误差理论课件(10修改稿)课件

绪论测量误差与数据处理1物理实验基本程序和要求1.实验预习(1)实验前仔细阅读实验教材。要求以理解教材中将要做的实验目的、原理为主，了解实验所用的仪器以及实验内容与要求，明白实验所要观测的是哪些物理量。

(2)写出预习报告（内容包括实验题目、目的、原理、主要计算公式、原理简图）。(3)准备原始实验数据记录表格。2.实验操作（1）上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等工具。（2）预习报告必须于课前交给教师审批，预习报告合格者允许进行实验；没有预习或预习不符合要求者，不得进行实验。（3）操作前，认真听取教师简要讲述，必须在了解仪器的工作原理、使用方法、注意事项的基础上，方可进行实验。（4）实验操作过程中，应做到严格、细致、准确、稳妥、实事求是，绝不能拼凑数据。

（5）认真记录测量数据，实验记录中的每一个数据的位数都应符合有效数字的表达规范，如发现记录的数据有错误，可在错误的数据上画一直线或打叉。（6）完成实验后要将实验数据交给教师审查签字，达到要求后，再将实验仪器整理还原，方可离开实验室。（7）离开实验室后不允许修改记录的数据。3．撰写实验报告物理实验报告一般应包括以下几项内容：（1）实验名称。（2）实验目的。（3）实验仪器。

（4）实验原理。简要叙述实验的物理思想和依据的物理规律，主要计算公式；电学和光学实验应画出相应的电路图或光路图。（5）实验内容及步骤。根据实际的实验过程写明实验的关键步骤。（7）注意事项。（8）数据处理及分析。

实验报告要用统一的实验报告册书写，字体要工整，文句要简明。原始数据要附在报告中一并交给教师审阅，没有原始数据的实验报告是无效的。

1.学生进入实验室需带上预习报告和记录实验数据的表格，经教师检查同意后，方可进行实验。2.遵守课堂纪律，保持安静的实验环境。3.使用电源时，务必经过教师检查线路后方能接通电源。4.爱护仪器。进入实验室不能擅自搬弄仪器,实验中严格按教材或仪器说明书操作，如有损坏照章赔偿。公用工具用完后应立即放回原处。5.做完实验，经教师审查测量数据并签字后，学生应将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐后离开实验室。6.按要求及时上交实验报告。实验室规则教学安排

本学期教学计划26学时，其中讲课4学时（2次），实验22（8次）学时。第1章测量误差及数据处理§1.1测量与误差§1.2误差处理§1.3仪器误差§1.4测量结果的不确定度估计§1.5有效数字及其运算法则§1.6实验数据处理的基本方法§1.1.1测量1.测量的基本概念测量是利用仪器设备通过一定测量方法，将待测物理量与一个选做为标准的同类物理量进行比较，确定待测物理量大小的过程。测量三个要素

（1）测量方法；（2）仪器设备；（3）测量结果

比较法

米尺

90.70cm§1.1测量与误差测量的目的：获得测量值(数据)。例如：用最小刻度为mm的米尺测量物体的长度。90.70cm2.测量值120.50cm一个物理量的测量值必须由数值和单位组成，两者缺一不可。测量值＝数值+单位测量数值只有赋予了单位才有具体的物理意义例如：（1）120.50，不知道表示什么物理量；（2）120.50cm，表示长度；（3）120.50Kg，表示质量。按测量结果获得方法：测量可分为直接测量和间接测量在物理量的测量中，绝大多数是间接测量，但是，直接测量是一切测量的基础。3.测量的分类（1）直接测量用标准量与待测量直接进行比较。例如：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流；等等。

（2）间接测量经过直接测量与待测量有函数关系的物理量，再经过运算得到待测物理量的测量方法。例如：用钢卷尺测量桌子的面积S=a×b=S(a,b)按测量条件：测量可分为等精度测量和不等精度测量3.测量的分类（1）等精度测量相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。相同测量条件：同一测量水平的观测者同一精度的仪器同样的实验方法同样的实验环境等精度测量测量的所有数据，可信赖程度相同，数据处理过程中的地位相同，一视同仁。（2）非等精度测量不相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。非等精度测量测量的所有数据，可信赖程度不同，数据处理过程中的地位不同，按测量精度的高低，区别对待。4测量的精密度、准确度和精确度（1）精密度。表示重复测量所得数据的相互接近程度（离散程度）。（2）准确度。表示测量数据的平均值与真值的接近程度。（3）精确度。是对测量数据的精密度和准确度的综合评定。

