2023年中考数学高频考点-三角形动点问题含答案

2023年中考数学高频考点--三角形动点问题1．如图（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=25cm，BC=15cm，若动点P从点C开始沿着C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒5cm，设点P运动的时间为t秒．（1）点P运动2秒后，求△ABP的面积；（2）如图（2），当t为何值时，BP平分∠ABC；（3）当△BCP为等腰三角形时，直接写出所有满足条件t的值．2．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，动点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C移动，同时动点Q从点C出发以（1）t为何值时，ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的18；（2）运动几秒时，ΔCPQ与ΔABC相似?（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1 cm?试说明理由3．如图，AE与BD交于点C，AC=EC，BC=DC，AB=6cm，点P从A出发，沿A→B→A的方向以3cm/s的速度运动；点Q从D出发，沿D→E的方向以1cm/s的速度运动．点P，Q同时出发，当点P到达A时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）直接写出线段BP的长；（用含t的式子表示）（2）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2cm/s的速度移动.（1）如果点P、Q同时出发，几秒后，可使△PCQ的面积为8cm2？（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC的面积的14？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由5．如图，△ABC为等边三角形，四边形BCDE为正方形，AB=6，点M以每秒1个单位的速度从点A沿AC向点C运动，同时点N以同样的速度从点D沿DE向点E运动，当点M达到点C时，M，N同时停止运动，设点M的运动时间为（1）当t=0时，求∠（2）若∠CMN=60°，求线段（3）当点M，N在运动时，求MN的最小值．6．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(-2，0)，B(6，0)，点C（1）如图①，求点C的坐标；（2）将△AOC沿x轴向右平移得△A'O'C'，点A，O，C的对应点分别为A'，O'，C①如图②，当△A'O'C'与△OBC重叠部分为四边形时，A'C'，O'C'②当S取得最大值时，求t的值（直按写出结果即可）．7．如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于F（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE8．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；②当t为s时，四边形ACFE是菱形．9．如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题：（1）用含有t的代数式表示AE=．（2）如图2，当t为何值时，▱AQPD为菱形．（3）求运动过程中，▱AQPD的面积的最大值．10．如图，在△ABC中，O是AC边上的一个动点（不与点A，C重合），过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC（1）求证：EO=（2）若CE=12，CF=5，求（3）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．11．如图，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接DP，PQ．设点P运动的时间为t秒，回答下列问题：（1）当点Q的运动速度为厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；（2）若动点P的速度不变，同时动点Q以5厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，沿△ABC的三边运动．①请求出两点首次相遇时的t值，并说明此时两点在△ABC的哪一条边上；②在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰△APQ？如果能，请直接写出t值；如果不能，请说明理由．12．如图所示，△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：（1）经过多少秒后，△CPQ的面积为8cm？（2）经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？13．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6），点B（8，0）．动点P从A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并求出此时点P的坐标．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=12AB，D为AB的中点，点E在直线（1）当点E在线段BC上移动时，如图①所示，求证：EC+（2）当点E在直线BC上移动时，如图②、图③所示，线段EC、CF与AC之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在y轴上，点B，C在x轴上，B(-4，0)，OA（1）求线段AC的长；（2）点P从C点出发沿射线CA以每秒2个单位长度的速度运动，过点A作AF⊥AP，点F在y轴的左侧，AF=AP，过点F作FE⊥y轴，垂足为E，设点P的运动时间为（3）在（2）的条件下，直线BP交y轴于点K，C(43，0)，当BK=16．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D（﹣m，﹣m）为AC上的点（m＞0）（1）试分别求出A，B，C三点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直且相等？请说明理由；（3）如图2，若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，求∠APQ与∠PBQ的度数和．

