有的垂轴像差都能自动消除，慧差和畸变都属于此类像差。

zD'D'D孔径光阑D孔径光阑D'zD'图6-30光阑在透镜之前

图6-31光阑在透镜之后

第六节色差

大多数情况下，物体都以复色光（例如白光）成像，白光包含了各种不同波长的单色光，光学材料对不同波长的谱线有不同的折射率。第三章给出的透镜计算表明，透镜的焦距取决于两表面的曲率半径和材料的折射率，当半径确定后，焦距随折射率而变化。当白光经过光学系统时，系统对不同波长有不同的焦距，各谱线将形成各自的像点，导致一个物点对应有许许多多不同波长的像点位置和放大率，这种成像的色差异我们统称为色差。第六节色差色差是描述两种波长成像点的差异，对任意两个波长谱线都可以计算色差，但一般情况下，都是根据接收器光谱响应范围的来选择计算色差的光谱谱线。如果接收器用于可见光（例如以人眼或普通感光材料作为接收器），通常选择可见光谱范围的两端谱线中的F光（紫光）和C光（红光）来计算色差，用它们之间的像点差异来表示白光光学系统的色差。色差的几何描述有两种：描述两种波长像点位置差异的称位置色差或轴向色差，通常对轴上点计算；描述两种波长像点高度（或放大率）差异的称倍率色差或垂轴色差，通常对轴外点计算。，二者之差称为该孔径的位置色差，记为ΔL′FC，即第六节色差一、位置色差

1．位置色差的概念与表现由图6-32，以白光作为光源的轴上物点A发出一条孔径角为U的光线，其中F谱线和C谱线在像方交光轴于和，像方截距分别为和（6-19）AA'l'DCl'A'l'FFCDA'图6-32位置色差若A点以近轴光成像，应用近轴成像公式（2-6）-（2-8），代入相应的折射率计算，同样会因折射率的差别得到不同的F光和C光近轴像点，其像距分别为和第六节色差。近轴区域的位置色差表示为

（6-20）

近轴区域的位置色差也称初级位置色差。需要特别指出，以复色光成像的物体即使在近轴区域也不能获得复色光的清晰像。图6-31中，如果接收屏设在点，将看到像点是一个中心为蓝色外圈为红色的彩色弥散斑，如果接收屏设在点，则彩色弥散斑的中心为红色，外圈为蓝色。

第六节色差与不同的孔径有不同的球差相对应，不同的孔径也有不同的位置色差。为了了解光学系统的位置色差状况，与计算球差一样，取若干个孔径系数，对F光和C光分别进行光路计算，求得它们各个孔径时的像方截距，按图6-33在同一个坐标系中，作出各自的球差曲线，同时绘出主色光（D光）的球差曲线，这样作出的像差曲线可以同时直观地反映出几种像差：①各单色光的球差随孔径的变化；②位置色差随孔径的变化；③球差随色光的变化（色球差）；④二级光谱。

0.850.3-0.100.10.50.7071hhm0.30.2dL'CFDDL'FCD图6-33位置色差曲线和二级光谱第六节色差三条曲线在横轴上的交点代表了三种色光各自的高斯像点，也反映了近轴的位置色差。此外，我们还定义球差的色变化为色球差，用表示，即式（6-21）表明，色球差的大小不仅与色差有关，还与系统的球差有关。图6-33还反映了这样一种情况，F光和C光在0.707孔径处重合，表明在该孔径处校正了色差。一般来讲，校正色差只能对个别孔径带进行，特别应对0.707孔径带校正色差，这样可以使最大孔径的色差与近轴区域的色差绝对值相近，符号相反，整个孔径内的色差将会获得最佳的状况。当0.707孔径消色差后，F光和C光的交点与接收器最敏感的D光像点位置一般并不重合，其间距离称为二级光谱，用ΔL′FCD表示，即

（6-22）

（6-21）第六节色差2．薄透镜系统的位置色差及校正

由于色差在近轴区域也会产生，因此它比球差更严重地影响光学系统的成像质量，校正色差具有重要意义。下面我们介绍薄透镜系统的初级位置色差及其校正的一些简单方法。对于单个薄透镜，对高斯公式（3-7）微分，可得

对薄透镜的焦距公式微分，可得，

（6-23b）

（6-23a）上两式中，为像点的初级位置色差；为物点的色差，为F光与C光的折射率差，称为介质的平均色散。

第六节色差根据以下关系并引入表征光学玻璃材料色散的一个常数（称为平均色散系数或阿贝常数）

（6-24）

（6-23a）式又可表示为由于物体本身不存在色差，即，上式又可写成

（6-26）

（6-25）式（6-26）是单透镜初级位置色差的表达式，从中可知，单透镜本身不能消色差，且正透镜产生负色差，负透镜产生正色差，所以，光学系统校正色差必须采用正负透镜组合。第六节色差假设光学系统为薄透镜系统，可以利用式（6-26）对每个薄透镜或薄透镜组进行计算，并注意到物和像在相邻光组间过渡时有以及（原物点没有色差）。得到整个薄透镜系统的初级位置色差为

（6-27）式（6-27）表明，在光学系统中，各透镜对色差的贡献除与本身的光焦度大小和阿贝常数有关外，还与它在光路中所处的位置有关。同一透镜，当处于光线入射高度h大的位置，色差贡献就大，反之亦然。消位置色差的条件应使（6-27）式中的求和式为0。

第六节色差对于紧密接触的薄透镜系统，光线在各透镜上的高度相同，可以将h参量从式（6-27）中的求和式里提出来，这样，消色差的条件成为。

（6-28）

这里，我们讨论最简单的也是最常用的接触双薄透镜组（双胶合或有微小间隔的双分离正负透镜组）的消色差组合。根据式（6-28），双接触薄透镜的消色差条件为同时，透镜组还必须满足总光焦度，即

（6-30）

（6-29）第六节色差联立式（6-29）和（6-30），可以解得消色差时的各透镜的光焦度为、式（6-31）就是在满足总光焦度的前提下，消色差双接触薄透镜组的光焦度计算。该式表明，在总光焦度不为0的情况下，为使（6-31）有解，正负透镜必须采用两种不同的材料，并且两种材料的阿贝常数之差应尽可能大，以使各透镜的光焦度不致太小，否则引起其它像差校正的难度。

（6-31）的正透镜的近轴位置色差曲线，在无限远的白光照射下，各光谱谱线焦点的位置随波长呈单调变化，数值也较大。图6-35是一个总焦距为100第六节色差图6-34是一个焦距为10