平面解析几何初步知识小结

平面解析几何初步知识小结知识体系网络：本章知识体系网络（1）1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围0°≤α<180°，熟记斜率公式k=

，该公式与两点顺序无关．已知两点坐标(x1≠x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，当x1＝x2，y1≠y2时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角为90°.直线的倾斜角与斜率热点一

2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的增区间[0，)，当α取值在此区间内由0增大到

(≠)时，k由0增大到＋∞；当α∈(，π)时，k也是关于α的单调递增函数，当α在此区间内由(≠)增大到π(≠π)时，k由－∞增大到0(≠0)．当然，解决此类题时，也可利用数形结合思想，借助图形，直观地作出判断例1

已知直线l过点P(－1,2)且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．【思路点拨】直线l绕点P旋转，观察斜率变化．

当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是[5，＋∞)；

当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是(－∞，－]．∴直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞)．法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.∵A、B两点在直线的两侧或其中一点的直线l上，∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞)．【点评】法一运用了数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝tanα的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的．法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决．1．两直线的位置关系在高考题中出现频繁，且多在填空题中进行考查．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．直线的位置关系热点二2．若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)．

直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)．

注意：用直线方程的“系数关系”来判断直线的位置关系，包含了其中所有可能的情况，避免了讨论斜率是否存在的情况，在解决问题时比较方便，应学会应用．例2

求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．【思路点拨】由平面几何知识可知，若l1、l2关于直线l对称，它们必须满足条件：若点A在直线l1上，那么点A关于l的对称点必在l2上，反之亦成立．【解】法一：设点A(x，y)是直线l2上任意一点，它关于l的对称点为A′(x0，y0)，∵点A′(x0，y0)在直线l1：2x＋y－4＝0上，∴2·

＋

－4＝0.化简，得2x＋11y＋16＝0.法二：特殊点法由

可解得l1与l的交点M(3，－2)．在l1上取一特殊点(2,0)，它关于直线l的对称点(x0，y0)应在所求直线l2上．由由两点式，得直线l2的方程为

＝

，即为2x＋11y＋16＝0.解得【点评】常见的直线的对称有以下几种情况：直线l：Ax＋By＋C＝0，关于x轴的对称直线为Ax＋B(－y)＋C＝0；关于y轴的对称直线为A(－x)＋By＋C＝0；关于y＝x的对称直线为Bx＋Ay＋C＝0；关于直线y＝－x的对称直线为A(－y)＋B(－x)＋C＝0.本章知识体系网络（2）

如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D、E、F的值即可．圆的方程热点三例3根据下列条件求圆的方程：(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)已知一圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程；(3)已知圆的半径为

，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.【思路点拨】结合圆的几何性质或待定系数法解之．又圆的半径r＝OC＝5，所以所求圆的方程为

(x-4)2+(y+3)2＝25.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①将P、Q点的坐标分别代入①得4D-2E+F=-20②D-3E-F=10③令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4，其中y1、y2是方程④的两根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48⑤解②、③、⑤组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12，或D＝－10，E＝－8，F＝4，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.(3)法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10.由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a，⑥由圆在直线x－y＝0上截得弦的长为4，将y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.由弦长公式得

=4，化简得a－b＝±2，⑦解⑥⑦得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二：根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．由勾股定理，可得弦心距又已知b＝2a，⑨解⑧⑨得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，∴可求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.热点探究【点评】求圆的方程有两类方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：

①根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．在解决直线与圆的位置关系的问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算，讨论直线与圆的位置关系时，一般不用Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线距离d<r，d＝r，d>r，分别确定相交、相切、相离的位置关系．涉及圆的切线时，要考虑过切点的半径与切线垂直，计算弦长时，要用半径、弦心距、半弦构成直角三角形．直线与圆的位置关系热点四直线与圆的位置关系热点四

已知圆C：x2＋y2－2x＋2y＋1＝0，与圆C相切的直线l交x轴、y轴的正方向于A、B两点，O为原点，OA＝a，OB＝b(a>2，b>2)．(1)求证：圆C与直线l相切的条件是(a－2)(b－2)＝2；(2)求线段AB中点的轨迹方程；(3)求△AOB面积的最小值．例4热点探究【思路点拨】

(1)由截距式设出直线方程，再将圆的方程化为标准形式，利用圆心到直线的距离求证．(2)设出AB中点坐标代入(1)即可．(3)利用三角形面积公式结合(1)的结论可解．【解】

(1)证明：由题意，知直线l的方程为

＋

＝1，即bx＋ay－ab＝0.圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1.∵直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离等于1.即

＝1.化简整理得(a－2)(b－2)＝2.(2)设AB的中点为M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(1)的结论得(2x－2)(2y－2)＝2，即(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．(3)由(1)的结论及S△AOB＝

ab，有S△AOB＝·[－2＋2(a＋b)]＝－1＋a＋b＝(a－2)＋(b－2)＋3≥2＋3＝2＋3，∴S△AOB的最小值为2＋3.热点探究【点评】直线与圆的位置关系分为相交、相切、相离，牢记各种位置关系的条件和性质，判断它们的位置关系时可根据圆心到直线的距离与半径的关系，也可根据它们构成的方程组的实数解的个数进行判断．数形结合是解析几何的灵魂1．处理解析几何问题，要自觉运用数形结合的思想方法加以分析解决．2.“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们的一种普遍思维习惯在数学中的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．解析几何研究问题中的主要方法——坐标法，就是体现数形结合思想的典范．数形结合思想方法3、熟悉一些常见表达式的几何意义：①、可视作点（x，y）与点（0，0）连线的斜率；②、(x-1)2+(y+2)2可视作点（x，y）到点