答案解析部分1．【答案】（1）解：如图1．∵∠C=90°，AB=25，BC=15，∴AC=AB2∵CP=5×2=10，BP=BC－PC=15-10=5，∴△ABP的面积=12×PB×AC=12×5×20=50（cm（2）解：如图（3），过点P作PD⊥AB于点D．∵BP平分∠ABC，∴PD=PC．在Rt△BPD和Rt△BPC中，∵BP=BPPC=PD，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=15，∴AD=25﹣15=10，设PC=x，则PD=x，AP=20﹣x．在Rt△APD中，PD2+AD2=AP2，即x2+102=（20﹣x）2，解得：x=7.5，∴t=（CB+BA+AC-PC）÷5=（故t=10.5秒时，BP平分∠ABC．（3）解：分三种情况讨论：①如图（4），作CB的垂直平分线交AB于P，连接CP，则CP=BP．∵AC⊥BC，PD⊥BC，∴AC∥PD．∵CD=DB，∴AP=PB=12AB=12.5，∴t=(CB+BP)÷5=（15+12.5）÷5=5.5②如图（5），以B为圆心，CB为半径作弧交AB于点P，则CB=PB=15，∴t=(CB+BP)÷5=（15+15）÷5=6；③如图（6），以C为圆心，CB为半径作弧交AB于P1，交AC于点P2，过C作CD⊥AB于D，则CP1=CB，CP2=CB，CD=AC×BCAB=∵CP1=CB，CD⊥AB，∴BD=DP1=BC2-CD2=9，∴BP1=2BD=18，∴t=(15+18)÷5=6.6；∵CP2=CB=15，∴t=(CB+BA+AC-CP2)÷5=（15+25+20-15）÷5=9．综上所述：当△BCP为等腰三角形时，t的值为：5.5，【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；角平分线的判定；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长，根据动点P的运动路径和运动速度求出CP、BP的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABP的面积。

（2）过点P作PD⊥AB于点D，若BP平分∠ABC，则PD=CP，先证明Rt△BPD≌Rt△BPC，可证得BD=BC=15，求出AD的长，设PC=x，表示出PD、AP，利用勾股定理求出x的值，即可得出结论。

（3）分三种情况讨论：①如图（4），作CB的垂直平分线交AB于P，连接CP，则CP=BP；；②以B为圆心，CB为半径作弧交AB于点P，则CB=PB=15；以③C为圆心，CB为半径作弧交AB于P1；交AC于点P2，过C作CD⊥AB于D，则CP1=CB，CP2=CB，分别求出t的值即可。2．【答案】（1）解：经过t秒后，PC=4-2t，CQ=t，由题意知，当ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的18即12×(4-2解得：t1=32，所以经过32或12秒后，当ΔCPQ的面积等于ΔABC面积的1（2）解：设经过t秒后两三角形相似，①若RtΔABC∼RtΔQPC，则ACBC=QCPC，即3②若RtΔABC∼RtΔPQC，则PCQC=ACBC，即3又0<t<2所以要使ΔCPQ与ΔCBA相似，运动的时间为65秒或1611（3）解：∵∠C=90°，若PQ=1则(4-2t)∴5∵b2所以此方程无实数解，PQ的长度不能为1 cm【知识点】相似三角形的性质；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）由题意可得：经过t秒后，PC=4-2t，CQ=t，根据S△CPQ=18S△ABC可得关于t的方程，解方程可求解；

（2）设经过t秒后两三角形相似，由题意可分三种情况：

①若Rt△ABC∽Rt△QPC，由相似三角形的对应边成比例可得比例式ACBC=QCPC，结合已知可得关于t的方程，解方程可求解；

②若Rt△ABC∽Rt△PQC，由相似三角形的对应边成比例可得比例式PCQC=ACBC，结合已知可得关于3．【答案】（1）解：当0≤t≤2时，BP=（6-3t）cm，当2＜t≤4时，BP=（3t-6）cm；（2）解：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECDBC=DC，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A=∠E，ED=AB=6cm，当线段PQ经过点C时，如图，在△ACP和△ECQ中，∠A=∠EAC=CE∠ACP=∠ECQ，∴△ACP≌△ECQ（综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1.5s或3s．【知识点】三角形全等的判定；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）分两种情况分别表示出BP即可；

