正阳县高级中学2021届高三数学第四次素质检测试题理

河南省正阳县高级中学2021届高三数学第四次素质检测试题理河南省正阳县高级中学2021届高三数学第四次素质检测试题理PAGEPAGE18河南省正阳县高级中学2021届高三数学第四次素质检测试题理河南省正阳县高级中学2021届高三数学第四次素质检测试题理一、单选题（每小题5分，共60分）1．设集合,，则（)．A． B． C． D．2．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图，在空间四边形中，，，．点在上，且，是的中点，则=（）A． B．C． D．5．设,满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．以抛物线的焦点为圆心且过点的圆的标准方程为(）A． B． C． D．7。设等差数列的前项和为，且，则(）A．15 B．20 C．25 D．308．将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线,则（)A． B． C． D．9．在矩形中，,以，为焦点的双曲线经过,两点，则此双曲线的离心率为()A． B． C． D．10．0.618被公认为是最具有审美意义的比例数字，是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法"在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.他认为底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形是“最美三角形"，即顶角为36°的等腰三角形，例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的，如图，在其中一个黄金中，黄金分割比为。根据以上信息，计算（）A． B． C． D．11.设函数，则下列结论错误的是（）A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减12．设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时,,若在区间内关于的方程至少有个不同的实数根，至多有个不同的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题5分，共20分）13．设a>0，b〉0，若3是3a与32b的等比中项，则的最小值为14．已知向量,且,则15。已知函数是偶函数，当时,，则曲线在处的切线方程为16。四棱锥的底面是矩形，侧面平面，,,则该四棱锥外接球的体积为 三、解答题（共70分）17．（12分）已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18．(12分)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b,c,且满足,，．（1)求角B的大小；(2)求的面积．19．（12分）已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，且，，。（1）求证：平面平面;(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.20．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于，不同两点，且直线与直线的倾斜角互补，试求直线的斜率。21．（12分)设函数，。（1)讨论函数的单调性；（2）如果对于任意的,都有成立，试求的取值范围。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分。22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2)设点P的直角坐标为,若曲线与相交于A，B两点，求的值.23．（10分）已知。(1）画出函数的图象；(2）求不等式的解集.答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】B【分析】由空间向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可求解。【详解】由题，在空间四边形，,,．点在上,且，是的中点,则．所以故选：B5．【答案】C【详解】由题意得可行域为阴影部分,如图所示：则在取得最小值为,无最大值,即的取值范围为，故选:C.6．【答案】A【解析】【详解】抛物线的焦点F（1，0），即圆心坐标为(1，0），又圆过点,且P在抛物线上,∴r=，故所求圆的标准方程为。故选A.7.【答案】B【详解】设等差数列的公差为，则由已知可得，所以故选:B8．【答案】D【详解】由题意，得：，则．故选：D．9．【答案】D【分析】利用双曲线的定义及性质，直接列出关系式求解双曲线的离心率即可．【详解】由题可知，，所以，即，所以此双曲线的离心率为.故选D。10．【答案】B【分析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得，然后由诱导公式求解．【详解】在中，由正弦定理可得,∴，.故选:B.．11.【答案】D【详解】由，得，故A正确,不符合题意；由得，令得：，故B正确，不符合题意；因为,当时，，故C正确，不符合题意;因为，即,令得,，故D错误，符合题意。故选：D12．【答案】A【详解】对任意，都有，则函数是周期为的周期函数，当时，，作出函数和函数在区间上的图象如下图所示：

由于在区间内关于的方程至少有个不同的实数根，至多有个不同的实数根，则，解得。因此,实数的取值范围是.故选：A.13．【答案】4【详解】因为a〉0，b〉0，且3是3a与32b的等比中项,所以解得，所以，当且仅当,即时，取等号，所以的最小值为414．【答案】15.【答案】 【详解】因为,，，又由是偶函数，，令，则,根据是偶函数，，得到时，，所以，时，，，利用直线的点斜式方程，曲线在处的切线方程为,即.16.【答案】 【详解】取的中点E，连接中，∴，,设的中心为，球心为O，则,设O到平面的距离为d，则，∴,∴四棱锥的外接球的体积为。17．【答案】(1);（2）【分析】（1)利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得通项公式；（2)利用错位相减法求和即可求．【详解】（1）当时,,解得,当时，由可得,两式相减可得，即，所以是以为首项,以为公比的等比数列，所以(2）由(1）,，则，两式相减得,所以．18．【答案】（1)；（2）．【详解】解：（1)由正弦定理,得．由，得．由，得．所以．又，所以．又，得．（2）由余弦定理及，得．即．将代入，解得．所以．19．【答案】（1)证明见解析（2）【详解】解：（1）证明:取的中点,连接，,。∵,∴.又∵，,∴四边形为正方形，则。∵平面,平面，∴。∵，∴平面.∵，，∴四边形为平行四边形,∴,∴平面.又平面，∴平面平面。（2）∵平面，∴为与平面所成的角，即，则。设,则,,.以点为坐标原点，分别以，,所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,.∵平面,∴平面的一个法向量。设平面的法向量,∵,，则，取,则.设二面角的平面角为，∴.由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为。20．【答案】(1）（2）【详解】（1）由题意得，解得故椭圆的方程为。(2)由直线与直线的倾斜角互补可设，,，，则直线的方程为，联立方程组，整理得。因为，是以上方程的两根，所以，即，则，同理可得,，故，即直线的斜率为.21．【答案】（1)答案见解析；（2）。【详解】（1）函数的定义域为，当时，，所以函数在上单调递增；当时，当时，则，函数单调递增，当时,,函数单调递减，所以时，函数在单调递减,在上递增;(2）由已知得，所以当时，，所以函数在上单调递增，当时,,所以函数在上单调递减,又，所以函数在上的最大值为1，依题意得，只需在,恒成立，即,也即是在上恒成立，令，则，有，当时，，，,即在上单调递增，当时，，,所以在上单调递减,所以，当时，函数取得最大值，故，即实数a的取值范围是.22．【答案】（1)，；（2）【分析】（1）把参数方程消去参数得,极坐标方程，两边同乘以，化简得：；（2)把直线的参数方程代入曲线的普通方程中，利用参数的几何意义知：，再把韦达定理代入，即可求得结果。【详解】（1）由消去参数得曲线的普通方程为，由的极坐标方程为,两边同乘以，得，将代入,得曲线的直角坐标方程为；（2）将曲线的参数方程代入，整理得，，,．【点睛】方法点睛:极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：,利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t的一元二次方程；（2）利用韦达定理写出，;（3）利用弦长公式代入计算.23．【答案】(1)见解析;（2）.【分析】（1）函数的图