以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值，每次测量相当于一次射击。

（a）准确度高、（b）精密度高、（c）精密度、准确精密度低准确度低度均高1.真值与误差（1）真值：物理量在客观上存在着的确定数值。真值是一个抽象的概念，一般无法得到。真值及其变化规律的未知性，正是科学实验的意义所在。实际应用中真值约定的方式：理论真值；公认真值；计量约定真值；标准相对真值；等等。（2）误差误差＝测量值-真值§1.1.2误差测量不能得到真值，但可以减小测量误差，估算误差范围。2.误差的基本性质普遍性：存在一切测量之中，贯穿于测量始终。不可知性：一般真值是未知的，误差就无法知道。2.误差的表示形式（1）（绝对）误差用绝对大小给出的误差，表示为δ＝x－x0

相对误差反映了测量精度的高低，无单位，用百分数表示。绝对误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，可正可负，有单位。（2）相对误差绝对误差与被测量真值的比值，表示为E＝δ/x0×100％例如：测量两个物体的长度分别为L1=100.0mm，L2=80.0mm；绝对误差分别为δ1=0.8mm，δ2=0.8mm。相对误差分别为：E1=0.8%，E2=1.0%。测量值真值§1.1.3误差的分类粗大误差系统误差随机误差按产生的原因和性质分类：误差的分类（2）随机误差在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，每次测量的误差可能是正或负，也可能是比较大或小，这是难以预测的，而且毫无规律而言。但是，如果测量次数很多时，误差的出现又符合一定的统计规律。（1）系统误差在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，保持恒定（大小、正负不变）或按特定规律变化的误差。来源:1）仪器误差；2）理论误差；3）观测误差；4）环境条件。随机误差无法从实验中完全消除，但多次测量可以减小。随机性，补偿性按误差掌握程度：已定系统误差和未定系统误差。按误差变化规律：不变系统误差和变化系统误差。系统误差尽量消除或减小误差的分类（3）粗大误差在测量中某种非正常原因所引起的错误，也称疏失误差。如读数错误，记录错误，操作错误，估算错误等等。说明系统误差与随机误差关系系统误差由测量过程中某一突出因素变化引起。随机误差由测量过程中多种因素微小变化综合引起。存在粗大误差时，测量值明显偏离被测量的真值。数据处理时，先检验测量数据是否存在粗大误差，剔除含有粗大误差的数据。随机误差与系统误差不存在绝对的界限。在一定条件下，随机误差和系统误差可以相互转化。§1.2误差的处理§1.2.1处理系统误差的一般知识

发现系统误差，尽可能消除或减小。（参阅物理实验中心新编大学物理实验教材§1.2.1)1、随机误差的正态分布规律在一定的测量条件下设某一物理量的真实值为x0，对其多次重复测量值x1，x2，…，xn，则各次测量的随机误差可表示为§1.2.2随机误差的统计处理f(δ)δ概率密度函数误差随机误差可以应用概率统计理论进行估算概率密度分布函数为随机误差的正态分布规律式中σ为标准误差。令概率密度分布函数的二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率密度分布曲线拐点的横坐标值。随机误差的正态分布规律遵从正态分布规律的随机误差特征：单峰性：绝对值小/大的误差可能性大/小对称性：大小相等的误差正、负机会均等有界性：绝对值非常大的可能性几乎为零抵偿性：正负误差相互抵消f(δ)δ概率密度函数误差随机误差可以应用概率统计理论进行估算随机误差的正态分布规律概率密度分布函数f（δ）的意义是：在误差值δ附近，单位间隔内误差出现的概率，测量值的随机误差出现在区间（δ，δ+dδ）概率为f（δ）dδ，即图中阴影内所包含的面积元。按照概率理论，误差出现在区间（-∞，+∞）范围内是必然的，即概率为100%。随机误差可以应用概率统计理论进行估算曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为P称为置信概率2．标准误差的物理意义标准误差的物理意义测量值超过±3σ范围的情况几乎不会出现，所以我们把3σ称为极限误差。在实际测量中置信概率有不同的取值，根据国家计量技术规范，在写出测量结果的表达式时，要注明它的置信概率。在P=0.95时，不必注明P值；当P取0.68或0.99时要求注明P值。在物理实验教学中，我们约定取置信概率P=0.95。多次测量，x1、x2、…、xn，测量列的算术平均值为：当测量次数n趋于无穷时，算术平均值趋于真值。其中xi为第i次测得值。误差的对称性和抵偿性§1.2.2随机误差的处理