（2）先证出△ABC≌△EDC（SAS），再得出∠A=∠E，ED=AB=6cm，分两种情况：当0≤t≤2时，当2＜t≤4时，分别解出t即可。4．【答案】（1）解：设x秒后，△PCQ的面积为8cm2，由题意，得12(6-解得x1=2，x所以，2秒或4秒时，△PCQ的面积为8cm2；（2）解：不存在.理由如下：设y秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的14，则△PCQ的面积是△ABC的面积的3由题意，得12(6-y)·2y=由于Δ=36-4×18=-36<0所以，不存在某一时刻使四边形APQB的面积等于△ABC面积的14【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）设x秒后，可使△PCQ的面积为8cm2，根据三角形的面积公式即可列式求解；（2）设y秒时，四边形APQB的面积等于△ABC的面积的14，则△PCQ的面积是△ABC的面积的345．【答案】（1）解：如图1中，当t=0时，∵△ABC都是等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∵四边形BCDE是正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∴CA=CD，∠ACD=150°，∴∠CMN=∠CND=15°；（2）解：如图2中，连接BD，EC，设MN交BC于点G，交CB于点O，过点O作OT⊥CB于点T．∵∠CMN=∠MCG=60°，∴△CMG是等边三角形，∴CM=CG，∵DE=AC，AM=DN，∴CM=EN=CG，∵CG∥OC，∴∠GCO=∠NEO，∵∠COG=∠NOE，∴△COG≌△EON（AAS），∴OC=OE，OG=GN，∵△BEC是等腰直角三角形∴BO⊥EC，∴△BOC是等腰直角三角形∴OB=OC，∵OT⊥BC，∴BT=TC=3，∴OT=TB=TC=3，∵∠CGM=∠OGT=60°，∴∠TOG=30°∴Rt△OTG中，TG=12OG∴TO=OG2-TG2（3）解：如图3中，过点M作MJ⊥DE于点J，交CB于点K．∵∠D=∠DJK=∠DCK=90°，∴四边形CDJK是矩形，∴CD=JK=6，DJ=CK，∠CKJ=∠CKM=90°，∵CM=6-t，∴CK=DJ=【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）由△ABC都是等边三角形，得出CA=CB，∠ACB=60°，再由四边形BCDE是正方形，得出∠ACD=150°，即可得解；

（2）利用AAS证出△COG≌△EON，得出OC=OE，OG=GN，再由△BEC是等腰直角三角形，得出△BOC是等腰直角三角形，再利用勾股定理得出TO的长，由此得出TG、OG、GM的长，即可得解；

（3）先证出四边形CDJK是矩形，得出CD=JK=6，DJ=CK，∠CKJ=∠CKM=90°，利用勾股定理得出MN的长，从而得出t的值，即可得出答案。6．【答案】（1）解：∵A∴OA∵∠∴∠∴∠∴即COCO∴（2）①S②t【知识点】三角形的面积；锐角三角函数的定义；三角形-动点问题【解析】【解答】解：(2)①∵B(6，0)设BC直线解析式为y则b解得k∴BC直线解析式为y∵∴tan∴∠∴∠∵O'∴∠当△A'O'C'与△OBCSS△A∵∴∴∵∠∴∠∴S△DEDE∴S=S△A'O∴②S∵a=-324<0∴t=2【分析】（1）证明角相等，根据正弦函数的定义列出方程，解出CO

