22-1函数的极限定义、性质

第二节函数的极限三、单侧极限四、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限二、函数极限的性质五、两个重要极限2/3/20231福州大学数学与计算机学院x的变化趋势有:自变量的变化过程2/3/20232福州大学数学与计算机学院一、自变量趋向有限值时函数的极限问题:2/3/20233福州大学数学与计算机学院1.xx0时f(x)的极限定义若存在常数A,对任意给定的正数>0,总存在正数>0,只要f的定义域中的点x

满足0<|xx0|<时，恒有|f(x)A|<成立，则称常数

A是函数f(x)

当xx0时的极限,简称A是f(x)在

x0处的极限.2/3/20234福州大学数学与计算机学院几何意义2/3/20235福州大学数学与计算机学院说明2/3/20236福州大学数学与计算机学院例1证2/3/20237福州大学数学与计算机学院例2证函数在点x=1处没有定义.2/3/20238福州大学数学与计算机学院例3证2/3/20239福州大学数学与计算机学院例4证2/3/202310福州大学数学与计算机学院用定义证明的过程：1.把|f(x)A|化简为|f(x)A|k|xx0|;2.要|f(x)A|,只要k|xx0|;4.验证.2/3/202311福州大学数学与计算机学院几何意义2/3/202312福州大学数学与计算机学院性质11.极限的局部保序性、保号性二、函数极限的性质2/3/202313福州大学数学与计算机学院证上两式同时成立,2/3/202314福州大学数学与计算机学院性质2(保序性)推论(不等式性质)证明:反设A>B,则由定理3,2/3/202315福州大学数学与计算机学院性质3(局部保号性)2/3/202316福州大学数学与计算机学院性质32/3/202317福州大学数学与计算机学院性质4

若极限(或)存在，则极限是惟一的.2.极限的惟一性2/3/202318福州大学数学与计算机学院证不妨设AB,由定义,对故极限若存在则必唯一.2/3/202319福州大学数学与计算机学院性质6性质63.有极限的函数的局部有界性2/3/202320福州大学数学与计算机学院4.函数极限的归并性(函数极限与数列极限的关系)定义性质7利用函数极限的归并性,我们可以利用数列极限的结论来推导函数极限的类似结论.2/3/202321福州大学数学与计算机学院证:必要性2/3/202322福州大学数学与计算机学院……………充分性2/3/202323福州大学数学与计算机学院于是,可得一数列{xn→x0},xn≠x0,而右边一列则说明数列{f(xn)}不以A为极限,

此与假设矛盾.充分性得证.函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.定理给出了函数极限与数列极限的关系:2/3/202324福州大学数学与计算机学院例如,2/3/202325福州大学数学与计算机学院判别极限不存在的一个方法2/3/202326福州大学数学与计算机学院例1证2/3/202327福州大学数学与计算机学院二者不相等,2/3/202328福州大学数学与计算机学院准则I称为夹逼准则.性质5.收敛准则Ⅰ5.极限收敛准则2/3/202329福州大学数学与计算机学院证利用数列极限的存在准则得:由函数极限的归并性,就证明了函数极限:2/3/202330福州大学数学与计算机学院例12/3/202331福州大学数学与计算机学院极限的运算法则

1.极限运算法则定理2/3/202332福州大学数学与计算机学院证利用数列极限的四则运算法制则得:从而就证明了函数极限的四则运算法则.2/3/202333福州大学数学与计算机学院推论1即：常数因子可以提到极限记号外面.极限运算的线性性质：极限运算的线性性质可推广到有限个函数的情形.2/3/202334福州大学数学与计算机学院推论2有限个函数乘积的极限等于各函数极限的乘积.推论32/3/202335福州大学数学与计算机学院2.求极限方法举例例1解2/3/202336福州大学数学与计算机学院小结:2/3/202337福州大学数学与计算机学院解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例22/3/202338福州大学数学与计算机学院解例3(消去零因子法)2/3/202339福州大学数学与计算机学院例4解2/3/202