1、算术平均值和标准偏差

算术平均值和标准偏差当测量次数n为有限次时，测量列的算术平均值作为真值的最佳估计值；其标准差常采用贝塞尔法来估计。多组等精度重复测量时，各测量列算术平均值也具有离散性，用算术平均值的标准差来描述。算术平均值的标准差一个测量列中各测量值的标准偏差多组等精度重复测量时，算术平均值的标准差偏差：4．t分布当测量次数很少（n<10）时，误差的分布就不服从正态分布，从而过渡到t分布（即学生分布）。t分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别是分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就要将随机误差的估算值取大一些。即在贝塞尔公式的基础上再乘以一个tp因子，tp与测量次数有关，也与置信概率有关。

tp因子与测量次数、置信概率的对应关系

n2345678…∞(P=0.68)1.841.321.201.141.111.091.08…1.00(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.36…1.96(P=0.99)65.669.925.844.604.033.713.50…2.58对于服从正态分布的随机误差，出现在±S区间内概率为68.3%，与此相仿，同样可以计算，在相同条件下对某一物理量进行多次测量，其任意一次测量值的误差落在-3S到+3S区域之间的可能性（概率）。其值为1.拉依达判据§1.2.3实验中错误数据的剔除如果用测量列的算术平均替代真值，则测量列中约有99.7%的数据应落在区间内，如果有数据出现在此区间之外，则我们可以认为它是错误数据，这时我们应把它舍去，这样以标准偏差Sx的3倍为界去决定数据的取舍就成为一个剔除坏数据的准则，称为拉依达准则。但要注意的是数据少于10个时此准则无效。对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在±3S附近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过±3S几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少量的测量值来计算S，这本身就存在不小的误差。因此当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用肖维勒准则。按此判据给出一个数据个数n相联系的系数Gn，当已知数据个数n，算术平均值和测量列标准偏差S，则可以保留的测量值xi的范围为2.肖维勒准则Gn系数表

nGnnGnnGn51.65132.07252.3361.73142.10302.3971.80152.13402.4981.86162.15502.5891.92172.171002.80101.96182.20112.00192.22122.03202.24仪器的极限误差（仪器误差）：仪器误差属于未定系统误差，影响因素多，规律复杂，一般只能给出最大允许误差的估计值。即仪器的极限误差Δ仪。极限误差的获得：(1)说明书、计量部门检定等；(2)由仪器的准确度级别来计算；(3)未给出仪器误差时估计:

①连续可读仪器:最小分度1/2②非连续可读仪器:最小分度③数字式仪表：取末位±1§1.3仪器误差仪器名称量程分度值仪器误差钢直尺0~300mm1mm±0.1mm钢卷尺0~1000mm1mm±0.5mm游标卡尺0~300mm0.02,0.05mm分度值螺旋测微计0~100mm0.01mm±0.004mm物理天平1000g100mg±50mg水银温度计-30~300℃1℃,0.2℃,0.1℃分度值读数显微镜0.01mm±0.004mm数字式电表最末一位的一个单位指针式电表0.1,0.2,0.5,1.01.5,2.5,5.0±量程×a%A.由仪器的准确度表示②.仪器误差的确定：数字秒表:最小分度=0.01sC.未给出仪器误差时非连续可读仪器测量不确定度是对测量结果不确定范围的标度，也可以理解为测量误差可能出现的范围，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度，也表示待测量的真值可能在某个量值范围的评定。不确定度是与测量结果相联系的一种参数。基本定义：对测量结果可信赖程度对评定。不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度大，可信赖程度低；不确定度小，可信赖程度高。§1.4测量结果的不确定度估计不确定度的表示形式绝对不确定度：△相对不确定度：E测量结果的表示形式被测量x，最佳估计值不确定度，完整的测量结果表示为（单位）不确定度的分类按评定方法的不同，可分成两类：A类不确定度和B类不确定度。A类不确定度：用统计方法评定的不确定度，△AB类不确定度：用非统计方法评定的不确定度，△B测量结果：mm(P=0.683)真值以68.3%的概率落在区间内测量值x和不确定度单位置信度（2）B类不确定度只考虑仪器误差，标准不确定度的B类分量为最佳估计值多次测量，x1、x2、…、xn，测量列的算术平均值可表示为：§1.4.1不确定度的分类多次测量（1）A类不确定度直接测量的标准不确定度的A类分量用算术平均值的标准差公式估算。用算术平均值作为直接测量量的最佳估计值。§1.4.2合成不确定度直接测量的不确定度估计§1.4.2合成不确定度单次测量有时因条件所限不可能进行多次测量(如地震波强度、雷电时电晕电流强度等)；或者由于仪器精度太低，多次测量读数相同，测量随机误差较小；或者对测量结果的精度要求不高等情况，往往只进行一次测量。单次测量时，A类不确定度，无法考虑；最佳估计值即测量值本身。单次测量合成不确定度只考虑B类分量为测量结果的表示用合成标准不确定度表示测量结果。直接测量的不确定度估计一、间接测量的最佳值二、间接测量的不确定度传播公式间接测量量N的不确定度与各直接测量量的不确定度有关，它们之间的关系由标准差传播公式表示为间接测量是利用已知函数关系式的转换测量。间接测量量：N直接测量量：x,y,z,…函数关系形式为：2．间接测量结果的合成不确定度例如：间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。两边求微分得:§1.4.3有关不确定度的数据处理过程与实例1．单次直接测量的数据处理