（2）根据S=S△A'O'C'-S△C7．【答案】（1）解：DE⊥DP∵∠ACB=90°∴∠A+∠∵PD=PA∴∠PDA=∠∵EF垂直平分BD，∴ED=EB∴∠EDB=∠∴∠PDA+∠∴∠PDE=180°-∠即DE⊥（2）解：连接PE，设DE=x由（1）得BE=DE=x，CE=BC-BE=8-x∵∠PDE=∠∴PC2∴22+解得x=194，即【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）根据PD=PA得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB=∠B，利用∠A+∠B=90°，得到∠PDA+∠EDB=90°8．【答案】（1）解：证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∵在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠∴△ADE≌△CDF（AAS）（2）或8；8【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；三角形-动点问题【解析】【解答】（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝8﹣2t，解得：t＝83当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣8，解得：t＝8；综上可得：当t＝83或8s时，以A、C、E、F②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8，则此时的时间t＝8÷1＝8（s）；故答案是：83或8；8

【分析】（1）由AG∥BC，可得∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，再利用AAS即可证明；

（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可将F点分别在C点左边、右边进行讨论，分别求出当AE=CF时t值即可；菱形也是平行四边形，且只有

CF＝AC＝AE成立才满足，计算可得。9．【答案】（1）5﹣t（2）解：如图2中，当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则COS∠BAC=AEAQ=ACAB，即解得：t=2513所以当t=2513时，□AQPD（3）解：如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M，∵PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∴APAB=PMBC，即∴PM=65(5﹣t∴S=AQ•PM=2t•65（5﹣t）=﹣125t2+12t（0＜∵﹣125＜0∴当t=52时，S有最大值，最大值为15cm2．【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形-动点问题【解析】【解答】（1）如图1，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴由勾股定理得：AB=10cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s，∴BP=2tcm，∴AP=AB﹣BP=10﹣2t，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE=12AP=5﹣t故答案是：5﹣t；【分析】（1）Rt△ABC中由勾股定理得AB的长，根据路程等于速度乘以时间得出BP=2tcm，故AP=AB﹣BP=10﹣2t，根据平行四边形的对角线互相平分得出AE的长；

（2）如图2中，当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，根据余弦函数的定义，由COS∠BAC=AEAQ=ACAB，从而得出关于t的方程，求解即可得出答案；

（3），设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出△APM∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出AP∶AB=PM∶BC，根据比例式表示出10．【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠∴∠BCE∵MN//∴∠OEC=∠BCE∴∠ACE=∠OEC∴OC=OE，∴OE=（2）解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠∴∠BCE=∠ACE∵∠BCE∴∠ACE即∠ECF∵CE=12，CF∴在Rt△CEF中，∵OE=∴OC=6（3）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵OE=OF，O是AC的中点，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF∴四边形AECF是矩形．【知识点】勾股定理；矩形的判定；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，得出OC=OE，OC=OF，即可得出结论；

（2）根据角平分线的性质得出∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，再根据∠BCE11．【答案】（1）83或（2）解：①∵当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，∴5t解得t=∵AB+∴两个点在△ABC的边AC上首次相遇；②如图①所示，当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，过点A作AE⊥BC于E，∴BE=12BC∴PE=BE-∵AE∴(8-5t解得t=0或t同理可求出当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，结果与上面相同；如图②所示，当P在AC上，Q在AB上时，∴AQ=AP，∴8+6-2t解得t=如图③所示，当P在AC上，Q在BC上时，同图①可知此时不存在t使得AQ=AP，综上所述，当t=0或t=227，使得△APQ【知识点】三角形全等及其性质；三角形的综合；三角形-动点问题【解析】【解答】解：（1）当△BPD≌△CPQ时，∴BP=CP=∴t=∴Q点的运动速度为4÷3当△BPD≌△CQP时，∴BP=CQ=2∴BP=∴2∴t=1∴Q点的运动速度为2÷1=2cm综上所述，当点Q的运动速度为83或2厘米/秒时，△BPD和△CPQ【分析】（1）分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可；

