常微分方程习题二

常微分方程习题课2一存在唯一性定理定理1考虑初值问题命题1

初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2命题4命题3命题5二、近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里1.解的延拓定理定理三、解对初值的连续性和可微性定理2.解对初值的连续依赖性定理条件:

I.

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;II.是(1)满足的解,定义区间为[a,b].结论:

对

,

使得当时,方程(1)过点的解在[a,b]上也有定义,且方程3.解对初值的连续性定理条件:

在G内连续且关于满足局部Lips.条件;方程结论:在它的存在范围内是连续的.,作为的函数4.解对初值和参数的连续依赖定理5.解对初值和参数的连续性定理6.解对初值可微性定理（4.1）四、n阶线性微分方程（4.2）定理1：如果方程（4.1）存在惟一的解

上，满足下列及都是区间上的连续函数，则对于任一及任意的定义于区间（4.3）初始条件伏朗斯基行列式:由定义在区间上的k个k-1次可微函数所作成的行列式称为这些函数的Wronskian行列式,通常记做定理3

如果函数组

在区间(a,b)上线性相关,则在(a,b)上它们的Wronskian行列式恒等于零,即.定理4

若方程（4.2）的解

上线性无关,则在该区间上任何点都不为零，即在区间定理6(通解结构定理)若

线性无关的解,则方程(4.2)得通解可表示为是方程（4.2）的n个其中是任意常数，且通解（4.5）包括（4.5）方程（4.2）的所有解。定理7设为方程（4.2）的基本解组，而为方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表为(4.8)其中为任意常数，而且该通解包括了方程（4.1）的所有解。常数变易法求特解为求（4.1)的一个特解,将(4.8)中的常数看成关于t的函数,此时(4.8)式变为是方程（4.2）的n个线性设无关的解，因而(4.2)的通解为(4.9)(4.10)将(4.10)代入(4.1)得到一个所满足的关系式.由上面方程组求得积分得

得（4.1）的通解定理8

如果方程（4.2）中所有系数都是实值函数.而是该方程的复值解,则以及共轭复数的实部和虚部也都是方程（4.2）的解.定理9

如果方程有复值解都是实值函数，则U(t)和V(t)分别是方程其中和的解。

常系数齐次线性方程

其中为常数。（4.11）求方程（4.11）的通解的一般步骤：第二步计算方程相应的解

第一步求方程的特征方程及特征根

a)对每一个单实根

有解b)对每一个m>1重实根方程有m个解方程有两个如下形式的解：方程有2m个如下形式的解：

第三步根据第二步写出基本解组和通解c)对每一个重数为1的共轭复根

d)对每一个重数m>1的共轭复根

欧拉方程

这里为常数.解法一：令

则解法二：直接代入法以代入方程并约去因子得确定K的代数方程常系数非齐次线性方程

（4.24）比较系数法方程（4.24）有特解形如类型Ⅰ其中是实常数.（4.25）其中k为特征方程的根的重数，为待定常数。类型Ⅱ

其中设为常数，而是带实系数的t的多项式，其中一个的次数为m，而另一个的次数不超过m，则方程有特解形如(4.29)其中k为特征方程的根的重数，而P(t),Q(t)为待定的带实系数的次数不超过m的t的多项式。特殊情形：或方法：复数法。先用类型Ⅰ的方法求的特解，再由定理9得到所求方程的解——取实部或虚部。

解题步骤:第一步:第二步:求上面方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解五、可降阶的一些方程类型

1、不显含自变量x的方程

2不显含自变量t的方程,

一般形式:因为

解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解

2、不显含自变量t的方程

一般形式:3.齐线性方程求解问题归结为寻求方程的n个线性无关的特解。解法：已知方程的一个解，利用变换将方程降低一阶。

一般地，已知方程的k个线性无关解，可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶，且新得到的n-k阶方程也是齐次的。1.设是方程的解，且满足在R上连续，试证明：存在常数C，使得证明：因为方程的两个解，故在R上有定义，且则所以线性相关。（见书124页定理4.）即存在不全为零的数，使得因所以否则有可得即线性无关，矛盾。故2.在方程中，已知在R上连续，证明：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切。证明：由已知条件知该方程满足解的存在唯一