2．多次直接测量的数据处理对多次直接测量的数据，进行处理的一般步骤是：（1）计算被测量的算术平均值（2）求出各测量值的残差（3）用贝塞尔公式求出测量列的标准偏差。（4）审查测量数据，如发现有异常数据，应予以舍弃。舍弃异常数据后，再重复步（1）、（2）、（3）、（4），直至完全剔除异常数据。（5）求A类不确定度（6）求出总不确定度（7）表示出最后测量结果，直接测量量数据处理举例某长度测6次,分别为29.1829.1929.2729.2529.2629.24(cm)仪=0.05cmcm2、计算解：1、无可定系统误差3、计算挑选最大最小值比较4、剔除异常值所以无异常值5、计算不确定度有效数字保留1位,且与平均值的最后一位对齐.8、最后结果：6、计算：7、计算：直接测量问题用0~25mm的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：D1=3.121mm，D2=3.128mm，D3=3.125mmD4=3.123mm，D5=3.126mm，D6=3.124mm写出完整的实验结果。解：①求算术平均值②求不确定度A类分量③求不确定度B类分量④计算合成不确定度⑤完整的测量结果表示注意：测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，相对不确定度的有效数字，单位。3、间接测量量数据处理(2)、计算(1)、计算(3)、计算(4)、最后结果{间接测量量数据处理举例测得某园柱体质量M，直径D，高度H值如下，计算其密度及不确定度。代入数据计算密度相对不确定度总不确定度测量结果试求体积V并表示多取一位实验结果。解：①求V：间接测量问题用千分尺测量圆柱体的体积V，已求得直径为：注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，至少位数相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的有效数字应符合有效数字运算法则，或多取一位。②求V的不确定度：3、间接测量量数据处理(2)、计算(1)、计算(3)、计算(4)、最后结果{根据不确定度传播公式：③实验结果表示：不确定度的有效数字首位是1或2可以取二位，但不能超过二位。§1.5有效数字及运算规则数据左起第一位非零数起,到第一位欠准数止的全部数字。有效数字=准确数字+欠准数位§1.5.1有效数字的一般概念

有效数字来源于测量时所用的仪器。我们的任务是使测量值尽可能准确地反映出它的真实值。有两个特征：（2）在最小刻度之间可估计一位。欠准位准确位（1）以刻度为依据可读到最小刻度所在位。

3536(cm)[1]位置为35.00cm,不能写成35cm。[1][2]位置为35.40cm[2][3][3]位置介于35.7--35.8之间,可以估计为35.75.35.7635.77，不妨取35.76cm。

估计值只有一位，所以也叫欠准数位或可疑数位。有效数字的特点（1）位数与单位变换或小数点位置无关。35.76cm=0.3576m=0.0003576km（2）0的地位0.00035763.0053.000都是四位（3）特大或特小数用科学计数法§1.5.2有效数字的读取

进行直接测量时，由于仪器多种多样，正确读取有效数字的方法大致归纳如下：1、一般读数应读到最小分度以下再估一位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。2、有时读数的估计位，就取在最小分度位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下一位。3、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如在“灵敏电流计研究”中，测临界电阻时，调节电阻箱“”，仪器才刚有反应，尽管最小步进为0.1电阻值只记录到“”。4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。§1.5.3有效数字的运算规则准准准欠欠欠[1]加减：与位数最高者对齐。[2]乘除：一般可与位数最少者相同。[3]幂运算、对数（指数）、三角函数(反三角）不改变有效数字位数。加、减法约简可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。乘、除法在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。多一位的情况全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。比位数最少者少一位的情况。有效数字位数与底数的相同乘方、立方、开方初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？问题是在位上有波动，比如为，对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。根据微分在近似计算中的应用，可知：第四位为欠准数位。不参与有效数字运算常数1.不确定度的有效数字

一般情况下不确定度的有效数字取一位，精密测量情况下，可取二位。2.测量结果的有效数字

测量结果最佳值的有效数字的末位与不确定度首位取齐。3.舍入规则：四舍六入五凑偶舍入法则§1.6

.1、列表法表1.不同温度下的金属电阻值n1234567t(C)10.526.038.351.062.875.585.7R()10.42310.89211.20111.58612.02512.34412.670物理量的名称(符号)和单位有效数字正确§1.6实验数据处理基本方法注意:[1]根据数据分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。[2]将实验点的位置用符号X或等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线的名称。§1.6.2作图及图解法[3]线性关系数据求直线的斜率时,应在直线上选相距较远的两新点A.B标明位置及坐标A(X1Y1),B(X2Y2)由此求得斜率。

作图法特点:

简单明了。缺点:有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。非线性关系数据可进行