（2）①先求出5t-2t=8+8，再求出t=12．【答案】（1）解：设AC=3x，AB=5x，由勾股定理得：AB2=AC2+BC2，∴（3x）2+82=（5x）2，解得：x=2，∴AC=6，AB=10，设经过t秒后，△CPQ的面积为8cm2，PC=8-2t，CQ=t，12PC×CQ=8即12×（8-2t解得：此方程无解，答：不论经过多少秒后，△CPQ的面积都不能为8cm2．（2）解：设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，∵∠C=∠C=90°，∴要使以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，具备CQCA=CPCB或CQCB=CPCA就行，代入得：x解得：x=2.4或x=3211答：经过2.4秒或3211秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）设AC=3x，AB=5x，根据勾股定理列出方程即可求出AC和AB，设经过t秒后，△CPQ的面积为8cm2，然后用t表示出PC和CQ，根据三角形的面积列方程即可求出结论；（2）设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，根据有两组对应边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，列出比例式，即可求出结论．13．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意得：b=68k+b=0∴直线AB的解析式为y=﹣34（2）解：在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，根据勾股定理得：AB=10．由题意知：AP=t，AQ=10﹣2t．分两种情况讨论：①当∠APQ=∠AOB时．∵∠A=∠A，∴△APQ∽△AOB，∴t6=10-2t10②当∠AQP=∠AOB时．∵∠A=∠A，∴△AQP∽△AOB，∴t10=10-2t6，综上所述：当t为5013秒或3011秒时，△APQ与【知识点】待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质；三角形-动点问题【解析】【分析】（1）设出直线AB的一般式，将点A，B的坐标代入得到一个二元一次方程组，解方程组即可求得直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理求得AB长，并用t表示出AP，AQ长，又两个三角形相似可能为△APQ∽△AOB或△AQP∽△AOB，对其进行分类讨论，再利用相似三角形对应边成比例可求得t的值.14．【答案】（1）证明：如图①，连接CD，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴AD=BD=CD=12AB，∵BC=12AB，∴BD=CD=BC，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，∴∠BDC=∠DEF，即∠BDE+∠CDE=∠CDE+∠CDF，∴∠BDE=∠CDF，在△BDE和△CDF中，BD=CD∠BDE=∠CDFDE=DF，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE=FC，∵AB=2BC，∴AC=AB2-（2）解：图②中：EC-FC=33AC，图③中：FC-EC=33AC，理由如下：如图②，连接由（1）知：BD=CD，DE=DF，∠BDC=∠EDF=60°，BC=33AC，∴∠BDF+∠CDF=∠BDF+∠BDE，∴∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE=FC，∵EC-BE=BC，∴EC-FC=33AC；如图③，连接CD由（1）知：BD=CD，DE=DF，∠BDC=∠EDF=60°，BC=33AC，∴∠BDC+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE=FC，又∵BE-EC=BC，∴FC-EC=33【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题【解析】【分析】(1)、做辅助线连接CD，证得△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质求得∠BDE=∠CDF，证明△BDE≌△CDF（SAS），勾股定理求得AC=3BC，再通过线段的代换即可解得.

(2)、第一种情况证明如图②，△BDE≌△CDF（SAS）证得BE=FC，即可解得.第二种情况证明如图③，△BDE≌△CDF（SAS）证得BE=FC，即可解得.15．【答案】（1）解：∵B(-4，0)∴OA=∵∠ACO=30°，∴AC=2（2）解：作PG⊥OA于G，当点P在线段CA上时，CP=2t，AP=8-2t，∵AF⊥AP∴∠AEF∴∠EAF∴∠EAF∵AF=∴△AFE≌△PAG，∴EF=∵∠ACO∴∠CAO∴∠APG∴EF=当点P在线段CA延长线上时，CP=2t，AP=2t-8，同理可得△AFE≌△PAG，EF（3）解：作PN⊥OB于N，如图，∵BK=AC，OA=∴Rt△BOK≌Rt△AOC，∴∠BKO=∠ACO=30°，∵∠CAO∴∠APK=∠∴AP=此时，点P在线段CA延长线上，∴2tt=∵B